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数值分析 第八章 解线性方程组的迭代法Ch8. 解线性方程组的迭代法1. 基本概念1. 迭代法对线性方程组，给定初始向量，按某种方法生成向量序列 ，且，使。2. 迭代法的一般格式设，其中可逆，则。令，则，故可建立迭代公式。2. Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代设的主对角元均不为零，将分解为，其中为对角阵，和分别为的除主对角元以外的下三角和上三角部分，即。1. Jacobi迭代由，即，得迭代公式，或。2. Gauss-Seidel迭代由，即，得迭代公式，或，。3. 迭代法的收敛性例1 取，分别用Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代解下列方程组：(1) ； (2) ；(3) ； (4) 。解 方程(1)精确解为，Jacobi和G-S迭代均发散。方程(2)精确解为，Jacobi迭代和G-S迭代均收敛，但收敛到同样精度，Jacobi迭代用了125次而G-S迭代仅用了9次。方程(3)精确解为，Jacobi迭代发散，而G-S迭代仅用7次即收敛。方程(4)精确解为， G-S迭代迭代发散，而Jacobi仅用4次即收敛。1. 迭代法收敛定理定理1 迭代法收敛的充要条件为。2. 收敛的充分条件(1) 若A为严格对角占优矩阵，即，则Jacobi迭代和G-S迭代收敛；(2) 若A对称正定，则G-S迭代收敛。例2 给定线性方程组，其中。(1) 当时，Jacobi迭代法是否收敛？(2) 当时，讨论Gauss-Seidel迭代法的收敛性。解 (1) 因为时，即A严格对角占优，故Jacobi迭代法收敛。(2) 时，即A对称正定，故Gauss-Seidel迭代法收敛。4. 逐次超松弛（SOR）迭代法1. 基本思想计算表明，当阶数较高时，G-S迭代收敛速度仍然较慢，可在G-S迭代基础上对其加速收敛超松弛法。从G-S迭代公式求得的结果不作为第次近似解，而仅作为中间结果，然后再将与进行加权平均后作为第次近似解，即。时，即为G-S迭代，时称为超（低）松弛法。2. 具体计算公式由G-S迭代公式得，再令，代入得。改成矩阵形式为，故，记为。3. SOR法收敛条件定理2 SOR法收敛。定理3 SOR法收敛。证 设的特征值为，则。又SOR法收敛，即，有，而，从而，即。定理4 若对称正定，且，则SOR法收敛。定理5 最佳松驰因子，其中为Jacobi迭代的迭代矩阵。例3 用
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