广东省廉江市第三中学高中数学 第一章 空间几何体讲解与练习 新人教A版必修2(1).doc

广东省廉江市第三中学2014高中数学 第一章 空间几何体讲解与练习 新人教a版必修2学习目标：认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.逐步培养观察能力和抽象概括能力.知识要点：结 构 特 征图例棱柱（1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形；（2）侧棱平行且相等.圆柱（1）两底面相互平行；（2）侧面的母线平行于圆柱的轴；（3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱锥（1）底面是多边形，各侧面均是三角形；（2）各侧面有一个公共顶点.圆锥（1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱台（1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分.圆台（1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分.球（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.例题精讲：【例1】请描述下列几何体的结构特征，并说出它的名称.（1）由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其它面都是全等的矩形；（2）如右图，一个圆环面绕着过圆心的直线l旋转180.解：（1）特征：具有棱柱的特征，且侧面都是全等的矩形，底面是正五边形. 几何体为正五棱柱.（2）由两个同心的大球和小球，大球里去掉小球剩下的部分形成的几何体，即空心球.【例2】若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高.解：底面正三角形中，边长为3，高为，中心到顶点距离为，则棱锥的高为.【例3】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长.解：设圆台的母线为，截得圆台的上、下底面半径分别为，.根据相似三角形的性质得，解得.所以，圆台的母线长为9cm.点评：用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的轴截面（经过旋转轴的截面）的几何性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而解得.【例4】长方体的一条对角线与一个顶点处的三条棱所成的角分别为，求与的值.解：设长方体的一个顶点出发的长、宽、高分别为a、b、c，相应对角线长为l，则.， =1.， =2.点评：从长方体的一个顶点出发的对角线与三条棱，均位于直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系“”、“”而求. 关键在于找准直角三角形中的三边，斜边是长方体的对角线，角的邻边是各棱长，角的对边是相应矩形面的对角线.第1练 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征基础达标能力提高8长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，求这个长方体的一条对角线长.9如图所示，长方体.（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？（2）用平面bcnm把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示. 如果不是，说明理由.探究创新10现有一批长方体金属原料，其长宽高的规格为1233.1(长度单位：米). 某车间要用这些原料切割出两种长方体，其长宽高的规格第一种为32.41，第二种为41.50.7若这两种长方体各需900个，假设忽略切割损耗，问至少需多少块金属长方体原料？如何切割？此时材料的利用率是多少？(计算到小数点后面3位)第2讲 1.1.2 简单组合体的结构特征学习目标：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.知识要点：观察周围的物体，大量的几何体是由柱、锥、台等组合而成的，这些几何体称为组合体. 例题精讲：【例1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）. a. 1个 b. 2个 c. 3个 d. 4个解：在长方体中，取四棱锥，它的四个侧面都是直角三角形. 选d.【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为，求球的半径. 解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯形腰长为r+r，梯形的高即球的直径为，所以，球的半径为.【例3】圆锥底面半径为cm，高为cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长. sdeoc1cfd1解：过圆锥的顶点s和正方体底面的一条对角线cd作圆锥的截面，得圆锥的轴截面sef，正方体对角面cdd1c1，如图所示. 设正方体棱长为x，则cc1=x，c1d1。作soef于o，则so，oe=1， ，即. ， 即内接正方体棱长为cm.点评：此题也可以利用而求. 两个几何体相接、相切的问题，关键在于发现一些截面之间的图形关系. 常常是通过分析几个轴截面组合的平面图形中的一些相似，利用相似比列出方程而求. 注意截面图形中各线段长度的计算.pcadbhoefg【例4】以正四棱台（底面为正方形，各个侧面均为全等的等腰梯形）为模型，验证棱台的平行于底面的截面的性质： 设棱台上底面面积为s1，下底面面积为s2，平行于底面的截面将棱台的高分成距上、下两底的比为mn，则截面面积s满足下列关系：.当m=n时，则（中截面面积公式）.解：如图，abcd是正四棱台的相对侧面正中间的截面，延长两腰交于p，平行于底面的截面为ef. 根据棱台上下底面与平行于底面的截面相似的性质，上底面、下底面、截面的相似比为.设ph=h，oh=x，则, . ，即. 当m=n时，则.点评：利用台体平行于底面的截面与底面的相似，把面积比转化为相似比，与对应高之比紧密联系，还要求具有较强的字母代数运算能力. 关于棱台的平行于底面的截面性质这一结论，也可推广到圆台. 我们应特别重视中截面的性质，可以结合梯形的中位线对中截面公式进行理解. 第2练 1.1.2 简单组合体的结构特征基础达标1右图的几何体是由下面哪个平面图形旋转得到的（ ）. a. b. c. d.2下列几何体的轴截面一定是圆面的是（ ）. a. 圆柱 b. 圆锥 c. 球 d. 圆台3把直角三角形绕斜边旋转一周，所得的几何体是（ ）.快乐 a. 圆锥 b.圆柱 c. 圆台 d.由两个底面贴近的圆锥组成的组合体4水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的前面，则这个正方体的后面是（ ）. a0 b6 c快 d乐5圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，则此正方体的棱长为（ ）. a. b. c. d. 6三棱柱的底面为正三角形，侧面是全等的矩形，内有一个内切球，已知球的半径为r，则这个三棱柱的底面边长为 . 7（07年安徽.理15）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）.矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体.能力提高8正四棱锥（棱锥底面是正方形，侧面都是全等等腰三角形）有一个内接正方体，它的顶点分别在正四棱锥的底面内和侧棱上. 若棱锥的底面边长为a，高为h，求内接正方体的棱长. 9一个四棱台的上、下底面均为正方形，且面积分别为、，侧面是全等的等腰梯形，棱台的高为h，求此棱台的侧棱长和斜高（侧面等腰梯形的高）.第3讲 1.2.2 空间几何体的三视图学习目标：能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型.知识要点：1. “视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图. 光线自物体的前面向后投影所得的投影图成为“正视图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投影所得的图形称为“俯视图”. 用这三种视图即可刻划空间物体的几何结构，称为“三视图”. 2. 画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从几何体的正前方、左侧（和右侧）、正上方三个不同的方向看几何体，画出所得到的三个平面图形，并发挥空间想象能力. 在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来.例题精讲：【例3】如图，图（1）是常见的六角螺帽，图（2）是一个机器零件（单位：cm），所给的方向为物体的正前方. 试分别画出它们的三视图.解：图（1）为圆柱和正六棱柱的组合体. 图（2）是由长方体切割出来的规则组合体.从三个方向观察，得到三个平面图形，绘制的三视图如下图分别所示.点评：画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从三个不同的角度进行观察. 在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来. 绘制三视图，就是由客观存在的几何物体，从观察的角度，得到反应出物体形象的几何学知识.【例4】某建筑由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如右图所示，问：（1）该楼有几层？从前往后最多要走过几个房间？（2）最高一层的房间在什么位置？画出此楼的大致形状. 解：（1）由主视图与左视图可知，该楼有3层. 由俯视图可知，从前往后最多要经过3个房间.（2）由主视图与左视图可知，最高一层的房间在左侧的最后一排的房间.楼房大致形状如右图所示.点评：根据三视图的特征，结合所给的视图进行逆推，考察我们的想象能力与逆向思维能力. 由三视图得到相应几何体后，可以验证所得几何体的三视图与所给出的三视图是否一致. 依据三视图进行逆向分析，就是用几何知识解决实际问题的一个方面. 在工厂中，工人师傅都是根据零件结构设计的三视图，对零件进行加工制作.第3练 1.2.2 空间几何体的三视图基础达标1如果一个几何体的正视图是矩形，则这个几何体不可能是（ ）. a. 棱柱 b. 棱台 c. 圆柱 d. 圆锥2右图所示为一简单组合体的三视图，它的左部和右部分别是（ ）. a. 圆锥，圆柱 b. 圆柱，圆锥 c. 圆柱，圆柱 d. 圆锥，圆锥正视图左视图俯视图ab.cd3右图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列几何体中的（ ）.4一个几何体的某一方向的视图是圆，则它不可能是（ ）. a. 球体 b. 圆锥 c. 圆柱 d.长方体5如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有a,b,c,d,e,f这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母a,b,c对面的字母分别为（ ）. a. d,e ,f b. f,d ,e c. e, f,d d. e, d,f2030俯视图正视图左视图306一个几何体的三视图中，正视图、俯视图一样，那么这个几何体是 . (写出三种符合情况的几何体的名称) 7右图是某个圆锥的三视图，请根据正视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为_，圆锥母线长为_.能力提高8找出相应的立体图，并在其下方括号内填写它的序号9图中所示的是一个零件的直观图，画出这个几何体的三视图.（注：表示直径，图中为小圆直径；r表示半径，图中为大圆半径）探究创新10用若干个正方体搭成一个几何体，使它的正视图与左视图都是如右图的同一个图. 通过实际操作，并讨论解决下列问题：（1）所需要的正方体的个数是多少？你能找出几个？（2）画出所需要个数最少和所需要个数最多的几何体的俯视图. 第4讲 1.2.3 空间几何体的直观图学习目标：会用斜二侧法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的直观图. 了解空间图形的不同表示形式.知识要点：“直观图”最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法. 基本步骤如下：（1） 建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，得到直角坐标系，直观图中画成斜坐标系，两轴夹角为.（2）平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x或y轴的线段.（3）长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半.例题精讲：【例1】下列图形表示水平放置图形的直观图，画出它们原来的图形. 解：依据斜二测画法规则，逆向进行，如图所示.【例2】（1）画水平放置的一个直角三角形的直观图；（2）画棱长为4cm的正方体的直观图.解：（1）画法：如图，按如下步骤完成.第一步，在已知的直角三角形abc中取直角边cb所在的直线为x轴，与bc垂直的直线为y轴，画出对应的轴和轴，使.第二步，在轴上取，过作轴的平行线，取.第三步，连接，即得到该直角三角形的直观图.（2）画法：如图，按如下步骤完成.第一步，作水平放置的正方形的直观图abcd，使.第二步，过a作轴，使. 分别过点作轴的平行线，在轴及这组平行线上分别截取.第三步，连接，所得图形就是正方体的直观图. 点评：直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然后运用“水平长不变，垂直长减半”的方法确定出点，最后连线即得直观图. 注意被遮挡的部分画成虚线.【例3】如右图所示，梯形是一平面图形的直观图. 若，. 请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的面积.解：如图，建立直角坐标系xoy，在x轴上截取；.在过点d的y轴的平行线上截取.在过点a的x轴的平行线上截取.连接bc，即得到了原图形.由作法可知，原四边形abcd是直角梯形，上、下底长度分别为，直角腰长度为，所以面积为.点评：给出直观图来研究原图形，逆向运用斜二测画法规则，更要求我们具有逆向思维的能力. 画法关键之处同样是关键点的确定，逆向的规则为“水平长不变，垂直长增倍”，注意平行于y轴的为垂直.第4练 1.2.3 空间几何体的直观图基础达标1下列说法正确的是（ ）. a. 相等的线段在直观图中仍然相等 b. 若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 c. 两个全等三角形的直观图一定也全等 d. 两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形一定是全等三角形450322对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ）. a. 2倍 b. 倍 c. 倍 d. 倍3如图所示的直观图，其平面图形的面积为（ ）. a. 3 b. 6 c. d. 4已知正方形的直观图是有一条边长为4的平行四边形，则此正方形的面积是（ ）. a. 16 b. 16或64 c. 64 d. 以上都不对5一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m、5m、10m，四棱锥的高为8m，若按1500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（ ）. a4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm b4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm c4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm d4 cm，0.5 cm，1 cm，0.8 cm6一个平面的斜二测图形是边长为2的正方形，则原图形的高是 .7利用斜二测画法得到的图形，有下列说法：三角形的直观图仍是三角形；正方形的直观图仍是正方形；平行四边形的直观图仍是平行四边形；菱形的直观图仍是菱形. 其中说法正确的序号依次是 . 探究创新10某几何体的三视图如下.（1）画出该几何体的直观图；（2）判别该几何体是否为棱台.第5讲 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积学习目标：了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的表面积进行计算和解决有关实际问题.知识要点：表面积相关公式表面积相关公式棱柱圆柱 （r：底面半径，h：高）棱锥圆锥 （r：底面半径，l：母线长）棱台圆台（r：下底半径，r：上底半径，l：母线长）例题精讲：【例1】已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.解：设圆台的母线长为，则圆台的上底面面积为，圆台的上底面面积为，所以圆台的底面面积为.又圆台的侧面积，于是，即为所求.【例3】牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如右图所示，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？（精确到0.01 m2） 解：上部分圆锥体的母线长为， 其侧面积为.下部分圆柱体的侧面积为 .所以，搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为（m2）.点评：正确运用锥体和柱体的侧面积计算公式，解决制作壳形几何体时的用料问题. 注意区分是面积计算，还是体积计算.【例4】有一根长为10 cm，底面半径是0.5 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.01 cm）解：如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形abcd.由题意知，bc=10 cm, , 点a与点c就是铁丝的起止位置，故线段ac的长度即为铁丝的最短长度. .所以，铁丝的最短长度约为27.05 cm. 点评：此题关键是把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面几何问题. 探究几何体表面上最短距离，常将几何体的表面或侧面展开，化折（曲）为直，使空间图形问题转化为平面图形问题. 空间问题平面化，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.第5练 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积基础达标1用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（ ）. a. 8 b. c. d. 2圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（ ）. a. 7 b. 6 c. 5 d. 33一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）. a. b. c. d. 4一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，棱柱的对角线长分别是9cm和15cm，高是5cm，则这个直棱柱的侧面积是（ ）. a. 160 cm2 b. 320 cm2 c. cm2 d. cm25（04年湖北卷.文6）四面体abcd四个面的重心分别为e、f、g、h，则四面体efgh的表面积与四面体abcd的表面积的比值是（ ）.a bcd6如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，分别是两底面的直径，是母线若一只小虫从a点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是 （结果保留根式） 7已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，则它们的高之比为 . 能力提高8六棱台的上、下底面均是正六边形，边长分别是8 cm和18 cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长为13 cm，求它的表面积. 9一个圆锥的底面半径为r，高为h，在这个圆锥内部有一个高为x的内接圆柱. 当x为何值时，圆柱的表面积最大？最大值是多少？探究创新10. 现有一个长方体水箱，从水箱里面量得它的深是30cm，底面的长是25cm，宽是20cm设水箱里盛有深为cm的水，若往水箱里放入棱长为10cm的立方体铁块，试求水深. 第6讲 1.3.1 柱体、锥体、台体的体积学习目标：了解棱柱、棱锥、台体的体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题.知识要点：1. 体积公式：体积公式体积公式棱柱圆柱棱锥圆锥棱台圆台2. 柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系： .例题精讲：【例1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是 .解：设长方体的长宽高分别为，则，三式相乘得.所以，长方体的体积为6.【例2】一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积v与x的函数关系式,并求出函数的定义域. 解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为.在中，, 所以, 于是.依题意函数的定义域为.【例3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为，母线长为6，现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为 .解：容器中水的体积为.流出水的体积为，如图，.设圆柱的母线与水平面所成的角为，则，解得.所以，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为60.点评：抓住流水之后空出部分的特征，它恰好是用一个平面去平分了一个短圆柱. 从而由等体积法可计算出高度，解直角三角形而得所求角.【例4】在边长为a的正方形中，剪下一个扇形和一个圆，分别作为圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积. hr 解：剪下的扇形的弧长与剪下的圆的周长是相等的. 设扇形半径为x，圆半径为r，则 ， x=4r ， .又 ab=， ，解得.圆锥的高，.点评：求已知的平面图形围成的旋转体的面积或体积的关键是正确分析平面图形与其围成的旋转体中有关量间的关系. 搞清平面图形上的哪些量在旋转体中不变，哪些发生了变化. 第6练 1.3.1 柱体、锥体、台体的体积基础达标1已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为和，则（ ）. a. b. c. d. 2三棱锥vabc的底面abc的面积为12，顶点v到底面abc的距离为3，侧面vab的面积为9，则点c到侧面vab的距离为（ ）. a. 3 b. 4 c. 5 d. 63若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）.俯视图主视图左视图 a. b. c. d. 4矩形两邻边的长为a、b，当它分别绕边a、b旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比为（ ）. a. b. c. d. 5如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）. a b . c. d . 6已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1cm，2cm，3cm，则此棱锥的体积_.7（04年广东卷.15）由图(1)有面积关系: 则由(2) 有体积关系: 能力提高8有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190l，假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm，求它的深度为多少cm？ 探究创新10养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m. 养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐. 现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m（高不变）；二是高度增加4 m (底面直径不变).（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；（3）哪个方案更经济些？第7讲 1.3.2球的体积和表面积学习目标：了解球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.知识要点：1. 表面积： （r：球的半径）. 2. 体积：.例题精讲：【例1】有一种空心钢球，质量为，测得外径等于，求它的内径（钢的密度为，精确到）解：设空心球内径(直径)为，则钢球质量为， ，直径，即空心钢球的内径约为.【例2】表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积.解：设球半径为，正四棱柱底面边长为，则作轴截面如图，又，.【例3】（04年辽宁卷.10）设a、b、c、d是球面上的四个点，且在同一平面内，ab=bc=cd=da=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）.abcd【解】由已知可得，a、b、c、d在球的一个小圆上. ab=bc=cd=da=3， 四边形为正方形. 小圆半径. 由得，解得. 球的体积. 所以选a.点评：解答球体中相关计算，一定要牢记球的截面性质，体积和表面积公式.【例4】推导球的表面积公式.解：设球的半径为，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用表示，则球的表面积.以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于求的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积可近似地等于“小锥体”的底面积，球的半径近似地等于小棱锥的高.因此，第个小棱锥的体积，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积为：，又，且， 可得.又 ， 即为球的表面积公式点评：我们也可以类似以上极限分割，利用球的表面积公式推导球的体积公式. 若把半球中垂直于底面的半径作等分，经过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成层，每一层都近似于一个圆柱形的“薄圆片”，这些“薄圆片”的体积之和就是半球的体积. 由于“薄圆片”近似于圆柱形状，它的体积近似于相应的圆柱的体积，从而把半球的体积化归为无限个圆柱的体积之和. 探究的关键都是先极限分割，然后求和.第7练 1.3.2球的体积和表面积基础达标1正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）. a. b. c. d. 2设正方体的全面积为，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ）. a. b. c. d. 3已知，棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如下图所示，则（）. a. 以上四个图形都是正确的 b. 只有(2)(4)是正确的 c. 只有(4)是错误的 d. 只有(1)(2)是正确的4长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）. a. b. c. d. 都不对5一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为（ ）. a. b. c. d. 6若三个球的表面积之比是，则它们的体积之比是 .7 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则这个球的表面积为 ，体积为 . 探究创新10祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的. 祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 可以用诗句“两个胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然同样胖”形象表示其内涵. 利用祖暅原理可以推导几何体的体积公式，关键是要构造一个参照体.试用祖暅原理推导球的体积公式.第8讲 第一章 空间几何体 复习学习目标：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）；了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.例题精讲：【例1】（06年四川卷）如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是 a. b. c. d. 解：如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，po底面abcd，po=r，所以，解得r=2，则球的表面积是，选d.【例2】如图（单位：cm），求图中阴影部分绕ab旋转一周所形成的几何体的表面积和体积. bcad452解：由题意知, 所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面. s半球=8 ， s圆台侧=35 ，s圆台底=25. 故所求几何体的表面积为68 .由，.所以，旋转体的体积为.【例3】如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱= 8. 若水平放置时，液面恰好过的中点，则当底面abc水平放置时，液面的高为多少？解：当水平放置时，纵截面中水液