（试题 试卷 真题）专题9平面向量及应用(教师版)

专题9 平面向量及应用高考在考什么【考题回放】ABCD1、如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 （ C ）（A）； （B）；（C）； （D）2、若与都是非零向量，则“”是“”的（ C ）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件3、已知三点，其中为常数.若，则与的夹角为（ D ）（A） （B）或 （C） （D）或4、已知向量，则的最大值为5、设向量，满足，若=1,则+的值是4.6、设函数，其中向量，。（）、求函数的最大值和最小正周期；（）、将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。【专家解答】 ()由题意得=(sinx，cosx)(sinxcosx，sinx3cosx) sin2x2sinxcosx+3cos2x2+cos2xsin2x2+sin(2x+).所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是.（）由sin(2x+)0得2x+k，即x,kZ，于是d（，2），kZ.因为k为整数，要使最小，则只有k1，此时d（，2）即为所求.高考要考什么【考点透视】本专题主要涉及向量的概念、几何表示、加法和减法，实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算，以及平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段的定比分点坐标公式和向量的平移公式.【热点透析】在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用。在复习中要重视教材的基础作用，加强基本知识的复习，做到概念清楚、运算准确，不必追求解难题。热点主要体现在平面向量的数量积及坐标运算以及平面向量在三角，解析几何等方面的应用.高考将考什么【范例1】出下列命题：若，则； 若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件； 若，则； 的充要条件是且； 若，则。 其中，正确命题材的序号是_.解析：不正确性。两个向量长度相同，但它的方向不一定相同。正确。且，又A、B、C、D为不共线的四点， 四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形为平行四边形，则，因此。正确。，、的长度相等且方向相同，又=，、的长度相等且方向相同，、的长度相等且方向相同，故。不正确。当且方向相同，即使，也不能得到。不正确。考虑这种极端情况。答案：。【点晴】本题重在考查平面的基本概念。【范例2】平面内给定三个向量：。回答下列问题：（1）求； （2）求满足的实数m和n ；（3）若，求实数k；（4）设满足且，求解：（1）依题意，得=3（3，2）+（-1，2）-2（4，1）=（0，6）（2），（3，2）=m（-1,2）+n（4,1）=（-m+4n,2m+n） 解之得（3），且=（3+4k，2+k），=（-5，2）（3+4k）2-（-5）（2+k）=0，；（4）=（x-4，y-1），=（2，4）， 又且，解之得或=（，）或=（，）【点晴】根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解。【范例3】已知射线OA、OB的方程分别为，动点M、N分别在OA、OB上滑动，且。 （1）若，求P点的轨迹C的方程；（2）已知，请问在曲线C上是否存在动点P满足条件，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由。 解：（1）设，则，所以，即。又因为，所以 ，代入得：。（2），所以，因为，所以，得，又，联立得，因为，所以不存在这样的P点。【点晴】本题是一道综合题，重在考查向量的概念及轨迹方程的求法。【文】设向量a(sinx，cosx)，b(cosx，cosx)，xR，函数f(x)a(ab).（）求函数f(x)的最大值与最小正周期；（）求使不等式f(x)成立的x的取值集。解：() 的最大值为，最小正周期是。（）由()知 即成立的的取值集合是.【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.【范例4】已知=（x,0），=（1，y），（+）（）（I） 求点（x，y）的轨迹C的方程；（II） 若直线l： y=kx+m (m0)与曲线C交于A、B两点，D（0，1），且有|AD|=|BD|，试求m的取值范围解:（I）+=（x,0）+(1,y)=(x+, y),=（x, 0）(1,y)= (x, y).(+)(), (+)()=0, (x+)( x)+y(y)=0, 故P点的轨迹方程为（II）考虑方程组 消去y，得（13k2）x2-6kmx-3m2-3=0 (*)显然1-3k20, =(6km)2-4(1-3k2)( -3m2-3)=12(m2+1-3k2)0.设x1,x2为方程*的两根，则x1+x2=，x0=, y0=kx0+m=,故AB中点M的坐标为（，）,线段AB的垂直平分线方程为y=（）,将D（0，1）坐标代入，化简得 4m=3k21,故m、k满足 消去k2得 m24m0, 解得 m4.又4m=3k211, 故m(,0)(4,+)【点睛】本题用向量语言来表达平面几何问题，是亮点。【文】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，若点C满足，点C的轨迹与抛物线交于A、B两点；（1）求点C的轨迹方程；（2）求证：；（3）在x轴正半轴上是否存在一定点，使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.解：（1）设，由知，点C的轨迹为.（2）由消y得：设，则，,所以，所以，于是 （3）假设存在过点P的弦EF符合题意，则此弦的斜率不为零，设此弦所在直线的方程为,由消x得：，设，则，.因为过点P作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的2倍，所以即,所以得，所以存在. 自我提升1如图1所示，是的边上的中点，则向量（ A ）A. B. C. D. 2已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则（B）A（） B（） C（） D（）3. 的三内角所对边的长分别为设向量,若,则角的大小为（ B ）A. B. C. D.4已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 ( B )A.0, B. C. D.5若三点共线，则的值等于_.6已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么a+b与a-b的夹角的大小是 . 7已知，与垂直，与的夹角为，且，求实数的值及与的夹角解：设，则； ； ；解得，或，对应的分别为，或，分别代入，解得；8已知定点，动点在轴上运动，过点作交轴于点，并延长到点，且（）求点的轨迹；（）直线与的轨迹交于两点，若，且，求直线的斜率的取值范围解：（1）设，则，又，即为的中点，因此，的轨迹方程为：，其轨迹为以为焦点的抛物线.（2）设，与联立得：设，则是（*）式的两根，且由得：，即.因此，直线方程可写为：（*）式可化为：而即：令，解得【文】（）求M()的轨迹