广东省广州六中高三数学上学期第一次质检试卷 理（含解析）.doc

广东省广州六中2015届高三上学期 第一次质检数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项.1（5分）已知集合m=0，1，2，n=x|x=2a，am，则集合mn=（）a0b0，1c1，2d0，22（5分）已知复数z=，则z的共轭复数是（）a1ib1+icidi3（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）a2b3c4d54（5分）已知a，br，则“log3alog3b”是“（）a（）b”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件5（5分）若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（）a30b12c24d46（5分）直线x2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）abcd7（5分）已知向量与的夹角为120，且|=2，|=3，若=+，且（）=0，则实数的值为（）abc6d138（5分）已知f（x）=x36x2+9xabc，abc，且f（a）=f（b）=（c）=0，现给出如下结论：f（0）=f（3）；f（0）f（1）0；f（1）f（3）0；a2+b2+c2=18其中正确结论个数为（）a1个b2个c3个d4个二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答9（5分）若sin+cos=，则sin2的值是10（5分）设随机变量服从正态分布n（3，4），若p（2a3）=p（a+2），则a=11（5分）若把英语单词“error”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有种12（5分）若等比数列an的各项均为正数，且a4a9+a5a8+a6a7=300，则lga1+lga2+lga12=13（5分）已知的展开式中的常数项为t，f（x）是以t为周期的偶函数，且当x0，1时，f（x）=x，若在区间1，3内，函数g（x）=f（x）kxk有4个零点，则实数k的取值范围是（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分【坐标系与参数方程选做题】14（5分）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线c：，（为参数）交于a，b两点，且|ab|=2，以坐标原点o为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是【几何证明选讲选做题】15已知o1和o2交于点c和d，o1上的点p处的切线交o2于a、b点，交直线cd于点e，m是o2上的一点，若pe=2，ea=1，amb=45，那么o2的半径为三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（12分）已知函数f（x）=sinxcosxcos2x，xr（）求函数f（x）的解析式，最小值和最小正周期；（）已知abc内角a、b、c的对边分别为a、b、c，且c=3，f（c）=0，若向量=（1，sina）与=（2，sinb）共线，求a、b的值17（13分）为迎接今年6月6日的“全国爱眼日”，某高中学校学生会随机抽取16名学生，经校 医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如右图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”，（1）写出这组数据的众数和中位数；（2）求从这16人中随机选取3人，至少有2人是“好视力”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记x表示抽到“好视力”学生的人数，求x的分布列及数学期望18（13分）如图，在直三棱柱abca1b1c1中，平面a1bc侧面a1abb1，且aa1=ab=2（1）求证：abbc；（2）若直线ac与平面a1bc所成的角为，求锐二面角aa1cb的大小19（14分）已知数列an中，a1=3，前n项和sn=（n+1）（an+1）1（）设数列bn满足bn=，求bn+1与bn之间的递推关系式；（）求数列an的通项公式20（14分）已知点f是椭圆右焦点，点m（m，0）、n（0，n）分别是x轴、y轴上的动点，且满足，若点p满足（1）求p点的轨迹c的方程；（2）设过点f任作一直线与点p的轨迹c交于a、b两点，直线oa、ob与直线x=a分别交于点s、t（其中o为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由21（14分）已知函数（a为常数，a0）（）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（）求证：当0a2时，f（x）在上是增函数；（）若对任意的a（1，2），总存在 ，使不等式f（x0）m（1a2）成立，求实数m的取值范围广东省广州六中2015届高三上学期第一次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项.1（5分）已知集合m=0，1，2，n=x|x=2a，am，则集合mn=（）a0b0，1c1，2d0，2考点：交集及其运算 专题：计算题分析：集合n的元素需要运用集合m的元素进行计算，经过计算得出m的元素，再求交集解答：解：由题意知，n=0，2，4，故mn=0，2，故选d点评：此题考查学生交集的概念，属于基础题2（5分）已知复数z=，则z的共轭复数是（）a1ib1+icidi考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 专题：计算题分析：复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，br）的形式，即可得到选项解答：解：复数z=所以它的共轭复数为：1i故选a点评：本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，考查计算能力，常考题型3（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）a2b3c4d5考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点b（1，1）时，直线y=的截距最小，此时z最小此时z的最小值为z=1+21=3，故选：b点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法4（5分）已知a，br，则“log3alog3b”是“（）a（）b”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数与对数函数的关系 专题：计算题分析：根据对数函数的性质由“log3alog3b”可得ab0，然后根据指数函数的性质由“（）a（）b，可得ab，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断解答：解：a，br，则“log3alog3b”ab0，“（）a（）b，ab，“log3alog3b”“（）a（）b，反之则不成立，“log3alog3b”是“（）a（）b的充分不必要条件，故选a点评：此题主要考查对数函数和指数函数的性质与其定义域，另外还考查了必要条件、充分条件和充要条件的定义5（5分）若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（）a30b12c24d4考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：三视图复原的几何体是三棱柱去掉一个三棱锥的几何体，结合三视图的数据，求出体积即可解答：解：由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示，所以几何体的体积为：=24故选：c点评：本题考查三视图的识别以及多面体的体积问题根据三视图得出几何体的形状及长度关系是解决问题的关键6（5分）直线x2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）abcd考点：椭圆的简单性质 专题：计算题分析：直线x2y+2=0与坐标轴的交点为（2，0），（0，1），依题意得解答：直线x2y+2=0与坐标轴的交点为（2，0），（0，1），直线x2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点；故故选a点评：本题考查了椭圆的基本性质，只需根据已知条件求出a，b，c即可，属于基础题型7（ 5分）已知向量与的夹角为120，且|=2，|=3，若=+，且（）=0，则实数的值为（）abc6d13考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：平面向量及应用分析：依题意，利用平面向量的数量积可求得7+12=0，从而可得答案解答：解：向量与的夹角为120，且|=2，|=3，=+，（）=（+）（）=（1）+=（1）|cos120+=（1）23（）4+9=7+12=0，解得：=故选：b点评：本题考查平面向量的数量积，着重考查平面向量的数量积与模的运算性质，属于中档题8（5分）已知f（x）=x36x2+9xabc，abc，且f（a）=f（b）=（c）=0，现给出如下结论：f（0）=f（3）；f（0）f（1）0；f（1）f（3）0；a2+b2+c2=18其中正确结论个数为（）a1个b2个c3个d4个考点：二次函数的性质 专题：函数的性质及应用分析：根据f（x）=x36x2+9xabc，abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点及a、b、c的大小关系，由此可得结论解答：解：求导函数可得f（x）=3x212x+9=3（x1）（x3）当1x3时，f（x）0；当x1，或x3时，f（x）0所以f（x）的单调递增区间为（，1）和（3，+）单调递减区间为（1，3）所以f（x）极大值=f（1）=16+9abc=4abc，f（x）极小值=f（3）=2754+27abc=abc要使f（x）=0有三个解a、b、c，那么结合函数f（x）草图可知：a1b3c及函数有个零点x=b在13之间，所以f（1）=4abc0，且f（3）=abc0所以0abc4f（0）=abc，f（0）=f（3）f（0）0f（0）f（1）0，f（1）f（3）0，f（a）=f（b）=（c）=0，x36x2+9xabc=（xa）（xb）（xc）=x3（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）xabc，a+b+c=6，ab+ac+bc=9，把代入2得：a2+b2+c2=18；故答案为：点评：本题考查函数的零点、极值点，解不等式，综合性强，利用数形结合可以使本题直观二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答9（5分）若sin+cos=，则sin2的值是考点：二倍角的正弦 专题：计算题分析：将已知的等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可求出sin2的值解答：解：把sin+cos=两边平方得：（sin+cos）2=，即sin2+cos2+2sincos=1+sin2=，解得：sin2=故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式将已知的等式两边平方是本题的突破点10（5分）设随机变量服从正态分布n（3，4），若p（2a3）=p（a+2），则a=考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题：概率与统计分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于a的方程，解方程即可解答：解：随机变量服从正态分布n（3，4），p（2a3）=p（a+2），2a3与a+2关于x=3对称，2a3+a+2=6，3a=7，a=，故答案为：点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=3对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题，若出现是一个得分题目11（5分）若把英语单词“error”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有19种考点：排列、组合及简单计数问题 专题：排列组合分析：根据题意，首先分析“error”中有5个字母不同的排法顺序，具体为先排字母“e”、“o”，在5个位置中任选2个，再安排3个“r”，直接将其放进剩余的3个位置，由分步计数原理计算其5个字母不同的排法顺序，再排除其中正确的1种顺序，即可得答案解答：解：根据题意，英语单词“error”中有5个字母，其中3个“r”，先排字母“e”、“o”，在5个位置中任选2个，放置字母“e”、“o”即可，有a52=20种不同的排法，再安排3个“r”，直接将其放进剩余的3个位置即可，有1种排法，则这5个字母有201=20种不同的排法，其中正确的顺序有1种，则可能出现的错误的种数是201=19种，故答案为：19点评：本题考查排列、组合的运用，注意单词中有重复的字母，其次要注意是求“出现错误”的种数，应该将正确的写法排除12（5分）若等比数列an的各项均为正数，且a4a9+a5a8+a6a7=300，则lga1+lga2+lga12=12考点：等比数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：利用等比数列的性质，对数函数的性质，即可得出结论解答：解：等比数列an的各项均为正数，且a4a9+a5a8+a6a7=300，a1a12=a2a11=a3a10=a4a9=a5a8=a6a7=100lga1+lga2+lga3+lga12=lg（a1a2a12）=lg（1006）=12故答案为：12点评：本题主要考查了等比数列的性质和对数函数的性质等问题属基础题13（5分）已知的展开式中的常数项为t，f（x）是以t为周期的偶函数，且当x0，1时，f（x）=x，若在区间1，3内，函数g（x）=f（x）kxk有4个零点，则实数k的取值范围是考点：二项式定理；函数零点的判定定理 专题：综合题；转化思想；综合法分析：先求出展开式中的常数项t，求得函数的周期是2，由于g（x）=f（x）kxk有4个零点，即函数f（x）与r（x）=kx+k有四个交点，根据两个函数的图象特征转化出等价条件，得到关于k的不等式，求解易得解答：解：的常数项为=2f（x）是以2为周期的偶函数区间1，3是两个周期区间1，3内，函数g（x）=f（x）kxk有4个零点可转化为f（x）与r（x）=kx+k有四个交点当k=0时，两函数图象只有两个交点，不合题意当k0时，r（1）=0，两函数图象有四个交点，必有0r（3）1解得0k故答案为：点评：本题考点二项式定理，主要考查依据题设条件灵活转化的能力，如g（x）=f（x）kxk有4个零点，即函数f（x）与r（x）=kx+k有四个交点，灵活转化是正确转化是解题的关键（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分【坐标系与参数方程选做题】14（5分）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线c：，（为参数）交于a，b两点，且|ab|=2，以坐标原点o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是（cossin）=1考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：由题意可得直线l的方程为y=x+b，曲线方程化为直角坐标，表示一个圆，由于弦长正好等于直径，可得圆心（2，1）在直线l上，由此求得b的值，可得直线的方程解答：解：设倾斜角为的直线l的方程为y=x+b，曲线c：（为参数），即 （x2）2+（y1）2=1，表示以（2，1）为圆心、半径等于1的圆由于弦长|ab|=2，正好等于直径，故圆心（2，1）在直线l上，故有1=2+b，解得b=1，故直线l的方程为 y=x1，即xy1=0再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得cossin1=0，即（cossin）=1故答案为：（cossin）=1点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，直线和圆的位置关系，属于基础题【几何证明选讲选做题】15已知o1和o2交于点c和d，o1上的点p处的切线交o2于a、b点，交直线cd于点e，m是o2上的一点，若pe=2，ea=1，amb=45，那么o2的半径为考点：圆与圆的位置关系及其判定 专题：直线与圆分析：根据切割线定理和割线定理，证出ep2=eaeb，代入题中数据解得eb=4，从而得到ab=3再在abm中利用正弦定理加以计算，即可得出o2的半径解答：解：pe切o1于点p，ep2=eceded、eb是o2的两条割线，eced=eaebep2=eaeb，即22=1eb，得eb=4，因此，abm中ab=ebea=3，amb=45，设o2的半径为r，由正弦定理，得=2r，即2r=，解之得r=故答案为：点评：本题给出两圆相交，在已知一条圆的切线长的情况下求另一个圆的半径着重考查了圆当中的比例线段和正弦定理等知识，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（12分）已知函数f（x）=sinxcosxcos2x，xr（）求函数f（x）的解析式，最小值和最小正周期；（）已知abc内角a、b、c的对边分别为a、b、c，且c=3，f（c）=0，若向量=（1，sina）与=（2，sinb）共线，求a、b的值考点：正弦定理；三角函数的化简求值；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域 专题：计算题分析：（）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 sin（2x）1，由此求出最小值和周期（）由f（c）=0可得sin（2c）=1，再根据c的范围求出角c的值，根据两个向量共线的性质可得 sinb2sina=0，再由正弦定理可得 b=2a再由余弦定理得9=，求出a，b的值解答：解：（）函数f（x）=1=sin（2x）1，f（x）的最小值为2，最小正周期为（5分）（）f（c）=sin（2c）1=0，即 sin（2c）=1，又0c，2c，2c=，c= （7分）向量与共线，sinb2sina=0由正弦定理 ，得 b=2a，（9分）c=3，由余弦定理得9=，（11分）解方程组，得 a= b=2 （13分）点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，两个向量共线的性质，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题17（13分）为迎接今年6月6日的“全国爱眼日”，某高中学校学生会随机抽取16名学生，经校 医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如右图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”，（1）写出这组数据的众数和中位数；（2）求从这16人中随机选取3人，至少有2人是“好视力”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记x表示抽到“好视力”学生的人数，求x的分布列及数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列 专题：综合题分析：（1）根据所给的茎叶图看出16个数据，找出众数和中位数，中位数需要按照从小到大的顺序排列得到结论（2）由题意知本题是一个古典概型，至多有1人是“好视力”包括有一个人是好视力和有3个人是好视力，根据古典概型公式得到结果（3）由于从该校任选3人，记表示抽到“好视力”学生的人数，得到变量的可能取值是0、1、2、3，结合变量对应的事件，算出概率，写出分布列和期望解答：解：（1）由题意，4.6和4.7都出现三次，众数：4.6和4.7；中位数：4.75；（2）设ai表示所取3人中有i个人是“好视力”，至多有2人是“好视力”记为事件a，p（a）=p（a2）+p（a3）=（3）x的可能取值为0、1、2、3p（x=0）=，p（x=1）=，p（x=2）=，p（x=3）=x的分布列为 x 0 1 2 3 pex=1+2+3=0.75点评：本题考查概率知识，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，正确求概率是关键18（13分）如图，在直三棱柱abca1b1c1中，平面a1bc侧面a1abb1，且aa1=ab=2（1）求证：abbc；（2）若直线ac与平面a1bc所成的角为，求锐二面角aa1cb的大小考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）取a1b的中点d，连接ad，由已知条件推导出ad平面a1bc，从而adbc，由线面垂直得aa1bc由此能证明abbc（2）连接cd，由已知条件得acd即为直线ac与平面a1bc所成的角，aed即为二面角aa1cb的一个平面角，由此能求出二面角aa1cb的大小解答：（本小题满分14分）（1）证明：如右图，取a1b的中点d，连接ad，（1分）因aa1=ab，则ada1b（2分）由平面a1bc侧面a1abb1，且平面a1bc侧面a1abb1=a1b，（3分）得ad平面a1bc，又bc平面a1bc，所以adbc（4分）因为三棱柱abca1b1c1是直三棱柱，则aa1底面abc，所以aa1bc又aa1ad=a，从而bc侧面a1abb1，又ab侧面a1abb1，故abbc（7分）（2）解：连接cd，由（1）可知ad平面a1bc，则cd是ac在平面a1bc内的射影acd即为直线ac与平面a1bc所成的角，则（8分）在等腰直角a1ab中，aa1=ab=2，且点d是a1b中点，且，（9分）过点a作aea1c于点e，连de由（1）知ad平面a1bc，则ada1c，且aead=aaed即为二面角aa1cb的一个平面角，（10分）且直角a1ac中：又，且二面角aa1cb为锐二面角，即二面角aa1cb的大小为（14分）点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19（14分）已知数列an中，a1=3，前n项和sn=（n+1）（an+1）1（）设数列bn满足bn=，求bn+1与bn之间的递推关系式；（）求数列an的通项公式考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（）由sn=（n+1）（an+1）1，得sn+1=（n+2）（an+1+1）1从而得nan+1=（n+1）an1，由此能求出（）由（）知，由此利用累加法能求出an=2n+1解答：解：（）sn=（n+1）（an+1）1，sn+1=（n+2）（an+1+1）1an+1=sn+1sn=，（4分）整理得nan+1=（n+1）an1，等式两边同时除以n（n+1），得，（7分）即（8分）（）由（）知，即，所以+=+=，得an=2n+1（14分）点评：本题考查bn+1与bn之间的递推关系式的求法，考查数列an的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用20（14分）已知点f是椭圆右焦点，点m（m，0）、n（0，n）分别是x轴、y轴上的动点，且满足，若点p满足（1）求p点的轨迹c的方程；（2）设过点f任作一直线与点p的轨迹c交于a、b两点，直线oa、ob与直线x=a分别交于点s、t（其中o为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：计算题；综合题分析：（1）设点p（x，y），由题意可知，点f的坐标为（a，0），由得，消去n与m可得y2=4ax（2）设过f点的直线l方程为：y=k（xa），与轨迹c交于a（x1，y1）、b（x2，y2）两点，得：k2x2（2