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考研高等数学基础班讲义5.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1. 二元函数的定义及其几何意义设是平面上的一个点集，如果对每个点，按照某一对应规则，变量都有一个值与之对应，则称是变量的二元函数，记以，称为定义域。二元函数的图形为空间一块曲面，它在平面上的投影区域就是定义域。例如 二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域就是平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。2. 三元函数与元函数。为空间一个点集则称为三元函数，称为元函数。它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。【例1】 求函数的定义域，解 要求，即；又要求即或综合上述要求得定义域或【例2】 求函数的定义域。解 要求和即 函数定义域在圆的内部（包括边界）和抛物线的左侧（不包括抛物线上的点）【例3】 设，求。解设解出代入所给函数化简 故 【例4】 设，求。解 二、 二元函数的极限设在点的去心邻域内有定义；如果对任意，存在，只要，就有则记以或称当趋于时，的极限存在，极限值为，否则，称为极限不存在.值得注意：这里趋于是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单地讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。【例1】 讨论（常数）。解 原式而 又 ，原式【例2】 讨论解 沿，原式但沿，原式可见原式的极限不存在。【例3】 讨论解 而 用夹逼定理可知 原式三、二元函数的连续性1.二元函数连续的概念若则称在点处连续。若在区域内每一点皆连续，则称在内连续。2.闭区域上连续函数的性质。定理1（有界性定理）设在闭区域上连续，则在上一定有界。定理2（最大值最小值定理）设在闭区域上连续，则在上一定有最大值和最小值。（最大值）（最小值）。定理3（介值定理）设在闭区域上连续，为最大值，为最小值，若，则存在，使得。注：证明在点不连续的方法之一是：证明点沿某曲线趋于时的极限不存在或部位；证明不存在的
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