一课一题案例在矩形折叠中体现勾股定理的应用价值.doc

在矩形折叠中体现勾股定理的应用价值东海外国语学校 庄立华在初中数学中，折叠问题将图形的变换与学生的实际操作能力紧密的联系起来。在折叠过程中，通过观察图形中的变与不变，灵活应用平面图形的基本性质解决问题，在变化过程中，使学生初步体会数学的动态美，同时提高了学生的观察能力、空间想象能力及动手能力。尤其是矩形折叠的过程中找到直角三角形或构造直角三角形，利用勾股定理解决计算或证明。进一步发展有条理的思考与表达。下面就几道教学过程中和几道中考题来谈谈这类问题的处理方法。教学过程：一、情境创设，引入课题：在解决矩形折叠的计算与证明试题的过程中，经常会用到直角三角形中的勾股定理，来解决与之相关的计算与证明。试一试，独立解决下面两个小题。（第1题）ABDCEF1. 如图，将矩形ABCD的AD边沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，如果BAF=60,则DAE= 。如果AB=6，AD=10，ABF的面积= 。分析：由题意得ADEAFE,故DAE=FAE=DAF=（90-BAF）=15由ADEAFE得AF=AD=10,在RtBAF中AB=6，AF=10由勾股定理得，BF=8，则ABF的面积=68=24。（注：补充习题P57，T6；学习指导P73，T2）（第2题）ABDCEO2. 如图，把矩形ABCD沿BD对折，使点C落在点E处，BE与AD相交与点O。试写出一组相等的线段 。（不包括AB=CD和AD=BC）分析：由题意德BCDBED,故DE=CD=AB，BE=BC=AD,DBE=DBC又由矩形ABCD中ADBC有ADB=DBC，故有ADB=DBC；进而在BOD由等角对等边得OB=OD,进而得到AEOB=ADOD得OA=OE；（注：补充习题P57，T4；）二、互动探究、进入课题：经过上面两个小题的小试牛刀，大家应该看到，矩形折叠问题实际上就是轴对称（折叠前后图形全等）和勾股定理结合应用，下面请同学们小组合作解决两个矩形折叠的计算与证明问题。例1：如下图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=8。把矩形纸片ABCD沿BD沿BD折叠，如下图1，使点A落在点E处，DE与BC相交与点F，求BF的长。E图1ABDCF分析：由上题易得BF=DF，结合题意，设BF=DF=，则CF=，在RtCDF中，由勾股定理得，解之得。将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，如下图2，求折痕GH的长。图2HABDCFGO分析：连接BD,交GH与点O，由题意知GH垂直平分BD，设BH=，则DH=,CH=8-,在RtCDH中，得，解得。在RtBOH中，所以折痕GH的长（注：课本P111，T20；）例2：（2012贵州遵义）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（ ）A B C D考点：翻折变换（折叠问题），矩形的性质和判定，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。解析：过点E作EMBC于M，交BF于N。四边形ABCD是矩形，A=ABC=90AD=BC，EMB=90，四边形ABME是矩形。AE=BM，由折叠的性质得：AE=GE，EGN=A=90，EG=BM。ENG=BNM，ENGBNM（AAS）。NG=NM。E是AD的中点，CM=DE，AE=ED=BM=CM。EMCD，BN：NF=BM：CM。BN=NF。NM=CF=。NG=。BG=AB=CD=CF+DF=3，BN=BGNG=。BF=2BN=5。故选B。随练：1.（2012贵州黔西南）把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF，若AB3cm，BC5cm，则重叠部分DEF的面积为 cm 2。考点：折叠问题，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理。解析：设ED=x，则根据折叠和矩形的性质，得AE=AE=5x，AD=AB=3。 根据勾股定理，得，即，解得。AEDCBH图3F （cm 2）。2.如图3，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=3cm。把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE。试问四边形ACED是什么图形？请说明理由，并计算它的面积。解析：根据题意，得RtACDRtCAE，所以ACD=CAE,设AE与CD的交点为F，则AF=CF，所以FE=FD, AED=CDE。因为AFC=EFD，所以CDE+AED =ACD +CAE，即CDE=ACD。所以DEAC。所以四边形ACED是等腰梯形。根据题意，得AC=5cm。作DHAC交AC与点H，设AH=cm，则HC=（5-）cm。在RtADH中，由勾股定理，得DH2=AD2-AH2。在RtDHC中，由勾股定理，得，所以，即，解得=1.8cm，进而可得DH=2.4cm，DE=1.4cm，所以等腰梯形的面积S=cm2。AMDNE,CQBP图4三、合作交流，深入课题：例3：如图4，在边长为12cm的正方形纸片ABCD中，点P在边BC上，已知PB=5cm，如果将纸片折起，使点A落在点P上，试求折痕MN的长。分析：设折痕分别交AB、CD与点M、N，则点P、A关于MN成轴对称，连接PN、AN，作MQBC，交CD与点Q，令AM=，可得BM=12-，MP=AM=,在RtMBP中，由勾股定理得，解之得，又设DN=，则CN=，因为CP=BC-PB=7，AN=PN，在RtCPN与RtAND中，再由勾股定理得=，解之得，于是QN=QD-ND=5,所以MN=cm（注：补充习题P39，T17）随练：结合本节课的学习，小组合作探究解决问题：如图、图所示，一张正方形纸片ABCD，将B折至AD的中点E，折痕为FG将C折至AD的中点E，ML为折痕你能得到哪些结论？结论：1. AEF的边长之间的关系为勾3、股4、弦52. AEF、DKE、HKG相似3. DK : DC = 2:34. GH : DC = 1:85. HK的长度等于DKE的内切圆半径6. FM : AB = 1:27. EN : NP = 5:3四、拓展提高,迁移应用：1有一张矩形纸片ABCD，AB2.5，AD1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将AED以DE为折痕向右折叠，AC与BC交于点F（如下图），则CF的长为 2小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图1的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm；展开后按图2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是 3将一张长为70cm的长方形纸片ABCD，沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的