高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和（一）课件 新人教A版必修5.ppt

第二章数列 2 5等比数列的前n项和 一 1 掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路 2 会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一等比数列前n项和公式1 等比数列前n项和公式 答案 na1 2 注意 应用该公式时 一定不要忽略q 1的情况 2 等比数列前n项和公式的使用 思考设f n 2 24 27 23n 1 n n 则f n 等于 答案 b 知识点二错位相减法1 推导等比数列前n项和的方法一般地 等比数列 an 的前n项和可写为 sn a1 a1q a1q2 a1qn 1 用公比q乘 的两边 可得qsn a1 a1q2 a1qn 1 a1qn 由 得 1 q sn a1 a1qn 2 我们把上述方法叫 一般适用于数列 an bn 前n项和的求解 其中 an 为等差数列 bn 为等比数列 且q 1 返回 答案 错位相减法 题型探究重点突破 题型一等比数列基本量的计算例1在等比数列 an 中 1 s2 30 s3 155 求sn 解析答案 解析答案 方法二由 a1 a3 q3 a4 a6 又a1 a3 a1 1 q2 10 3 a1 an 66 a2an 1 128 sn 126 求q 反思与感悟 解因为a2an 1 a1an 128 所以a1 an是方程x2 66x 128 0的两根 1 在等比数列 an 的五个量a1 q an n sn中 已知其中的三个量 通过列方程组求解 就能求出另两个量 这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用 2 在解决与前n项和有关的问题时 首先要对公比q 1或q 1进行判断 若两种情况都有可能 则要分类讨论 反思与感悟 跟踪训练1在等比数列 an 中 解析答案 q 2 n 5 2 已知s4 1 s8 17 求an 解析答案 解若q 1 则s8 2s4 不合题意 q 1 q 2或q 2 题型二错位相减法求和例2设 an 是等差数列 bn 是各项都为正数的等比数列 且a1 b1 1 a3 b5 21 a5 b3 13 1 求 an bn 的通项公式 解析答案 解设 an 的公差为d bn 的公比为q an 1 n 1 2 2n 1 bn 2n 1 解析答案 反思与感悟 得 解析答案 反思与感悟 一般地 如果数列 an 为等差数列 bn 为等比数列 求数列 anbn 的前n项和时 可以采用错位相减法 在作差时 要注意第一项与最后一项的处理 有时还要注意对公比q的讨论 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2求数列 nxn 的前n项和 解 1 当x 0时 sn 0 3 当x 0且x 1时 sn x 2x2 3x3 n 1 xn 1 nxn xsn x2 2x3 n 1 xn nxn 1 得 1 x sn x x2 x3 xn nxn 1 解析答案 题型三等差 等比数列的综合问题例3已知数列 an 的前n项和sn 3n2 8n bn 是等差数列 且an bn bn 1 1 求数列 bn 的通项公式 解析答案 解析答案 反思与感悟 利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值 同时对两种数列的性质 要熟悉它们的推导过程 利用好性质 可降低题目的难度 解题时有时还需利用条件联立方程组求解 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3在等比数列 an 中 a2 3 a5 81 1 求an及其前n项和sn 解设 an 的公比为q 依题意得 解析答案 解由 1 知bn 1 log3an 1 n 1 n 解析答案 应用等比数列前n项和公式时忽视分类讨论致误 易错点 例4等比数列1 2a 4a2 8a3 的前n项和sn 误区警示 返回 错因分析忽视等比数列前n项和公式的应用条件 未对等比数列的公比2a分类讨论 导致错误 正解公比为q 2a 误区警示 误区警示 准确理解公式 重视分类讨论应用等比数列前n项和公式时 要注意公比q是否为1 因为等比数列前n项和公式是 分段函数 形式 若题中公比不明确 要分情况讨论 如本例 公比为q 2a 应该分2a 1 2a 1两种情况讨论 否则结论就不完整 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1 已知等比数列 an 的首项a1 3 公比q 2 则s5等于 a 93b 93c 45d 45 a 解析答案 1 2 3 4 5 2 在等比数列 an 中 已知a1 a2 a3 6 a2 a3 a4 3 则a3 a4 a5 a6 a7等于 解析答案 1 2 3 4 5 答案a 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 4 等比数列 an 中 a2 9 a5 243 则 an 的前4项和是 公比q 3 从而a1 3 120 1 2 3 4 5 解析答案 5 设数列 an 的前n项和为sn 若s2 4 an 1 2sn 1 n n 则a1 s5 1 2 3 4 5 答案1121 课堂小结 1 在等比数列的通项公式和前n项和公式中 共涉及五个量 a1 an n q sn 其中首项a1和公比q为基本量 且 知三求二 2 前n项和公式的应用中 注意