高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念课件 新人教A版选修22.ppt

3 1 1数系的扩充和复数的概念 第三章 3 1数系的扩充和复数的概念 学习目标 1 了解引进虚数单位i的必要性 了解数集的扩充过程 2 理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念 3 掌握复数代数形式的表示方法 理解复数相等的充要条件 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一复数的概念及代数表示 思考为解决方程x2 2在有理数范围内无根的问题 数系从有理数扩充到实数 那么怎样解决方程x2 1 0在实数系中无根的问题呢 答案设想引入新数i 使i是方程x2 1 0的根 即i i 1 方程x2 1 0有解 同时得到一些新数 梳理 1 复数 定义 把集合c a bi a b r 中的数 即形如a bi a b r 的数叫做复数 其中i叫做 a叫做复数的 b叫做复数的 表示方法 复数通常用字母表示 即 a b r 这一表示形式叫做复数的代数形式 2 复数集 定义 所成的集合叫做复数集 表示 通常用大写字母表示 虚数单位 实部 虚部 z z a bi 全体复数 c 在复数集c a bi a b r 中任取两个数a bi c di a b c d r 我们规定 a bi与c di相等的充要条件是 知识点二两个复数相等的充要条件 a c且b d 知识点三复数的分类 2 集合表示 1 若a b为实数 则z a bi为虚数 2 复数z bi是纯虚数 3 若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0 那么这两个复数相等 思考辨析判断正误 题型探究 类型一复数的概念 例1 1 给出下列几个命题 若z c 则z2 0 2i 1虚部是2i 2i的实部是0 若实数a与ai对应 则实数集与纯虚数集一一对应 实数集的补集是虚数集 其中真命题的个数为a 0b 1c 2d 3 解析 答案 解析令z i c 则i2 1 0 故 不正确 中2i 1的虚部应是2 故 不正确 当a 0时 ai 0为实数 故 不正确 只有 正确 2 已知复数z a2 2 b i的实部和虚部分别是2和3 则实数a b的值分别是 解析 答案 反思与感悟 1 复数的代数形式 若z a bi 只有当a b r时 a才是z的实部 b才是z的虚部 且注意虚部不是bi 而是b 2 不要将复数与虚数的概念混淆 实数也是复数 实数和虚数是复数的两大构成部分 3 举反例 判断一个命题为假命题 只要举一个反例即可 所以解答这类题时 可按照 先特殊 后一般 先否定 后肯定 的方法进行解答 跟踪训练1下列命题 若a r 则 a 1 i是纯虚数 若 x2 4 x2 3x 2 i是纯虚数 则实数x 2 实数集是复数集的真子集 其中正确说法的个数是a 0b 1c 2d 3 解析 答案 解析对于复数a bi a b r 当a 0且b 0时 为纯虚数 对于 若a 1 则 a 1 i不是纯虚数 故 错误 对于 若x 2 则x2 4 0 x2 3x 2 0 此时 x2 4 x2 3x 2 i 0 不是纯虚数 故 错误 显然 正确 故选b 类型二复数的分类 解答 解复数z是虚数的充要条件是 当m 3且m 2时 复数z是虚数 解答 2 纯虚数 解复数z是纯虚数的充要条件是 当m 3时 复数z是纯虚数 解答 引申探究1 若本例条件不变 m为何值时 z为实数 虚部为m2 5m 6 复数z是实数的充要条件是 当m 2时 复数z是实数 解析 答案 3或 2 反思与感悟利用复数的概念对复数分类时 主要依据实部 虚部满足的条件 可列方程或不等式求参数 跟踪训练2当实数m为何值时 复数lg m2 2m 7 m2 5m 6 i是 1 纯虚数 解答 解复数lg m2 2m 7 m2 5m 6 i是纯虚数 解答 2 实数 解复数lg m2 2m 7 m2 5m 6 i是实数 类型三复数相等 例3 1 已知x0是关于x的方程x2 2i 1 x 3m i 0 m r 的实根 则m的值是 解析 答案 2 已知a 1 2 a2 3a 1 a2 5a 6 i b 1 3 a b 3 求实数a的值 解答 解由题意知 a2 3a 1 a2 5a 6 i 3 a r 反思与感悟 1 在两个复数相等的充要条件中 注意前提条件是a b c d r 即当a b c d r时 a bi c di a c且b d 若忽略前提条件 则结论不成立 2 利用该条件把复数的实部和虚部分离出来 达到 化虚为实 的目的 从而将复数问题转化为实数问题来求解 解析 答案 跟踪训练3复数z1 2m 7 m2 2 i z2 m2 8 4m 3 i m r 若z1 z2 则m 5 解析因为m r z1 z2 所以 2m 7 m2 2 i m2 8 4m 3 i 达标检测 1 若xi i2 y 2i x y r 则复数x yi等于a 2 ib 2 ic 1 2id 1 2i解析由i2 1 得xi i2 1 xi 则由题意得1 xi y 2i 根据复数相等的充要条件得x 2 y 1 故x yi 2 i 1 2 3 4 5 解析 答案 1 2 3 4 5 2 若复数z m2 1 m2 m 2 i为实数 则实数m的值为a 1b 2c 1d 1或2解析因为复数z m2 1 m2 m 2 i为实数 所以m2 m 2 0 解得m 1或m 2 解析 答案 3 下列几个命题 两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等 两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等 1 ai a r 是一个复数 虚数的平方不小于0 1的平方根只有一个 即为 i i是方程x4 1 0的一个根 i是一个无理数 其中真命题的个数为a 3b 4c 5d 6 1 2 3 4 5 解析 答案 解析命题 正确 错误 答案 解析 4 已知复数z a2 2a 3 i a r 的实部大于虚部 则实数a的取值范围是 1 2 3 4 5 1 3 解析由已知可得a2 2a 3 即a2 2a 3 0 解得a 3或a3或a 1 5 若log2 x2 3x 2