一元二次方程根与系数的关系.doc

一元二次方程根与系数的关系根与系数的关系一、知识要点对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0) 总有 x1+x2=- ，x1x2= ，其中x1、x2是方程的两根。它的逆定理也是成立的，即如果两个数x1和x2，满足x1+x2=- ，x1x2= ，那么x1, x2是方程ax2+bx+c=0 (a0)的两个根.这是根与系数的关系定理，又称韦达定理. 二、例题分析1、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值例1、已知方程x2-6x+m2-2m+5=0一个根为2，求另一个根及m的值分析：本题通常有两种做法，一是根据方程根的定义，把x=2代入原方程，先求出m的值，再通过解方程求另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m的值.解法一：把x=2代入原方程，得22-62+m2-2m+5=0 即m2-2m-3=0 解得m1=3 m2=-1 当m1=3 m2=-1时，原方程都化为 x2-6x+8=0 x1=2 x2=4 方程的另一个根为4，m的值为3或-1. 解法二：设方程的另一个根为x. 则 或 2、判别一元二次方程两根的符号.例1、不解方程，判别2x2+3x-7=0两根的符号分析：因为二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可求根的判别式，但只能用于判定根存在与否，若判定根的正负，则需要考察x1x2 或 x1+ x2的正负情况.解：=32-42(-7)=650 方程有两个不相等的实数根 设方程的两个根为x1, x2， x1x2= =- 0，仍需考虑x1+ x2的正负，从而判别是两个正根还是两个负根. 例2、当m为什么实数时，关于x的二次方程mx2-2(m+1)x+m-1=0的两个根都是正数。分析：正、负根的问题应这样想：如正数根，应确保两根之和大于零，两根之积大于零，根的判别式大于等于零。解：设方程的二根为x1, x2，且x10, x20，则有 由 =-2(m+1)2-4m(m-1)0 解得：m- m0, m0或m1不等式组的解集为空集.m1 当m1时，方程的两个根都是正数。说明：当二次项系数含有字母时，不要忘记a0的条件。例3、k为何值时，方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0 （1）两根互为相反数 （2）两根互为倒数 （3）有一根为零，另一根不为零。分析：两根“互为相反数”、“互为倒数”，“有一根为零，另一根不为零”等是对两根的性质要求，在满足这个要求的条件下，求待定字母的取值.方程的根互为相反数，则x1=-x2,即x1+x2=0;互为倒数，则x1= ，即x1x2=1，但要注意考察判别式0. 解：设方程的两根为x1, x2， 则x1+x2=- =- x1x2= （1）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零， 即x1+x2=- =0，k=0， 当k=0时，=(4k)2-42(k+1)(3k-2)=160 当k=0时，方程两根互为相反数。（2）要使方程两根互为倒数，必须两根的积是1，即 x1x2= =1，解得k=4 当k=4时，=(4k)2-42(k+1)(3k-2)=-1440， k= 时，原方程有一根是零，另一根不是零。说明：研究两个实数根问题时，应注意二次项系数不得为零，=b2-4ac不得小于零。3、根的关系，确定方程系中字母的取值范围或取值.例1、关于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0的两根的平方和小于5，求k的取值范围。解：设方程两根分别为x1, x2， x1+x2=3,x1x2=k+1 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2(k+1)1 又=(-3)2-4(k+1)0 k 由得：10. 所以存在满足条件的负数k，k=-1.考点：一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的应用。评析：此题是存在型的试题，一般结论都是在存在成立的条件下，按照给出的条件进行讨论，因此题是关于两个实根的关系，所以在讨论时必注意0。6（ 福州市）以2，-3为两个根的一元二次方程是（ ）. （A）x2-x-6=0 （B）x2+x-6=0 （C）x2-x+6=0 （D）x2+x+6=0答案：B考点：一元二次方程根与系数关系。评析：利用一元二次方程x2+px+q=0的根x1,x2与系数关系： 直接计算即得答案。7（ 广州市）已知2是关于x的方程x2+3mx-10=0的一个根，则m= .考点：一元二次方程的根与系数关系评析：根据方程解的概念，将未知数的值代入方程求出m，或利用根与系数的关系解方程组求出。答案：18（ 贵阳市）若x1,x2是方程x2-2x+m=0的两个根，且 =2，则m= .考点：一元二次方程根与系数关系评析：由一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根x1、x2与系数的关系 ， 得x1+x2=2 x1x2=，求 的值，代入已知的等式求出。答案：1 9（ 河北省）在RtABC中，C=900，a、b、c分别是A、B、C的对边，a、b是关于x的方程 的两根，那么AB边上的中线长是（ ） （A） （B） （C）5 （D）2考点：直角三角形三边关系勾股定理、根与系数的关系评析思路：因直角三角形两直角边a、b是方程的二根，有a+b=7ab=c+7，由勾股定理知c2=a2+b2，联立组成方程组求得c=5，斜边上的中线为斜边的一半，故选B。10（ 北京市海淀区）已知：关于x的方程 的两个实数根的倒数和等于3，关于x的方程 有实数根且k为正整数，求代数式 的值。考点：根的判别式，根与系数的关系。评析：先根据根与系数的关系求得a值，再将a代入到第二个方程。因第二个方程只证有实根，所以k可以等于1,然后再根据的范围再确定k值，分别代入所求代数式就可以了。答案：0说明学生往往忽略k=1的这种情况：认为一元二次方程有实根，必是两个，这是不全面的，也有的不考虑的范围。11.（ 河北省）若x1、x2是一元二次方程3x2+x-1=0的两个根,则 + 的值是( ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2考点：一元二次方程根与系数的关系评析：根据一元二次方程根与系数的关系，先求出x1+x2, x1x2的值，然后将求的代数式 变形为 ，最后将x1+x2=- ，x1x2=- 代入即可，故选C。12.（ 哈尔滨市）（本题10分）已知：ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5. （1）k为何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形. （2）k为何值时，ABC是等腰三角形，并求出ABC的周长.考点：Rt三边关系 等腰三角形底与腰的关系 一元二次方程根与系数关系评析：（1）已知一元二次方程的两根，首先想到不解方程，而是利用根与系数的关系达到目的，又根据Rt三边的关系AB2+AC2=BC2可知，通过AB2+AC2=(AB+AC)22ABAC可实现。答案：（1） k=2或k= -5 (2) 14或16. 注：如果利用根与系数关系不能求解，再利用解方程求根的方法。（2）首先利用判断式判断AB与AC是否相等，再考虑其它情况，即AB=BC或AC=BC，当AB=BC或AC=BC时，BC=5是一元二次方程的一个根，故可求k的值，也就可求另一个根，三角形的周长可求。 注：在求周长时，应判断是否能构成三角形。13（ 安徽）已知方程x2+(1- )x- =0的两根为x1、x2，求x +x 的值。考点：一元二次方程根与系数的关系评析：根据根与系数的关系，先求出x1+x2、x1x2的值然后将x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2变为以上形式，再将x1+x2= -1，x1x2=- 代入即可。解：由根与系数关系， x1+x2=-1+ , x1x2=- , x +x =(x1+x2)2-2x1x2 =( -1)2+2 =3-2 +2 =3. 说明：如果先解出根x1、x2，再求出x +x 的正确值也给满分。14（ 北京市东城区）已知关于x的方程x2-(k-1)x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值。考点：一元二次方程根与系数的关系评析：先设方程二根为x1、x2，分别求出x1+x2，x1x2的值，再根据两根的平方和是4，求出k值，但必须保证方程有两个实根，所以还必须保证0才能确定k的值，此题一些考生忽略0的隐含条件的。解：设方程x2-(k-1)x+k+1=0的两个实数根是x1, x2，那么 x1+x2=k-1, x1x2=k+1.2分 由 x +x =4, 得 (x1+x2)2-2x1x2=4. 即 (k-1)2-2(k+1)=4 k2-4k-5=0 解这个方程，得 k=5或k=-1. 6分 当k=5时, =(5-1)2-4(5+1)0, 因此，k=-1为所求。 8分真题实战1（ 常州市）已知关于x的方程x2+mx6=0的一个根是2，则另一个根是，m=。答案：-3；12（ 天门市）若方程 的两根是x1、x2，则代数式 的值是。答案：63已知x1、x2是方程x2x1=0的两个根，则 的值是（ ） A、1 B、1 C、1 D、0答案：B4（ 石家庄市）设方程 的两根为x1和x2，且 ，则m等于（ ） A8 B4 C8 D4答案：C5（ 潍坊市）下列方程中，两实数根的和等于2的方程是（ ） A2x24x+3=0B2x22x3=0 C2x2+4x3=0D2x24x3=0答案：D6（ 山西省）若方程x2-2x-1=0的二根为x1，x2，则代数式 的值是（ ） A6 B4C2D-2答案：A7( 南昌市)已知方程2x2+kx10=0的一个根是2，求它的另一根及k的值。解：设方程的另一根为x1，那么 -2x1=-5， 又 ， k=-1。 答：方程的另一根是 ，k的值是-1。8（ 苏州市）已知关于x的方程x2+(m2)x+ m3=0。 （1）求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）若这个方程的两个实数根x1,x2满足2x1+x2=m+1,求m的值。(1)证明: 无论m取什么实数,这个方程总有两个不相等的实数根.(2)解x1,x2是这个方程的两个实数根, 又2x1+x2=m+1,(3) (3)-(1),得x1=2m-1(4) 把(4)代入(1),得 x2=3-3m(5) 把(4)、(5) 代入(2),得(2m-1)(3-3m)= . . 9（ 南通市）设x1、x2是关于x的方程x2(k+2)+2k+1=0的两个实数根，且x12+x22=11. （1）求k的值； （2）利用根与系数的关系求一个一元二次方程，使它的一个根是原方程两个根的和，另一根是原方程两根差的平方。解：（1）由题意得x1+x2=k+2，x1x2=2k+1 ， 又 ， ，解得k=3。 又=-(k+2)2-4(2k+1)=k2-4k， 当k=3时，=-30，原方程无实数解； 当k=-3时，=210，原方程有实数解。 故k=-3。 （2