高考数学一轮复习 第六章 数列 6.4 数列求和、数列的综合应用课件.ppt

第六章数列 6 4数列求和 数列的综合应用 高考数学 浙江专用 考点一数列的求和1 2017课标全国 理 12 5分 几位大学生响应国家的创业号召 开发了一款应用软件 为激发大家学习数学的兴趣 他们推出了 解数学题获取软件激活码 的活动 这款软件的激活码为下面数学问题的答案 已知数列1 1 2 1 2 4 1 2 4 8 1 2 4 8 16 其中第一项是20 接下来的两项是20 21 再接下来的三项是20 21 22 依此类推 求满足如下条件的最小整数n n 100且该数列的前n项和为2的整数幂 那么该款软件的激活码是 a 440b 330c 220d 110 五年高考 答案a本题考查了等比数列求和 不等式以及逻辑推理能力 不妨设1 1 2 1 2 2n 1 1 2 2t 2m 其中m n t n 0 t n 则有n t 1 因为n 100 所以n 13 由等比数列的前n项和公式可得2n 1 n 2 2t 1 1 2m 因为n 13 所以2n n 2 所以2n 1 2n n 2 即2n 1 n 2 2n 因为2t 1 1 0 所以2m 2n 1 n 2 2n 故m n 1 因为2t 1 1 2n 1 1 所以2m 2n 2 n 3 故m n 1 所以m n 1 从而有n 2t 1 3 因为n 13 所以t 3 当t 3时 n 95 不合题意 当t 4时 n 440 满足题意 故所求n的最小值为440 解题关键解决本题的关键在于利用不等式的知识得出m n 1 一题多解本题也可以分别把n 110 220 330代入 利用排除法求解 2 2015江苏 11 5分 设数列 an 满足a1 1 且an 1 an n 1 n n 则数列前10项的和为 答案 解析由已知得 a2 a1 1 1 a3 a2 2 1 a4 a3 3 1 an an 1 n 1 1 n 2 则有an a1 1 2 3 n 1 n 1 n 2 因为a1 1 所以an 1 2 3 n n 2 即an n 2 又当n 1时 a1 1也适合上式 故an n n 所以 2 从而 2 2 2 2 2 3 2017北京文 15 13分 已知等差数列 an 和等比数列 bn 满足a1 b1 1 a2 a4 10 b2b4 a5 1 求 an 的通项公式 2 求和 b1 b3 b5 b2n 1 解析本题考查等差数列及等比数列的通项公式 数列求和 考查运算求解能力 1 设等差数列 an 的公差为d 因为a2 a4 10 所以2a1 4d 10 解得d 2 所以an 2n 1 2 设等比数列 bn 的公比为q 因为b2b4 a5 所以b1qb1q3 9 解得q2 3 所以b2n 1 b1q2n 2 3n 1 从而b1 b3 b5 b2n 1 1 3 32 3n 1 方法总结求解有关等差数列和等比数列问题的关键是对其基本量 首项 公差 公比 进行求解 对于数列求和问题 常用的方法有公式法 裂项相消法 错位相减法 倒序相加法和分组转化法等 4 2017天津文 18 13分 已知 an 为等差数列 前n项和为sn n n bn 是首项为2的等比数列 且公比大于0 b2 b3 12 b3 a4 2a1 s11 11b4 1 求 an 和 bn 的通项公式 2 求数列 a2nbn 的前n项和 n n 解析本小题主要考查等差数列 等比数列及其前n项和公式等基础知识 考查数列求和的基本方法和运算求解能力 1 设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为q 由已知b2 b3 12 得b1 q q2 12 而b1 2 所以q2 q 6 0 又因为q 0 解得q 2 所以 bn 2n 由b3 a4 2a1 可得3d a1 8 由s11 11b4 可得a1 5d 16 联立 解得a1 1 d 3 由此可得an 3n 2 所以 an 的通项公式为an 3n 2 bn 的通项公式为bn 2n 2 设数列 a2nbn 的前n项和为tn 由a2n 6n 2 有tn 4 2 10 22 16 23 6n 2 2n 2tn 4 22 10 23 16 24 6n 8 2n 6n 2 2n 1 上述两式相减 得 tn 4 2 6 22 6 23 6 2n 6n 2 2n 1 4 6n 2 2n 1 3n 4 2n 2 16 得tn 3n 4 2n 2 16 所以 数列 a2nbn 的前n项和为 3n 4 2n 2 16 方法总结 1 等差数列与等比数列中分别有五个量 a1 n d 或q an sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 求关键量a1和d 或q 问题可迎刃而解 2 数列 anbn 其中 an 是公差为d的等差数列 bn 是公比q 1的等比数列 求 anbn 的前n项和应采用错位相减法 5 2017山东文 19 12分 已知 an 是各项均为正数的等比数列 且a1 a2 6 a1a2 a3 1 求数列 an 的通项公式 2 bn 为各项非零的等差数列 其前n项和为sn 已知s2n 1 bnbn 1 求数列的前n项和tn 解析本题考查等比数列与数列求和 1 设 an 的公比为q 由题意知 a1 1 q 6 q a1q2 又an 0 解得a1 2 q 2 所以an 2n 2 由题意知 s2n 1 2n 1 bn 1 又s2n 1 bnbn 1 bn 1 0 所以bn 2n 1 令cn 则cn 因此tn c1 c2 cn 又tn 两式相减得tn 所以tn 5 6 2017天津理 18 13分 已知 an 为等差数列 前n项和为sn n n bn 是首项为2的等比数列 且公比大于0 b2 b3 12 b3 a4 2a1 s11 11b4 1 求 an 和 bn 的通项公式 2 求数列 a2nb2n 1 的前n项和 n n 方法总结 1 等差数列与等比数列中有五个量a1 n d 或q an sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 求关键量a1和d 或q 问题可迎刃而解 2 数列 an 是公差为d的等差数列 bn 是公比q 1的等比数列 求数列 anbn 的前n项和适用错位相减法 7 2016浙江文 17 15分 设数列 an 的前n项和为sn 已知s2 4 an 1 2sn 1 n n 1 求通项公式an 2 求数列 an n 2 的前n项和 解析 1 由题意得则又当n 2时 由an 1 an 2sn 1 2sn 1 1 2an 得an 1 3an 所以 数列 an 的通项公式为an 3n 1 n n 2 设bn 3n 1 n 2 n n 则b1 2 b2 1 当n 3时 由于3n 1 n 2 故bn 3n 1 n 2 n 3 设数列 bn 的前n项和为tn 则t1 2 t2 3 当n 3时 tn 3 所以tn 易错警示 1 当n 2时 得出an 1 3an 要注意a1与a2是否满足此关系式 2 在去掉绝对值时 要考虑n 1 2时的情形 在求和过程中 要注意项数 最后tn要写成分段函数的形式 8 2015浙江文 17 15分 已知数列 an 和 bn 满足a1 2 b1 1 an 1 2an n n b1 b2 b3 bn bn 1 1 n n 1 求an与bn 2 记数列 anbn 的前n项和为tn 求tn 解析 1 由a1 2 an 1 2an 得an 2n n n 由题意知 当n 1时 b1 b2 1 故b2 2 当n 2时 bn bn 1 bn 整理得 所以bn n n n 2 由 1 知anbn n 2n 因此tn 2 2 22 3 23 n 2n 2tn 22 2 23 3 24 n 2n 1 所以tn 2tn 2 22 23 2n n 2n 1 故tn n 1 2n 1 2 n n 评析本题主要考查数列的通项公式 等差 等比数列的基础知识 同时考查数列求和的基本思想方法 以及推理论证能力 9 2013浙江 18 14分 在公差为d的等差数列 an 中 已知a1 10 且a1 2a2 2 5a3成等比数列 1 求d an 2 若d 0 求 a1 a2 a3 an 解析 1 由题意得5a3 a1 2a2 2 2 即d2 3d 4 0 故d 1或d 4 所以an n 11 n n 或an 4n 6 n n 2 设数列 an 的前n项和为sn 因为d 0 由 1 得d 1 an n 11 则当n 11时 a1 a2 a3 an sn n2 n 当n 12时 a1 a2 a3 an sn 2s11 n2 n 110 综上所述 a1 a2 a3 an 评析本题主要考查等差数列 等比数列的概念 等差数列的通项公式 求和公式等基础知识 同时考查运算求解能力 10 2016课标全国 17 12分 sn为等差数列 an 的前n项和 且a1 1 s7 28 记bn lgan 其中 x 表示不超过x的最大整数 如 0 9 0 lg99 1 1 求b1 b11 b101 2 求数列 bn 的前1000项和 解析 1 设 an 的公差为d 据已知有7 21d 28 解得d 1 所以 an 的通项公式为an n b1 lg1 0 b11 lg11 1 b101 lg101 2 6分 2 因为bn 9分 所以数列 bn 的前1000项和为1 90 2 900 3 1 1893 12分 疑难突破充分理解 x 的意义 求出bn的表达式 从而求出 bn 的前1000项和 评析本题主要考查了数列的综合运用 同时对学生创新能力进行了考查 充分理解 x 的意义是解题关键 11 2015湖北 19 12分 设等差数列 an 的公差为d 前n项和为sn 等比数列 bn 的公比为q 已知b1 a1 b2 2 q d s10 100 1 求数列 an bn 的通项公式 2 当d 1时 记cn 求数列 cn 的前n项和tn 解析 1 由题意有 即解得或故或 2 由d 1 知an 2n 1 bn 2n 1 故cn 于是tn 1 tn 可得tn 2 3 故tn 6 评析本题考查等差 等比数列的通项公式 前n项和公式 利用错位相减法求和 考查推理运算能力 12 2015天津 18 13分 已知数列 an 满足an 2 qan q为实数 且q 1 n n a1 1 a2 2 且a2 a3 a3 a4 a4 a5成等差数列 1 求q的值和 an 的通项公式 2 设bn n n 求数列 bn 的前n项和 评析本题主要考查等比数列及其前n项和公式 等差中项等基础知识 考查数列求和的基本方法 分类讨论思想和运算求解能力 14 2013辽宁 14 5分 已知等比数列 an 是递增数列 sn是 an 的前n项和 若a1 a3是方程x2 5x 4 0的两个根 则s6 以下为教师用书专用 答案63 解析a1 a3是方程x2 5x 4 0的两个根且 an 是递增数列 故a3 4 a1 1 故公比q 2 s6 63 评析本题考查了等比数列的求和公式 数列 an 递增是解题的关键 没考虑到q 0是失分的主要原因 15 2013重庆 12 5分 已知 an 是等差数列 a1 1 公差d 0 sn为其前n项和 若a1 a2 a5成等比数列 则s8 答案64 解析由a1 a2 a5成等比数列 得 a1 d 2 a1 a1 4d 即 1 d 2 1 4d 解得d 2 d 0舍去 s8 8 64 16 2013湖南 15 5分 设sn为数列 an 的前n项和 sn 1 nan n n 则 1 a3 2 s1 s2 s100 答案 1 2 解析 1 由已知得s3 a3 s4 a4 两式相减得a4 a4 a3 a3 2 已知sn 1 nan i 当n为奇数时 两式相减得an 1 an 1 an an ii 当n为偶数时 两式相减得an 1 an 1 an 即an 2an 1 综上 an s1 s2 s100 a2 a4 a100 a1 a3 a99 评析本题主要考查数列 an 的通项公式及求前n项和sn的方法 考查学生的逻辑推理能力 本题解题关键是求 an 的通项公式 不能灵活利用已知条件an与sn的关系是学生失分的主要原因 17 2014天津 19 14分 已知q和n均为给定的大于1的自然数 设集合m 0 1 2 q 1 集合a x x x1 x2q xnqn 1 xi m i 1 2 n 1 当q 2 n 3时 用列举法表示集合a 2 设s t a s a1 a2q anqn 1 t b1 b2q bnqn 1 其中ai bi m i 1 2 n 证明 若an bn 则s t 解析 1 当q 2 n 3时 m 0 1 a x x x1 x2 2 x3 22 xi m i 1 2 3 可得 a 0 1 2 3 4 5 6 7 2 证明 由s t a s a1 a2q anqn 1 t b1 b2q bnqn 1 ai bi m i 1 2 n及an bn 可得s t a1 b1 a2 b2 q an 1 bn 1 qn 2 an bn qn 1 q 1 q 1 q q 1 qn 2 qn 1 qn 1 1 0 所以s t 评析本题主要考查集合的含义与表示 等比数列的前n项和公式 不等式的证明等基础知识和基本方法 考查运算能力 分析问题和解决问题的能力 18 2013江西 17 12分 正项数列 an 的前n项和sn满足 n2 n 1 sn n2 n 0 1 求数列 an 的通项公式an 2 令bn 数列 bn 的前n项和为tn 证明 对于任意的n n 都有tn 解析 1 由 n2 n 1 sn n2 n 0 得 sn n2 n sn 1 0 由于 an 是正项数列 所以sn 0 sn n2 n 于是a1 s1 2 n 2时 an sn sn 1 n2 n n 1 2 n 1 2n 综上 数列 an 的通项an 2n 2 证明 由于an 2n bn 则bn tn 1 评析本题考查数列的概念和应用裂项相消法求和 考查学生的运算求解和灵活应用知识的能力 19 2013山东 20 12分 设等差数列 an 的前n项和为sn 且s4 4s2 a2n 2an 1 1 求数列 an 的通项公式 2 设数列 bn 的前n项和为tn 且tn 为常数 令cn b2n n n 求数列 cn 的前n项和rn 解析 1 设等差数列 an 的首项为a1 公差为d 由s4 4s2 a2n 2an 1得解得a1 1 d 2 因此an 2n 1 n n 2 由题意知 tn 所以n 2时 bn tn tn 1 故cn b2n n 1 n n 所以rn 0 1 2 3 n 1 则rn 0 1 2 n 2 n 1 两式相减得 rn n 1 n 1 整理得rn 所以数列 cn 的前n项和rn 20 2013四川 16 12分 在等差数列 an 中 a1 a3 8 且a4为a2和a9的等比中项 求数列 an 的首项 公差及前n项和 解析设该数列公差为d 前n项和为sn 由已知 可得2a1 2d 8 a1 3d 2 a1 d a1 8d 所以a1 d 4 d d 3a1 0 解得a1 4 d 0 或a1 1 d 3 即数列 an 的首项为4 公差为0 或首项为1 公差为3 所以数列的前n项和sn 4n或sn 评析本题考查等差数列 等比中项的基础知识 考查运算求解能力 考查分类与整合的数学思想 考点二数列的综合应用1 2015福建 8 5分 若a b是函数f x x2 px q p 0 q 0 的两个不同的零点 且a b 2这三个数可适当排序后成等差数列 也可适当排序后成等比数列 则p q的值等于 a 6b 7c 8d 9 答案d由题可知a b是x2 px q 0的两根 a b p 0 ab q 0 故a b均为正数 a b 2适当排序后成等比数列 2是a b的等比中项 得ab 4 q 4 又a b 2适当排序后成等差数列 所以 2是第一项或第三项 不妨设a0 a 1 此时b 4 p a b 5 p q 9 选d 2 2017北京理 10 5分 若等差数列 an 和等比数列 bn 满足a1 b1 1 a4 b4 8 则 答案1 解析本题考查等差数列 等比数列的基础知识 考查运算求解能力 设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为q a1 b1 1 a4 b4 8 a2 2 b2 2 1 3 2017课标全国 文 17 12分 已知等差数列 an 的前n项和为sn 等比数列 bn 的前n项和为tn a1 1 b1 1 a2 b2 2 1 若a3 b3 5 求 bn 的通项公式 2 若t3 21 求s3 解析本题考查了等差 等比数列 设 an 的公差为d bn 的公比为q 则an 1 n 1 d bn qn 1 由a2 b2 2得d q 3 1 由a3 b3 5得2d q2 6 联立 和 解得 舍去 或因此 bn 的通项公式为bn 2n 1 2 由b1 1 t3 21得q2 q 20 0 解得q 5或q 4 当q 5时 由 得d 8 则s3 21 当q 4时 由 得d 1 则s3 6 4 2017课标全国 文 17 12分 设数列 an 满足a1 3a2 2n 1 an 2n 1 求 an 的通项公式 2 求数列的前n项和 解析 1 因为a1 3a2 2n 1 an 2n 故当n 2时 a1 3a2 2n 3 an 1 2 n 1 两式相减得 2n 1 an 2 所以an n 2 又由题设可得a1 2 从而 an 的通项公式为an n n 2 记的前n项和为sn 由 1 知 则sn 思路分析 1 条件a1 3a2 2n 1 an 2n的实质就是数列 2n 1 an 的前n项和 故可利用an与sn的关系求解 2 利用 1 求得的 an 的通项公式 然后用裂项相消法求和 易错警示 1 要注意n 1时 是否符合所求得的通项公式 2 裂项相消后 注意留下了哪些项 避免遗漏 5 2017江苏 19 16分 对于给定的正整数k 若数列 an 满足 an k an k 1 an 1 an 1 an k 1 an k 2kan对任意正整数n n k 总成立 则称数列 an 是 p k 数列 1 证明 等差数列 an 是 p 3 数列 2 若数列 an 既是 p 2 数列 又是 p 3 数列 证明 an 是等差数列 6 2017山东理 19 12分 已知 xn 是各项均为正数的等比数列 且x1 x2 3 x3 x2 2 1 求数列 xn 的通项公式 2 如图 在平面直角坐标系xoy中 依次连接点p1 x1 1 p2 x2 2 pn 1 xn 1 n 1 得到折线p1p2 pn 1 求由该折线与直线y 0 x x1 x xn 1所围成的区域的面积tn 解析本题考查等比数列基本量的计算 错位相减法求和 1 设数列 xn 的公比为q 由已知知q 0 由题意得所以3q2 5q 2 0 因为q 0 所以q 2 x1 1 因此数列 xn 的通项公式为xn 2n 1 2 过p1 p2 pn 1向x轴作垂线 垂足分别为q1 q2 qn 1 由 1 得xn 1 xn 2n 2n 1 2n 1 记梯形pnpn 1qn 1qn的面积为bn 由题意bn 2n 1 2n 1 2n 2 所以tn b1 b2 bn 3 2 1 5 20 7 21 2n 1 2n 3 2n 1 2n 2 2tn 3 20 5 21 7 22 2n 1 2n 2 2n 1 2n 1 得 tn 3 2 1 2 22 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 所以tn 解题关键记梯形pnpn 1qn 1qn的面积为bn 以几何图形为背景确定 bn 的通项公式是关键 方法总结一般地 如果 an 是等差数列 bn 是等比数列 求数列 an bn 的前n项和时 可采用错位相减法 在写 sn 与 qsn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便下一步准确写出 sn qsn 的表达式 7 2016浙江 20 15分 设数列 an 满足 1 n n 1 证明 an 2n 1 a1 2 n n 2 若 an n n 证明 an 2 n n 证明 1 由 1得 an an 1 1 故 n n 所以 n n 均有 an 2 取正整数m0 lo且m0 n0 则 2 与 式矛盾 综上 对于任意n n 均有 an 2 8 2015浙江 20 15分 已知数列 an 满足a1 且an 1 an n n 1 证明 1 2 n n 2 设数列 的前n项和为sn 证明 n n 证明 1 由题意得an 1 an 0 即an 1 an 故an 由an 1 an 1 an 1得an 1 an 1 1 an 2 1 a1 a1 0 由0 an 得 1 2 即1 2 2 由题意得 an an 1 所以sn a1 an 1 由 和1 2得1 2 所以n 2n 因此 an 1 n n 由 得 n n 评析本题主要考查数列的递推公式与单调性 不等式性质等基础知识 同时考查推理论证能力 分析问题和解决问题的能力 9 2014浙江 19 14分 已知数列 an 和 bn 满足a1a2a3 an n n 若 an 为等比数列 且a1 2 b3 6 b2 1 求an与bn 2 设cn n n 记数列 cn 的前n项和为sn i 求sn ii 求正整数k 使得对任意n n 均有sk sn 解析 1 由a1a2a3 an b3 b2 6 知a3 8 又由a1 2 得公比q 2 q 2舍去 所以数列 an 的通项为an 2n n n 所以 a1a2a3 an n n 1 故数列 bn 的通项为bn n n 1 n n 2 i 由 1 知cn n n 所以sn n n ii 因为c1 0 c2 0 c3 0 c4 0 当n 5时 cn 而 0 得 1 所以 当n 5时 cn 0 综上 对任意n n 恒有s4 sn 故k 4 评析本题主要考查等比数列的概念 通项公式 求和公式 不等式性质等基础知识 同时考查运算求解能力 10 2016天津 18 13分 已知 an 是各项均为正数的等差数列 公差为d 对任意的n n bn是an和an 1的等比中项 1 设cn n n 求证 数列 cn 是等差数列 2 设a1 d tn 1 k n n 求证 证明 1 由题意得 anan 1 有cn an 1 an 2 anan 1 2dan 1 因此cn 1 cn 2d an 2 an 1 2d2 所以 cn 是等差数列 2 tn 2d a2 a4 a2n 2d 2d2n n 1 所以 评析本题主要考查等差数列及其前n项和公式 等比中项等基础知识 考查数列求和的基本方法 推理论证能力和运算求解能力 11 2015重庆 22 12分 在数列 an 中 a1 3 an 1an an 1 0 n n 1 若 0 2 求数列 an 的通项公式 2 若 k0 n k0 2 1 证明 2 2 解析 1 由 0 2 有an 1an 2 n n 若存在某个n0 n 使得 0 则由上述递推公式易得 0 重复上述过程可得a1 0 此与a1 3矛盾 所以对任意n n an 0 从而an 1 2an n n 即 an 是一个公比q 2的等比数列 故an a1qn 1 3 2n 1 2 证明 由 1 数列 an 的递推关系式变为an 1an an 1 0 变形为an 1 n n 由上式及a1 3 0 归纳可得3 a1 a2 an an 1 0 因为an 1 an 所以对n 1 2 k0求和得 a1 a2 a1 a1 k0 2 2 另一方面 由上已证的不等式知a1 a2 2 得 a1 k0 2 2 综上 2 2 12 2014湖南 20 13分 已知数列 an 满足a1 1 an 1 an pn n n 1 若 an 是递增数列 且a1 2a2 3a3成等差数列 求p的值 2 若p 且 a2n 1 是递增数列 a2n 是递减数列 求数列 an 的通项公式 解析 1 因为 an 是递增数列 所以 an 1 an an 1 an pn 而a1 1 因此a2 p 1 a3 p2 p 1 又a1 2a2 3a3成等差数列 所以4a2 a1 3a3 因而3p2 p 0 解得p 或p 0 当p 0时 an 1 an 这与 an 是递增数列矛盾 故p 2 由于 a2n 1 是递增数列 因而a2n 1 a2n 1 0 于是 a2n 1 a2n a2n a2n 1 0 但0 因此a2n a2n 1 因为 a2n 是递减数列 同理可得 a2n 1 a2n 0 故a2n 1 a2n 由 知 an 1 an 于是an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 1 1 故数列 an 的通项an 13 2013课标全国 12 5分 设 anbncn的三边长分别为an bn cn anbncn的面积为sn n 1 2 3 若b1 c1 b1 c1 2a1 an 1 an bn 1 cn 1 则 a sn 为递减数列b sn 为递增数列c s2n 1 为递增数列 s2n 为递减数列d s2n 1 为递减数列 s2n 为递增数列 以下为教师用书专用 14 2015陕西 21 12分 设fn x 是等比数列1 x x2 xn的各项和 其中x 0 n n n 2 1 证明 函数fn x fn x 2在内有且仅有一个零点 记为xn 且xn 2 设有一个与上述等比数列的首项 末项 项数分别相同的等差数列 其各项和为gn x 比较fn x 和gn x 的大小 并加以证明 解析 1 证明 fn x fn x 2 1 x x2 xn 2 则fn 1 n 1 0 fn 1 2 2 0 故fn x 在内单调递增 所以fn x 在内有且仅有一个零点xn 因为xn是fn x 的零点 所以fn xn 0 即 2 0 故xn 2 解法一 由题设知 gn x 设h x fn x gn x 1 x x2 xn x 0 当x 1时 fn x gn x 当x 1时 h x 1 2x nxn 1 若0 xn 1 2xn 1 nxn 1 xn 1 xn 1 xn 1 0 若x 1 h x 0 当x 1时 fn x gn x 当x 1时 用数学归纳法可以证明fn x gn x 当n 2时 f2 x g2 x 1 x 20 则h k x k k 1 xk k k 1 xk 1 k k 1 xk 1 x 1 所以当01时 h k x 0 hk x 在 1 上递增 所以hk x hk 1 0 从而gk 1 x 故fk 1 x gk 1 x 即n k 1时不等式也成立 由 和 知 对一切n 2的整数 都有fn x 0 2 k n 当x 1时 ak bk 所以fn x gn x 当x 1时 m k x nxn 1 k 1 xk 2 k 1 xk 2 xn k 1 1 而2 k n 所以k 1 0 n k 1 1 若01 xn k 1 1 m k x 0 从而mk x 在 0 1 上递减 在 1 上递增 所以mk x mk 1 0 所以当x 0且x 1时 ak bk 2 k n 又a1 b1 an 1 bn 1 故fn x gn x 综上所述 当x 1时 fn x gn x 当x 1时 fn x gn x 15 2014四川 19 12分 设等差数列 an 的公差为d 点 an bn 在函数f x 2x的图象上 n n 1 若a1 2 点 a8 4b7 在函数f x 的图象上 求数列 an 的前n项和sn 2 若a1 1 函数f x 的图象在点 a2 b2 处的切线在x轴上的截距为2 求数列的前n项和tn 评析本题考查等差数列与等比数列的概念 等差数列与等比数列通项公式与前n项和 导数的几何意义等基础知识 考查运算求解能力 16 2014江西 17 12分 已知首项都是1的两个数列 an bn bn 0 n n 满足anbn 1 an 1bn 2bn 1bn 0 1 令cn 求数列 cn 的通项公式 2 若bn 3n 1 求数列 an 的前n项和sn 解析 1 因为anbn 1 an 1bn 2bn 1bn 0 bn 0 n n 所以 2 即cn 1 cn 2 所以数列 cn 是以1为首项 2为公差的等差数列 故cn 2n 1 2 由bn 3n 1知an cnbn 2n 1 3n 1 于是数列 an 的前n项和sn 1 30 3 31 5 32 2n 1 3n 1 3sn 1 31 3 32 2n 3 3n 1 2n 1 3n 相减得 2sn 1 2 31 32 3n 1 2n 1 3n 2 2n 2 3n 所以sn n 1 3n 1 评析本题主要考查等差数列的有关概念及求数列的前n项和 考查学生的运算求解能力 在利用错位相减法求和时 计算失误是学生失分的主要原因 17 2014湖北 18 12分 已知等差数列 an 满足 a1 2 且a1 a2 a5成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 记sn为数列 an 的前n项和 是否存在正整数n 使得sn 60n 800 若存在 求n的最小值 若不存在 说明理由 解析 1 设数列 an 的公差为d 依题意 2 2 d 2 4d成等比数列 故有 2 d 2 2 2 4d 化简得d2 4d 0 解得d 0或d 4 当d 0时 an 2 当d 4时 an 2 n 1 4 4n 2 从而得数列 an 的通项公式为an 2或an 4n 2 2 当an 2时 sn 2n 显然2n60n 800成立 当an 4n 2时 sn 2n2 令2n2 60n 800 即n2 30n 400 0 解得n 40或n60n 800成立 n的最小值为41 综上 当an 2时 不存在满足题意的n 当an 4n 2时 存在满足题意的n 其最小值为41 评析本题考查了数列的通项公式和求和公式 考查了分类讨论的方法 1 2015浙江杭州学军中学月考 7 设等差数列 an 满足 1 且其前n项的和sn有最大值 则当数列 sn 的前n项的和取得最大值时 正整数n的值是 a 12b 11c 23d 22 三年模拟 一 选择题 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 答案d等差数列 an 前n项的和sn有最大值 则 an 的公差d是负数 由 1得 0 即 0 得 11 当数列 sn 的前n项的和取得最大值时 有即又d 0 所以解得 n 1 因为 11 所以21 22 且22 1 23 故n 22 2 2016浙江温州二模 7 数列 an 是递增数列 且满足an 1 f an a1 0 1 则f x 不可能是 a f x b f x 2x 1c f x d f x log2 x 1 答案b因为数列 an 是递增数列 所以an 1 an 即f an an 所以点 an f an 在直线y x的上方 又易知a c d中的函数在区间 0 1 上的图象都在直线y x上方 所对应的数列 an 是递增数列 故选b 二 填空题 3 2017浙江 超级全能生 3月联考 11 已知等比数列 an 的前n项和为sn a1 1 若a1 s2 5成等差数列 则数列 an 的公比q sn 答案2 2n 1 解析由条件知a1 5 2s2 即a1 2a2 5 又a1 1 则a2 2 所以等比数列 an 的公比q 2 sn 2n 1 4 2016浙江名校 镇海中学 交流卷二 12 已知正项数列 an 满足log2an 1 1 log2an 若a1 1 则其前10项和s10 若a5 2 则a1a2 a9 答案1023 512 解析由题意知an 1 2an 所以数列 an 是以2为公比的等比数列 故an a1 2n 1 2n 1 所以s10 1023 当a5 2时 a1a2 a9 512 三 解答题 5 2017浙江宁波二模 5月 22 已知数列 an 中 a1 4 an 1 n n sn为 an 的前n项和 1 求证 当n n 时 an an 1 2 求证 当n n 时 2 sn 2n 证明 1 当n 2时 因为an an 1 2分 所以an an 1与an 1 an同号 3分 又因为a1 4 a2 a1 a2 0 所以当n n 时 an an 1 5分 2 由条件易得2 6 an 所以2 4 an 2 所以2 an 1 2 an 1 2 an 2 所以an 1 2与an 2同号 又因为a1 4 即a1 2 0 所以an 2 8分 又sn a1 a2 an a1 n 1 2 2n 2 所以sn 2n 2 10分 由 可得 因此 an 2 a1 2 即an 2 2 12分 所以sn a1 a2 an 2n 2 2n 2n 综上可得 2 sn 2n 15分 6 2017浙江湖州期末调研 22 已知数列 an 满足a1 an 1 n n 1 求a2 2 求的通项公式 3 设 an 的前n项和为sn 求证 sn 解析 1 由条件可得a2 3分 2 由an 1 得 所以 1 6分 又 1 所以是以首项为 公比为的等比数列 因此 1 7分 3 由 2 可得an 9分 所以sn a1 a2 an 11分 又an 13分 所以sn a1 a2 a3 an n 3 14分 又s1 s2 因此 sn n n 综上 sn 15分 7 2015浙江冲刺卷五 19 已知数列 an 满足a1 1 an 3 2an 1 n n 且an 0 求证 当n n 时 1 an 2 2 证明 1 由题意可得 an 3 2an 10 又an 0 2an 1 an 即 当n 2时 an a1 又a1 1 an 8分 2 由题意知 an 3 2an 1 2 an 1 令bn an 则 b1 a1 2 则当n 2时 bn b1 又b1 2 bn 则 an 故 1 2 2 15分 1 2017浙江 七彩阳光 新高考研究联盟测试 9 已知函数f x sinxcosx cos2x 0 x0 x1 x2 xn an f xn f xn 1 n n sn a1 a2 an 则sn的最大值等于 a b c 1d 2 一 选择题 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 答案a因为f x sin2x cos2x 1 sin 则y f x 在区间上为增函数 此时 f x min f 0 1 f x max f 在区间上为减函数 此时 f x min f 0 f x max f 不妨设0 x0f xk 1 f xn f 0 所以a1 a2 ak f x1 f x0 f x2 f x1 f xk f xk 1 f xk f x0 ak 1 ak 2 an f xk f xk 1 f xk 1 f xk 2 f xn 1 f xn f xk f xn 故sn a1 a2 an f xk f x0 f xk f xn 2f xk f x0 f xn 2f f 0 f 故sn的最大值为 2 2016浙江镇海中学测试 七 6 已知数列 an 满足 a1 1 an 1 n n 若a2k a2k 1 9 a2k 2成等比数列 则正整数k的值是 a 1b 2c 3d 4 答案b因为a2k 1 2a2k 2 a2k 1 1 k n 所以a2k 1 2 2 a2k 1 2 所以 a2k 1 2 是以3为首项 2为公比的等比数列 所以a2k 1 3 2k 1 2 k n 所以a2k a2k 1 1 3 2k 1 1 a2k 1 3 2k 2 a2k 2 3 2k 1 故 3 2k 1 1 3 2k 8 解得2k 1 2 2k 1 舍去 所以k 2 故选b 二 填空题 3 2015浙江名校 诸暨中学 交流卷四 10 等差数列 an 的公差d 0 且 则a11 若a3 4 则 a1 a2 a3 a2015 答案0 解析 且d 0 a1 10d 0 即得a11 0 由得d a1 5 故an 则sn 且n 11时 an 0 n 12时 an 0 则 a1 a2 a3 a2015 a1 a2 a11 a12 a2015 2s11 s2015 5 2017浙江名校 诸暨中学 交流卷四 22 数列 an 满足an 1 nan 1 n n 1 当an n 2对一切正整数n成立时 a1应满足什么条件 2 证明 存在无数个a1的取值 使得对一切正整数n都有 解析 1 当a1 3时 an n 2对一切正整数n成立 用数学归纳法证明 i 当n 1时 a1 3成立 ii 当n k时 假设ak k 2成立 则当n k 1时 ak 1 kak 1 ak ak k 1 ak k 2 k 1 2ak 1 2 k 2 1 2k 5 k 1 2 综上 当且仅当a1 3时 an n 2对一切正整数n均成立 2 由 1 知 当a1 3时 an n 2 an 1 nan 1 an an n 1 an n 2 n 1 2an 1 n n 于是 an 1 1 2 an 1 22 an 1 1 2n a1 1 n n 从而 对任意的i n 所以 欲使 只需a1 3 所以 只要a1 3 不等式 对任意的正整数n均成立 即满足要求的a1的取值有无数多个 6 2017浙江镇海中学模拟卷五 22 如图 p1 x1 y1 p2 x2 y2 pn xn yn 是曲线c y2 x y 0 上的n个点 点ai ai 0 i 1 2 n 在x轴的正半轴上 ai 1aipi满足ai 1pi piai且 ai 1piai a0是坐标原点 1 求a1 2 求证 数列 an 1 an 是等差数列 3 设bn 求证 7 2017浙江高考模拟训练冲刺卷四 22 已知数列 an 满足a1 1 且an 1 an n n 求证 1 0 an 1 an 1 n n 2 当n n 时 an 证明 1 a1 1 a2 0 从而有a3 0 依此递推得an 0 2n 1 an 1 1 an 1 2n 0 若存在k 2 k n 使得ak 1 则有ak 1 1 依此递推得a2 1 与a2 不符 而k 1显然不成立 00 得an 1 an an 又0 an 1 an 1 从而有1 2 n n 由an 1 an 得 从而有 即 所以 即 an 1 故n 2时 an 又n 1时 a1 1 故当n n 时 an 8 2017浙江测试卷 22 已知数列 an 满足a1 1 an 1 n n 记sn tn分别是数列 an 的前n项和 证明 当n n 时 1 an 1 an 2 tn 2n