广东省广州市高三数学毕业班综合测试试卷（一）理（含解析）.doc

2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知集合，则（a） （b） （c） （d）答案：d解析：集合a，集合b，所以，。（2）已知复数，其中为虚数单位，则复数的共轭复数所对应的点在（a）第一象限 （b）第二象限 （c）第三象限 （d）第四象限答案：d解析：，共轭复数为，在第四象限。（3）执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的值为（a）6 （b）8 （c）10 （d）12答案：c解析：第一步：x9，k2；第二步：x21，k4；第三步：x45，k6；第四步：x93，k8；第五步：x189，k10；退出循环，故k10。（4）如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则的值为（a）3 （b）6 （c）12 （d）24答案：b解析：依题意，得：周期t，所以，6。（5）设等差数列的前项和为，且，则（a）52 （b）78 （c）104 （d）208答案：c解析：由，得8，所以，104，选c。（6）如果，是抛物线：上的点，它们的横坐标依次为， 是抛物线的焦点，若，则（a） （b） （c） （d）答案：a解析：由抛物线的焦点为（1,0），准线为1，由抛物线的定义，可知，故（7）在梯形中，已知，若，则（a） （b） （c） （d） 答案：a解析：如图，作aedc，交bc于e，则adec为平行四边形，又，所以，故3。（8）设实数，满足约束条件 则的取值范围是（a） （b） （c） （d）答案：a解析：画出不等式组表示的平面区域，如图，三角形abc，表示三角形abc内或边上一点到点（0，2）之间的距离的平方，点b到（0，2）之间的距离的平方为17，点（0，2）到直线xy1=0距离的平方为，故选a。（9）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（a） （b） （c） （d）答案：d解析：六棱柱的对角线长为：，球的体积为：v（10）已知下列四个命题：若直线和平面内的无数条直线垂直，则； ：若，则，；：若，则，；：在中，若，则 其中真命题的个数是（a）1 （b）2 （c）3 （d）4答案：b解析：p1错误，因为无数条直线不一定是相交直线，可能是平行直线；p2正确；p3错误，因为由，得x0，故错误；p4正确，注意前提条件是在中。（11）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（a） （b）（c） （d）答案：a解析：该几何体为如图中的三棱锥ca1c1e，ecea1，a1c4，三角形ea1c的底边a1c上的高为：2，表面积为：s24244424（12）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的“杨辉三角形”1 2 3 4 5 2013 2014 2015 2016 3 5 7 9 4027 4029 4031 8 12 16 8056 8060 20 28 16116 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（a） （b） （c） （d）答案：b解析：如下图：当第一行3个数时，最后一行仅一个数为8232（31）当第一行4个数时，最后一行仅一个数为20242（41）当第一行5个数时，最后一行仅一个数为48252（51）当第一行6个数时，最后一行仅一个数为112262（61）归纳推理，得：当第一行2016个数时，最后一行仅一个数为220162（20161）故选b。第卷本卷包括必考题和选考题两部分第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答第22题第24题为选考题，考生根据要求做答二填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）一个总体中有60个个体，随机编号0，1，2，59，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次为1，2，3，60现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是 答案：解析：因为，所以，抽到编号为3、13、23、33、43、53，第5组为43。（14）已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，点，且，则双曲线的离心率为 答案：解析：设f（c，0），又a（，0），由，得：（，b）（c，b）0，所以，有：，即，化为，可得离心率e。（15）的展开式中，的系数为 （用数字填写答案）答案：解析：中的系数为：40。（16）已知函数 则函数的零点个数为 个答案：2解析：由0，得：，画出与的图象，可知，它们有2个交点，所以零点个数：2。三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）abcd如图，在中，点在边上，,.（）求的长；（）求的面积解析：() 解法一： 在中，因为，设，则在中，因为，所以2分在中，因为， 由余弦定理得 4分因为，所以，即5分解得所以的长为. 6分解法二： 在中，因为，设，则在中，因为，所以所以2分在中，因为， 由余弦定理得4分所以5分解得所以的长为. 6分（）解法一：由（）求得，8分所以，从而10分所以12分解法二：由（）求得，8分因为，所以为等腰三角形因为，所以10分所以底边上的高所以12分解法三：因为的长为，所以，解得8分所以10分所以12分（18）（本小题满分12分）质量指标值0.0120.0040.0190.03015253545556575850频率组距从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，内的频率之比为（）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；（）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间内的产品件数为，求的分布列与数学期望解析：（）设区间内的频率为，则区间，内的频率分别为和1分依题意得，3分解得所以区间内的频率为4分（）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以服从二项分布，其中由（）得，区间内的频率为，将频率视为概率得5分因为的所有可能取值为0，1，2，3，6分且，所以的分布列为：01210分30.0640.2880.4320.216所以的数学期望为（或直接根据二项分布的均值公式得到）12分（19）（本小题满分12分）abcdo如图，四棱柱的底面是菱形，底面，（）证明：平面平面；（）若，求二面角的余弦值解析：解：abcdo（19）（）证明：因为平面， 平面， 所以1分因为是菱形，所以2分因为，所以平面3分因为平面，所以平面平面4分（）解法一：因为平面，以为原点，方向为，轴正方向建立如图所示空间直角坐标系5分因为，所以，6分则，zyxabcdo所以，7分设平面的法向量为，因为，所以令，得9分同理可求得平面的法向量为10分所以11分因为二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为12分abcdokh解法二：由（）知平面平面，连接与交于点，连接，因为，所以为平行四边形因为，分别是，的中点，所以为平行四边形且因为平面平面， 过点作于，则平面过点作于，连接，则 所以是二面角的平面角的补角6分 在中，7分在中，因为，所以因为，所以因为，所以为直角三角形8分所以9分所以10分所以11分所以二面角的余弦值为12分（20）（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，（）求椭圆的方程；（）以为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由解析：（）解法一：设椭圆的方程为，因为椭圆的左焦点为，所以1分设椭圆的右焦点为，已知点在椭圆上，由椭圆的定义知，所以2分所以，从而3分所以椭圆的方程为4分解法二：设椭圆的方程为，因为椭圆的左焦点为，所以 1分因为点在椭圆上，所以 2分由解得，3分所以椭圆的方程为4分（）解法一：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为5分因为直线与椭圆交于两点，设点（不妨设），则点联立方程组消去得所以，则 所以直线的方程为6分因为直线，分别与轴交于点，令得，即点7分同理可得点8分所以9分设的中点为，则点的坐标为10分则以为直径的圆的方程为，即11分令，得，即或故以为直径的圆经过两定点，12分解法二：因为椭圆的左端点为，则点的坐标为5分因为直线与椭圆交于两点，设点，则点所以直线的方程为6分因为直线与轴交于点，令得，即点7分同理可得点8分所以因为点在椭圆上，所以所以9分设的中点为，则点的坐标为10分则以为直径的圆的方程为即11分令，得，即或故以为直径的圆经过两定点，12分解法三：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为5分因为直线与椭圆交于两点，设点（），则点 所以直线的方程为6分因为直线与轴交于点，令得，即点7分同理可得点8分所以9分设的中点为，则点的坐标为10分则以为直径的圆的方程为，即11分令，得，即或故以为直径的圆经过两定点，12分（21）（本小题满分12分）已知函数,（）若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值；（）当时，证明：.解析：（）解：因为，所以.1分因为曲线在点处的切线斜率为，所以，解得.2分（）证法一：因为,，所以等价于当时，要证，只需证明.4分以下给出三种思路证明思路1：设，则.设，则所以函数在上单调递增6分因为，所以函数在上有唯一零点，且. 8分因为，所以，即.9分当时，；当时，所以当时，取得最小值.10分所以.综上可知，当时，. 12分思路2：先证明5分设，则因为当时，当时，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增所以所以（当且仅当时取等号）7分所以要证明， 只需证明8分下面证明设，则当时，当时，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增所以所以（当且仅当时取等号）10分由于取等号的条件不同，所以综上可知，当时，. 12分（若考生先放缩，或、同时放缩，请参考此思路给分！）思路3：先证明令，转化为证明5分因为曲线与曲线关于直线对称，设直线与曲线、分别交于点、，点、到直线的距离分别为、，则其中，设，则因为，所以所以在上单调递增，则所以设，则因为当时，；当时，所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增所以所以所以综上可知，当时，.12分证法二：因为,，所以等价于4分以下给出两种思路证明思路1：设，则.设，则所以函数在上单调递增6分因为，所以，.所以函数在上有唯一零点，且. 8分因为，所以，即9分当时，；当时，.所以当时，取得最小值10分所以综上可知，当时，12分思路2：先证明，且5分设，则因为当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增所以当时，取得最小值所以，即7分所以（当且仅当时取等号）8分再证明由，得（当且仅当时取等号）9分因为，且与不同时取等号，所以 综上可知，当时，12分请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲fcdoabe如图所示，内接于，直线与相切于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点（）求证：；（）若直线与相切于点，且，求线段的长解析：（）证明：因为是的切线，fcdoabe所以（弦切角定理）1分因为，所以2分所以因为（公共角），所以3分所以即4分（）解：因为是的切线，是的割线，所以 （切割线定理）5分因为，所以，7分由（）知，所以8分因为，所以 9分所以所以 10分（23）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，.（）求曲线的直角坐标方程；（）在曲线上求一点，使它到直线：（为参数，）的距离最短，并求出点的直角坐标.解析：（）解：由，可得1分因为，2分所以曲线的普通方程为（或） 4分（）解法一：因为直线的参数方程为（为参数，），消去得直线的普通方程为 5分因为曲线：是以为圆心，1为半径的圆，设点，且点到直线：的距离最短，所以曲线在点处的切线与直线：平行即直线与的斜率的乘积等于，即7分因为，解得或所以点的坐标为或9分由于点到直线的距离最短，所以点的坐标为10分解法二：因为直线的参数方程为（为参数，），消去得直线的普通方程为5分因为曲线是以为圆心，1为半径的圆，因为点在曲线上，所以可设点7分所以点到直线的距离为 8分因为，所以当时，9分此时，所以点的坐标为10分（24）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲设函数（）当时，求不等式的解集； （）若对任意，不等式的解集为空集，求实数的取值范围解析：（）解：当时，等价于1分当时，不等式化为，无解