高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的共同性质课件 苏教版选修11.ppt

2 5圆锥曲线的共同性质 第2章圆锥曲线与方程 1 理解并会运用圆锥曲线的共同性质 解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题 2 了解圆锥曲线的统一定义 掌握圆锥曲线的离心率 焦点 准线等概念 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点圆锥曲线的统一定义 思考如何求圆锥曲线的统一方程呢 答案 如图 过点m作mh l h为垂足 由圆锥曲线的统一定义可知m m fm emh 取过焦点f 且与准线l垂直的直线为x轴 f o 为坐标原点 建立直角坐标系 设点m的坐标为 x y 设直线l的方程为x p 则mh x p 把 代入om emh 两边平方 化简得 1 e2 x2 y2 2pe2x p2e2 0 这就是圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 在直角坐标系中的统一方程 梳理 1 圆锥曲线上的点到一个定点f和到一条定直线l f不在定直线l上 的距离之比等于 当时 它表示椭圆 当时 它表示双曲线 当时 它表示抛物线 其中是圆锥曲线的离心率 定点f是圆锥曲线的 定直线l是圆锥曲线的 常数e e 1 0 e 1 e 1 焦点 e 准线 题型探究 例1双曲线的中心在原点 焦点在坐标轴上 两准线间的距离为4 且经过点a 2 3 求双曲线的方程 类型一已知准线求圆锥曲线的方程 解答 a2 2c b2 c2 a2 c2 2c c 3或c 11 a2 6 b2 3或a2 22 b2 99 2c2 13c 66 0 0 此方程无实数解 反思与感悟 1 在本例中 两准线间的距离是一个定值 不论双曲线位置如何 均可使用 2 已知准线方程 或准线间距离 求圆锥曲线方程 该条件使用方法有两个 利用统一定义 直接列出基本量a b c e的关系式 解答 设f1为左焦点 连结af1 bf1 则根据椭圆定义知 af1 bf1 2a af2 2a bf2 4a af2 bf2 再设a b n三点到左准线距离分别为d1 d2 d3 由梯形中位线定理 得d1 d2 2d3 3 由统一定义af1 ed1 bf1 ed2 例2已知a 4 0 b 2 2 是椭圆内的两个点 m是椭圆上的动点 1 求ma mb的最大值和最小值 类型二圆锥曲线统一定义的应用 解答 所以a 4 0 为椭圆的右焦点 f 4 0 为椭圆的左焦点 因为ma mf 2a 10 所以ma mb 10 mf mb 2 求mb ma的最小值及此时点m的坐标 解答 由图可知点m到右准线的距离为mm 由图可知当b m m 三点共线时 mb mm 最小 反思与感悟 1 解答此类题目时 应注意式子中的系数特点 依此恰当地选取定义 2 圆锥曲线的统一定义 可以灵活地将曲线上点到焦点的距离与到相应准线的距离进行转化 从而简化解题过程 跟踪训练2试在抛物线y2 4x上求一点a 使点a到点b 2 与到焦点的距离之和最小 解答 由已知易得点b在抛物线内 1 准线方程为x 1 过点b作c b 准线l于c 直线bc 交抛物线于a 则a b a c 为满足题设的最小值 所以a 点的坐标为 x 2 又因点a 在抛物线上 所以a 1 2 即为所求a点 此时最小值为bc 1 类型三焦点弦问题 例3椭圆c的一个焦点为f1 2 0 相应准线方程为x 8 离心率e 1 求椭圆的方程 解答 设椭圆上任一点p x y 两边同时平方 得4 x 2 2 y2 8 x 2 2 求过另一个焦点且倾斜角为45 的直线截椭圆c所得的弦长 解答 由 1 知椭圆的另一个焦点坐标为f2 2 0 过f2且倾斜角为45 的直线方程为y x 2 得7x2 16x 32 0 设交点为a x1 y1 b x2 y2 反思与感悟 1 本例 2 中若用一般弦长公式 而不用统一定义 计算起来则复杂一些 2 对于圆锥曲线焦点弦的计算 利用统一定义较为方便 解答 设椭圆离心率为e m x y 为椭圆上任一点 整理得 x 3 2 y 1 2 e2x2 直线l的倾斜角为60 联立得 4 e2 x2 24x 36 0 设a x1 y1 b x2 y2 当堂训练 1 2 3 4 5 a 5 b 3 c 4 答案 解析 1 2 3 4 5 2 如果椭圆的两个焦点将长轴三等分 那么这个椭圆的两准线间距离是焦距的 倍 9 答案 解析 1 2 3 4 5 pf1 15 pf2 pf1 2a 15 6 21 答案 解析 4 已知椭圆方程为 右焦点为f a 2 1 为其内部一点 p为椭圆上一动点 为使pa 2pf最小 p点坐标为 答案 解析 由统一定义知 2pf即为p到右准线的距离 因此 要使pa 2pf最小 p点除了应在y轴的右侧外 还要使ap垂直于准线 1 2 3 4 5 5 在平面直角坐标系xoy中 若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为x 且它的一个顶点与抛物线y2 4x的焦点重合 则该双曲线的渐近线方程为 答案 解析 因为抛物线y2 4x的焦点坐标为 1 0 由此可得a 1 1 2 3 4 5 规律与方法 1 在学习圆锥曲线的统一定义时 应注意与前面学过的椭圆 双曲线和抛物线的定义 标准方程 几何性质相联系 以提高自己综合应用知识的能力和解题的灵活性 2 在已知准线方程时 一般转化为的