高考数学第一轮基础复习课后作业 98 用向量方法求角与距离 理 新人教B版.doc

9-8 用向量方法求角与距离(理) 1.(2011福州模拟)已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且bp平面abc，则实数x，y，z分别为() a.，4b.，4c.，2,4 d4，15答案b解析，352z0，z4，平面abc，故选b.2在直三棱柱a1b1c1abc中，bca90，点d1、f1分别是a1b1、a1c1的中点，bccacc1，则bd1与af1所成的角的余弦值是()a. b.c. d.答案a解析建立如下图所示的坐标系，设bc1，则a(1,0,0)，f1，b(0，1,0)，d1，1，即，.cos，.3已知正方体abcda1b1c1d1，则直线bc1与平面a1bd所成的角的余弦值是()a. b.c. d.答案c解析如上图，以d为坐标原点，直线da、dc、dd1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则d(0,0,0)，a1(1,0,1)，b(1,1,0)，c1(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，设平面a1bd的一个法向量为n(x，y，z)，则，令x1得，n(1， 1，1)，设直线bc1与平面a1bd所成角为，则sin|cos，n|，cos.4在空间直角坐标oxyz中，平面oab的一个法向量为n(2，2,1)，已知点p(1,3,2)，则点p到平面oab的距离d等于()a4b3c2d1答案b解析由条件知，o在平面oab内，(1,3,2)，点p到平面oab的距离d2.5.( 2011皖南八校联考)如下图，平面平面，a，b，ab与两平面，所成的角分别为和，过a，b两点分别作两平面交线的垂线，垂足为a，b，若ab12，则ab的长为()a4b6c8d9答案b解析由条件知，aba，bab，aab，ab12，aa6，bb6，|2()2|2|2|222236144722612cos2126cos036，ab|6.6(2011广东省江门模拟)如下图，abcda1b1c1d1是棱长为6的正方体，e、f分别是棱ab、bc上的动点，且aebf.当a1、e、f、c1四点共面时，平面a1de与平面c1df所成二面角的余弦值为()a. b.c. d.答案b解析以d为原点，da、dc、dd1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则a1(6,0,6)、e(6,3,0)、f(3,6,0)，设平面a1de的法向量为n1(a，b，c)，依题意得令a1，则c1，b2，所以n1(1,2,1)，同理得平面c1df的一个法向量为n2(2，1,1)，由题图知，平面a1de与平面c1df所成二面角的余弦值为.7(2011浙江丽水模拟)如下图所示，pd垂直于正方形abcd所在平面，ab2，e为pb的中点，cos，若以da，dc，dp所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点e的坐标为_答案(1,1,1)解析设pda，则由题意知a(2,0,0)，b(2,2,0)，p(0,0，a)，e(1,1，)，(0,0，a)，(1,1，)，cos，a2，点e的坐标为(1,1,1)8(2011海淀检测)若正四棱柱abcda1b1c1d1的底面边长为1，ab1与底面abcd成60角，则a1c1到底面abcd的距离为_答案解析设a1c1到底面的距离为a(a0)，以d为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如下图空间直角坐标系，则a(1,0,0)，b1(1,1，a)，(0,1，a)，又平面abcd的一个法向量n(0,0,1)，由条件知sin60|cos，n|，a.9已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的正弦值为_答案解析设正三角形abc的中心为o，过o作直线lbc，分别以直线l、ao、po为x轴、y轴、z轴建立如下图空间直角坐标系，则底面abc的一个法向量n(0,0,1)，由条件知a(0，0)，设p(0,0，a)(a0)，由|2得，a，设侧棱与底面所成角为，则sin|cosn，|.点评由上述解答过程可见，本题不如用综合几何方法简便，事实上图中pao为直线pa与底面abc所成的角，cospao，sinpao，故在解题中，要注意依据所给条件灵活选取解法10(2010河北邯郸市模考)如下图所示，在正三棱柱abca1b1c1中，底面边长为a，侧棱长为a，d是棱a1c1的中点(1)求证：bc1平面ab1d；(2)求二面角a1ab1d的大小；(3)求点c1到平面ab1d的距离解析(1)连结a1b与ab1交于e，则e为a1b的中点，d为a1c1的中点，de为a1bc1的中位线，bc1de.又de平面ab1d，bc1平面ab1d，bc1平面ab1d.(2)解法1：过d作dfa1b1于f，由正三棱柱的性质可知，df平面abb1a1，连结ef，de，在正a1b1c1中，b1da1b1a，由直角三角形aa1d中，ada，adb1d，deab1，由三垂线定理的逆定理可得efab1.则def为二面角a1ab1d的平面角，又dfa，b1feb1aa1，efa，def.故所求二面角a1ab1d的大小为.解法2：(向量法)建立如图所示空间直角坐标系，则a(0，a,0)，b1(0，a，a)，c1(a,0，a)，a1(0，a，a)，d(a，a，a)(0，a，a)，(a，a,0)设n(x，y，z)是平面ab1d的一个法向量，则可得，所以，即，取y1可得n(，1，)又平面abb1a1的一个法向量n1(a,0,0)，设n与n1的夹角是，则cos.又知二面角a1ab1d是锐角，所以二面角a1ab1d的大小是.(3)解法1：设点c1到平面ab1d的距离为h，因ad2dbab，所以addb1，故sadb12a2，而sc1b1dsa1b1c1a2，由vc1ab1dvac1b1dsab1dhsc1b1daa1ha.解法2：由(2)知平面ab1d的一个法向量n(，1，)，(a，a，a)，da.即c1到平面ab1d的距离为a.11.(2010新乡市模考)如下图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，o是底面a1b1c1d1的中心，则点o到平面abc1d1的距离为()a. b.c. d.答案b解析以d为原点，da、dc、dd1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则a(1,0,0)，b(1,1,0)，d1(0,0,1)，c1(0,1,1)，o，设平面abcd的法向量n(x，y,1)，则，n(1,0,1)，又，o到平面abc1d1的距离d.点评1.建立坐标系可以有不同的方案，如以a为原点，直线ab、ad、aa1分别为x轴、y轴、z建立空间直角坐标系，则o，a(0,0,0)，b(1,0,0)，d1(0,1,1)，设平面abc1d1的法向量n(x，y,1)，则，n(0，1,1)，o到平面abc1d1的距离h.2也可以不用空间向量求解取b1c1的中点m，连结b1c交bc1于o，取oc1的中点n，连结mn，则mnbc1，又在正方体abcda1b1c1d1中，om平行于平面abc1d1，则o到平面abc1d1的距离转化为m到平面abc1d1的距离，即mn，故选b.12(2011咸阳模拟)正四棱锥sabcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且sood，则直线bc与平面pac的夹角的大小为_答案30解析由条件知acbd，ac与bd交点为o，以o为原点，射线oc，射线od，射线os分别为x轴、y轴、z轴正半轴建立空间直角坐标系，设sood，则bc2，a(，0,0)，c(，0,0)，d(0，0)，s(0,0，)，b(0，0)，p(0，)，(，0)，(2，0,0)，(，)设平面pac的一个法向量n(x，y，z)，则，取n(0,1，1)，设直线bc与平面pac成的角为，则sin|cosn，|，30.13(2011洛阳联考)如下图所示，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，四边形abcd是矩形，e、f分别是ab、pd的中点若paad3，cd.(1)求证：af平面pce；(2)求点f到平面pce的距离；(3)求直线fc与平面pce所成角的正弦值解析如上图所示建立空间直角坐标系axyz，a(0,0,0)，p(0,0,3)，d(0,3,0)，e(，0,0)，f(0，)，c(，3,0)(1)取pc的中点g，连接eg，则g(，)(0，)，(0，)，即afeg.又af平面pce，eg平面pce，af平面pce.(2)设平面pce的法向量为n(x，y，z)，(，0,3)， (，3,0)即取y1，得n(，1,1)又(0，)，故点f到平面pce的距离为d.(3)(，)，设fc与平面pce所成角为，sin|cos，n|.直线fc与平面pce所成角的正弦值为.14(2011北京西城二模)如下图，已知菱形abcd的边长为6，bad60，acbdo.将菱形abcd沿对角线ac折起，使bd3，得到三棱锥bacd.(1)若点m是棱bc的中点，求证：om平面abd；(2)求二面角abdo的余弦值；(3)设点n是线段bd上一个动点，试确定点n的位置，使得cn4，并证明你的结论解析(1)证明：因为点o是菱形abcd的对角线的交点，所以o是ac的中点又点m是棱bc的中点，所以om是abc的中位线，omab.因为om平面abd，ab平面abd，所以om平面abd.(2)由题意知，obod3，因为bd3，所以bod90，obod.又因为四边形abcd是菱形，所以obac，odac.建立空间直角坐标系oxyz，如下图所示则a(3，0, 0)，d(0,3,0)，b(0,0,3)所以(3，0,3)，(3，3,0)，设平面abd的法向量为n(x，y，z)，则有即令x1，则y，z，所以n(1，)因为acob，acod，所以ac平面bod.平面bod的法向量与ac平行，所以可得平面bod的一个法向量为n0(1,0,0)cosn0，n.因为二面角abdo是锐角，所以二面角abdo的余弦值为.(3)因为n是线段bd上一个动点，设n(x1，y1，z1)，则(x1，y1，z13)(0,3，3)，所以x10，y13，z133，则n(0,3，33)，(3，3，33)，由cn4得4，即92920，解得或，所以n点的坐标为(0,2,1)或(0,1,2)(也可以答n是线段bd的三等分点，2或2)15(2011北京理，16)如下图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，底面abcd是菱形，ab2，bad60.(1)求证：bd平面pac；(2)若paab，求pb与ac所成角的余弦值；(3)当平面pbc与平面pdc垂直时，求pa的长解析(1)因为四边形abcd是菱形，所以acbd.又因为pa平面abcd.所以pabd.因为paaca，所以bd平面pac.(2)设acbdo.因为bad60，paab2，所以bo1，aoco.如上图，以o为坐标原点，建立空间直角坐标系oxyz，则p(0，2)，a(0，0)，b(1,0,0)，c(0，0)所以(1，2)，(0,2，0)，设pb与ac所成角为，则cos.(3)由(2)知(1，0)设p(0，t)，(t0)，则(1，t)设平面pbc的法向量m(x，y，z)，则m0，m0，所以令y，则x3，z.所以m(3，)同理，平面pdc的法向量n(3，)因为平面pbc平面pdc.所以mn0，即60.解得t.所以pa.1已知正三棱柱abca1b1c1的侧棱长与底面边长相等，则ab1与侧面acc1a1所成角的正弦值等于()a. b.c. d.答案a解析解法1：取a1c1中点e，连结ae、b1e.由题易知b1e平面acc1a1，则b1ae为ab1与侧面acc1a1所成的角令正三棱柱侧棱长与底面边长为1.则sinb1ae.故选a.解法2：以a1c1中点e为原点建立空间直角坐标系exyz，设棱长为1，则a，b1，令ab1与面acc1a1所成角为.sin|cos，|.2如下图，正方形abcd和四边形acef所在平面互相垂直，ceac，efac，ab，ceef1.(1)求证：af平面bde；(2)求证：cf平面bde；(3)求二面角abed的大小解析(1)设ac与bd交于点g，因为efag，且ef1，agac1，所以四边形agef为平行四边形所以afeg.因为eg平面bde，af平面bde，所以af平面bde.(2)因为正方形abcd和四边