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数学分析下册 第二十二章 曲面积分 石家庄经济学院数理学院3 高斯公式与斯托克斯公式教学目的 学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分教学内容 高斯公式；斯托克斯公式；沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件(1) 基本要求：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分 懂得高斯公式与斯托克斯公式证明的思路，掌握沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件(2) 较高要求：应用高斯公式与斯托克斯公式的某些特殊技巧教学建议 本节的重点是要求学生学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分要讲清应用两公式的条件并强调曲面与曲面的边界定向的关系教学程序一、 高斯公式定理223 设有空间区域由分片光滑的双侧闭曲面围成若函数在上连续，且具有一阶连续偏导数，则 =，其中取外侧称为高斯公式.证 只证=.类似可证=和=. 这些结果相加便得到了高斯公式先设是一个型区域，即其边界曲面由曲面：，：，及垂直于的边界的柱面组成其中于是按三重积分的计算方法有=其中都取上侧又由于在平面上投影区域的面积为零，所以，因此=+=对于不是型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个型区域来讨论详细的推导与格林相似空间区域的体积公式：=.例1 计算,其中是边长为的正立方体表面并取外侧解 应用高斯公式，所求曲面积分等于=.二、斯托克斯公式双侧曲面的侧与其边界曲线的方向的规定：右手法则定理22.4 设光滑曲面的边界是按块光滑的连续曲线若函数在（连同）上连续，且有一阶连续偏导数，则=（2）其中的侧与的方向按右手法则确定证明 先证=， （3）其中曲面由方程确定，它的正侧法线方向数为，方向余弦为，所以，若在平面上投影区域为，在平面上的投影曲线为现由第二型曲线积分的定义及格林公式有=.因为=，所以 =.由于，从而=.综合上述结果，便得所要证明的（3）式同样对于曲面表示为和时，可证得=， （4）= . （5）将（3），（4），（5）三式相加即得（2）式如果曲面不能以的形式给出，则可用一些光滑曲线把分割为若于小块，使每一小块能用这种形式来表示因而这时（2）式也能成立公式(2)称为斯托克斯公式，也可写成如下形式：=.例2 计算，其中为平面与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向解 应用斯托克斯公式=单连通区域：如果区域内任一封闭曲线皆可以不经过以外的点收缩于属于的一点，则称为单连通区域非单连通区域称为复连通区域定理 22.5 设为空间单连通区域若函数在上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：（）对于内任一按段光滑的封闭曲线，有=0（）对于内任一按段光滑的曲线，曲线积分与路线无关只与的起点及终点有关。（）是内某一函数的全微分，即.（），在内处处成立证明 略例3 验证曲线积分与路线无关,请求该表达
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