高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法课件 新人教A版选修22.ppt

2 2 1综合法和分析法 第二章 2 2直接证明与间接证明 学习目标 1 理解综合法 分析法的意义 掌握综合法 分析法的思维特点 2 会用综合法 分析法解决问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一综合法 思考阅读下列证明过程 总结此证明方法有何特点 已知a b 0 求证 a b2 c2 b c2 a2 4abc 证明 因为b2 c2 2bc a 0 所以a b2 c2 2abc 又因为c2 a2 2ac b 0 所以b c2 a2 2abc 因此a b2 c2 b c2 a2 4abc 答案利用已知条件a 0 b 0和重要不等式 最后推导出所要证明的结论 梳理 1 定义 一般地 利用已知条件和某些数学 等 经过一系列的 最后推导出所要证明的成立 这种证明方法叫做综合法 2 综合法的框图表示 p表示 已有的 等 q表示所要 定义 公理 定理 推理论证 结论 已知条件 定义 公理 定理 证明的结论 思考阅读证明基本不等式的过程 试分析证明过程有何特点 知识点二分析法 答案从结论出发开始证明 寻找使证明结论成立的充分条件 最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件 梳理 1 定义 从要证明的出发 逐步寻求使它成立的 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 等 为止 这种证明方法叫做分析法 2 分析法的框图表示 结论 充分条件 已知条件 定理 定义公理 1 综合法是执果索因的逆推证法 2 分析法就是从结论推向已知 3 分析法与综合法证明同一问题时 一般思路恰好相反 过程相逆 思考辨析判断正误 题型探究 类型一综合法的应用 证明 证明因为a b c成等比数列 所以b2 ac 反思与感悟综合法证明问题的步骤 跟踪训练1已知a b c为不全相等的正实数 证明 又a b c为不全相等的正实数 且上述三式等号不能同时成立 类型二分析法的应用 证明 当a b 0时 用分析法证明如下 a2 b2 2ab对一切实数恒成立 综上所述 不等式得证 反思与感悟分析法格式与综合法正好相反 它是从要求证的结论出发 倒着分析 由未知想需知 由需知逐渐地靠近已知 已知条件 已经学过的定义 定理 公理 公式 法则等 这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的 它的常见书写表达式是 要证 只需 或 证明 跟踪训练2已知非零向量a b 且a b 只需证 a 2 2 a b b 2 2 a2 2a b b2 只需证 a 2 2 a b b 2 2a2 2b2 只需证 a 2 b 2 2 a b 0 即证 a b 2 0 上式显然成立 故原不等式得证 类型三分析法与综合法的综合应用 证明 例3 abc的三个内角a b c成等差数列 其对边分别为a b c 求证 a b 1 b c 1 3 a b c 1 证明要证 a b 1 b c 1 3 a b c 1 即证c b c a a b a b b c 即证c2 a2 ac b2 因为 abc三个内角a b c成等差数列 所以b 60 由余弦定理 得b2 c2 a2 2cacos60 即b2 c2 a2 ac 所以c2 a2 ac b2成立 命题得证 证明 引申探究 只需证a b a b c 1 a b c 即证a b c 而a b c显然成立 反思与感悟综合法由因导果 分析法执果索因 因此在实际解题时 常常把分析法和综合法结合起来使用 即先利用分析法寻找解题思路 再利用综合法有条理地表述解答过程 跟踪训练3已知a b c是不全相等的正数 且0 x 1 证明 又 a b c是不全相等的正数 达标检测 1 命题 对于任意角 cos4 sin4 cos2 的证明过程为 cos4 sin4 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 其应用了a 分析法b 综合法c 综合法 分析法综合使用d 类比法 1 2 3 4 5 答案 1 2 3 4 5 a ab bc cd 随x取值不同而不同 解析 答案 解析根据不等式性质 当a b 0时 才有a2 b2 1 2 3 4 5 解析 答案 答案 解析 4 已知a b c分别是 abc的内角a b c的对边 且a2 b2 c2 ab 则角c的值为 1 2 3 4 5 只需证3 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 只需证2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 只需证 a b 2 b c 2 c a 2 0 而这是显然成立的 证明 1 2 3 4