LU分解法、列主元高斯法、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel法的原理及Matlab程序.doc

南昌航空大学数学与信息科学学院实验报告一、实验目的及题目1.1 实验目的：（1）学会用高斯列主元消去法，LU分解法，Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解线性方程组。（2）学会用Matlab编写各种方法求解线性方程组的程序。1.2 实验题目：1. 用列主元消去法解方程组： 2. 用LU分解法解方程组其中 ，3. 分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解方程组： 二、实验原理、程序框图、程序代码等2.1实验原理2.1.1高斯列主元消去法的原理Gauss消去法的基本思想是一次用前面的方程消去后面的未知数，从而将方程组化为等价形式：这个过程就是消元，然后再回代就好了。具体过程如下：对于，若依次计算然后将其回代得到：以上是高斯消去。但是高斯消去法在消元的过程中有可能会出现的情况，这时消元就无法进行了，即使主元数但是很小时，其做除数，也会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散。因此，为了减少误差，每次消元选取系数矩阵的某列中绝对值最大的元素作为主元素。然后换行使之变到主元位置上，再进行销元计算。即高斯列主元消去法。2.1.2直接三角分解法（LU分解）的原理 先将矩阵A直接分解为则求解方程组的问题就等价于求解两个三角形方程组。直接利用矩阵乘法，得到矩阵的三角分解计算公式为：由上面的式子得到矩阵A的LU分解后，求解Ux=y的计算公式为以上为LU分解法。2.1.3Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的原理（1）Jcaobi迭代设线性方程组 (1)的系数矩阵A可逆且主对角元素均不为零,令 并将A分解成 (2)从而(1)可写成 令 其中. (3)以为迭代矩阵的迭代法(公式) (4)称为雅可比(Jacobi)迭代法,其分量形式为 (5)其中为初始向量.（2）Gauss-Seidel迭代由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用的全部分量来计算的所有分量,显然在计算第i个分量时,已经计算出的最新分量没有被利用。把矩阵A分解成 (6) 其中,分别为的主对角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程组(1)便可以写成 即其中 (7)以为迭代矩阵构成的迭代法(公式) (8)称为高斯塞德尔迭代法,用分量表示的形式为2.2程序代码2.2.1高斯列主元的代码function Gauss(A,b) %A为系数矩阵，b为右端项矩阵m,n=size(A);n=length(b);for k=1:n-1 pt,p=max(abs(A(k:n,k); %找出列中绝对值最大的数 p=p+k-1; if pk t=A(k,:);A(k,:)=A(p,:);A(p,:)=t; %交换行使之变到主元位置上 t=b(k);b(k)=b(p);b(p)=t; end m=A(k+1:n,k)/A(k,k); %开始消元 A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-m*A(k,k+1:n); b(k+1:n)=b(k+1:n)-m*b(k); A(k+1:n,k)=zeros(n-k,1); if flag=0 Ab=A,b; endend x=zeros(n,1); %开始回代 x(n)=b(n)/A(n,n); for k=n-1:-1:1 x(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n)/A(k,k); end for k=1:n fprintf(x%d=%fn,k,x(k); end2.2.2 LU分解法的程序function LU(A,b) %A为系数矩阵，b为右端项矩阵m,n=size(A); %初始化矩阵A，b，L和Un=length(b); L=eye(n,n);U=zeros(n,n);U(1,1:n)=A(1,1:n); %开始进行LU分解L(2:n,1)=A(2:n,1)/U(1,1);for k=2:n U(k,k:n)=A(k,k:n)-L(k,1:k-1)*U(1:k-1,k:n); L(k+1:n,k)=(A(k+1:n,k)-L(k+1:n,1:k-1)*U(1:k-1,k)/U(k,k); endL %输出L矩阵U %输出U矩阵 y=zeros(n,1); %开始解方程组Ux=y y(1)=b(1);for k=2:n y(k)=b(k)-L(k,1:k-1)*y(1:k-1);endx=zeros(n,1);x(n)=y(n)/U(n,n);for k=n-1:-1:1 x(k)=(y(k)-U(k,k+1:n)*x(k+1:n)/U(k,k);endfor k=1:n fprintf(x%d=%fn,k,x(k);end2.2.3 Jacobi迭代法的程序function Jacobi(A,b,eps) %A为系数矩阵，b为后端项矩阵，epe为精度m,n=size(A);D=diag(diag(A); %求矩阵DL=tril(A)-D; %求矩阵LU=triu(A)-D; %求矩阵Utemp=1;x=zeros(m,1);k=0;while abs(max(x)-temp)eps temp=max(abs(x); k=k+1; %记录循环次数 x=-inv(D)*(L+U)*x+inv(D)*b; %雅克比迭代公式end for k=1:n fprintf(x%d=%fn,k,x(k);end2.2.4 Gauss-Seidel迭代程序function Gauss_Seidel(A,b,eps) %A为系数矩阵，b为后端项矩阵，epe为精度m,n=size(A);D=diag(diag(A); %求矩阵DL=D-tril(A); %求矩阵LU=D-triu(A); %求矩阵Utemp=1;x=zeros(m,1);k=0;while abs(max(x)-temp)eps temp=max(abs(x); k=k+1; %记录循环次数 x=inv(D-L)*U*x+inv(D-L)*b; %Gauss_Seidel的迭代公式end for k=1:n fprintf(x%d=%fn,k,x(k);end三、实验过程中需要记录的实验数据表格3.1第一题（高斯列主元消去）的数据 A=1 1 0 3;2 1 -1 1; 3 -1 -1 3;-1 2 3 -1; b=4;1;-3;4; Gauss(A,b)x1=-1.333333x2=2.333333x3=-0.333333x4=1.0000003.2 第二题（LU分解法）数据 A=48 -24 0 -12;-24 24 12 12;0 6 20 2;-6 6 2 16; b=4; 4;-2;-2; LU(A,b)L = 1.0000 0 0 0 -0.5000 1.0000 0 0 0 0.5000 1.0000 0 -0.1250 0.2500 -0.0714 1.0000U = 48.0000 -24.0000 0 -12.0000 0 12.0000 12.0000 6.0000 0 0 14.0000 -1.0000 0 0 0 12.9286x1=0.521179x2=1.005525x3=-0.375691x4=-0.2596693.3第三题Jacobi迭代法的数据 A=10 -1 2 0;0 8 -1 3;2 -1 10 0;-1 3 -1 11;b=-11;-11;6;25;Jacobi(A,b,0.00005)x1=-1.467396x2=-2.358678x3=0.657604x4=2.8423973.4第三题用Gauss_Seidel迭代的数据 A=10 -1 2 0;0 8 -1 3;2 -1 10 0;-1 3 -1 11; b=-11;-11;6;25; Gauss_Seidel(A,b,0.00005)x1=-1.467357x2=-2.358740x3=0.657597x4=2.842405四、实验中存在的问题及解决方案4.1存在的问题 （1）第一题中在matlab中输入 Gauss(A,b)（数据省略）得到m =4 n =4 ? Undefined function or variable Ab.Error in = Gauss at 8ap,p=max(abs(Ab(k:n,k);没有得到想要的结果。（2）第二题中在matlab中输入 y=LU(A,b)得到y =4.0000 6.0000 -5.0000 -3.3571不是方程组的解。（3）第三题中在用高斯赛德尔方法时在matlab中输入 Gauss-Seidel(A,b,eps)结果程序报错? Error using = Gauss Too many output arguments.得不到想要的结果。4.2解决方案（1）针对第一题中由于程序的第二行漏了一个分号导致输出了m和n的值，第8行中将Ab改为A问题就解决了。（2）由于程序后面出现了矩阵y故输出的事矩阵y的值，但是我们要的事x的值，故只需要将y改成x，或者直接把y去掉就解决了问题。（3）在function文件中命名不能出现“-”应该将其改为下划线“_”，所以将M文件名“Gauss-Seidel(A,b,eps)”改成“Gauss_Seidel(A,b,eps)”就解决问题了。五、心得体会本次试验涉及到了用高斯列主元消去法，LU分解法，Jacobi迭代法以及Gaus