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三角函数的值域与最值【考点导读】1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法【基础练习】1.函数在区间上的最小值为 1 2.函数的最大值等于 3.函数且的值域是_4.当时，函数的最小值为 4 5.已知k4，则函数ycos2xk(cosx1)的最小值是 1 6.若，则的最大值与最小值之和为_2_【范例解析】例1.（1）已知，求的最大值与最小值（2）求函数的最大值分析：可化为二次函数求最值问题解：（1）由已知得：，则，当时，有最小值；当时，有最小值（2）设，则，则，当时，有最大值为点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围例2.求函数的最小值分析：利用函数的有界性求解解法一：原式可化为，得，即，故，解得或（舍），所以的最小值为解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点b在左半圆上，由图像知，当ab与半圆相切时，最小，此时，所以的最小值为点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解例3.已知函数，（i）求的最大值和最小值； （ii）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围分析：观察角，单角二次型，降次整理为形式 解：（） 又，即，（），且，即的取值范围是点评：第（）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力aborspq例4例4扇形的半径为1，中心角为，是扇形的内接矩形，问在怎样的位置时，矩形的面积最大，并求出最大值分析：引入变量，建立目标函数解：连接，设，则，所以当时，在圆弧中心位置，点评：合理引进参数，利用已知条件，结合图形建立面积与参数之间的函数关系式，这是解题的关键【反馈演练】1函数的最小值等于_1_2已知函数，直线和它们分别交于m，n，则_3当时，函数的最小值是_4 _4函数的最大值为_，最小值为_.5函数的值域为 . 6已知函数，则的值域是 .7已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于_8（1）已知，函数的最大值是_.（2）已知，函数的最小值是_3_.9在oab中，o为坐标原点，则当oab的面积达最大值时，_10已知函数（）求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的最小值和最大值解：（）因此，函数的最小正周期为（）因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，故函数在区间上的最大值为，最小值为11若函数的最大值为，试确定常数a的值.解：因为的最大值为的最大值为1，则所以12已知函数（1）若求使
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