广东省廉江市第三中学高中数学 第四章 圆与方程讲解与练习 新人教A版必修2(1).doc

广东省廉江市第三中学2014高中数学 第四章 圆与方程讲解与练习 新人教a版必修2学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；能用待定系数法、几何法求圆的标准方程.知识要点：1. 圆的标准方程：方程表示圆心为a（a，b），半径长为r的圆.2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；（2）待定系数法：先根据条件列出关于a、b、r的方程组，然后解出a、b、r，再代入标准方程.例题精讲：【例1】（01年全国卷.文）过点、且圆心在直线xy20上的圆的方程是（ ）.a.（x3）2（y1）24 b.（x3）2（y1）24c.（x1）2（y1）24 d.（x1）2（y1）24解：由圆心在直线xy20上可以得到a、c满足条件, 再把a点坐标（1，1）代入圆方程. a不满足条件. 所以，选c.另解：设圆心c的坐标为(a，b)，半径为r, 因为圆心c在直线x+y2=0上, b=2a.由|ca|=|cb|，得（a1）2+（b+1）2=（a+1）2+（b1）2，解得a=1，b=1.因此，所求圆的方程为（x1）2+（y1）2=4. 选c.【例2】求下列各圆的方程：（1）过点，圆心在；（2）圆心在直线上的圆c与y轴交于两点解：（1）设所求圆的方程为. 则 ， 解得. 圆的方程为.（2）圆心在线段ab的垂直平分线上，代入直线得，圆心为，半径. 圆c的方程为.【例3】推导以点为圆心，为半径的圆的方程.解：设圆上任意一点，则.由两点间的距离公式，得到.化简即得圆的标准方程：点评：这里的推导方法，实质就是求曲线方程的通法，其基本步骤是：建系设点（建立合适的坐标系，设所求曲线上的动点）写条件（写出动点m所满足的条件）列式（用坐标来表示所写出的条件，列出方程）化为最简特殊说明.【例4】一个圆经过点与，圆心在直线上，求此圆的方程.解：设圆心，则， 解得.圆的半径. 圆的标准方程为.另解：线段ab的中点，即. 直线ab的斜率.所以弦ab的垂直平分线的方程为，即.解方程组，得， 即圆心.圆的半径. 圆的标准方程为.点评：两种解法，都是先求出圆心与半径，第一种解法用设圆心坐标后列方程而求，第二种解法用两条直线的交点求圆心. 由上可得，解法关键都是如何求圆心与半径.第29练 4.1.1 圆的标准方程基础达标能力提高8求经过点a（5，2），b（3，2），圆心在直线2x-y-3=0上圆方程.9求与x轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长等于的圆的方程. 探究创新10（03年京春文）设a（c，0），b（c，0）（c0）为两定点，动点p到a点的距离与到b点的距离的比为定值a（a0），求p点的轨迹.第30讲 4.1.2 圆的一般方程学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程；能用待定系数法求圆的一般方程.知识要点：1. 圆的一般方程：方程 （）表示圆心是，半径长为的圆. 2. 轨迹方程是指点动点m的坐标满足的关系式.例题精讲：【例1】求过三点a(2,2)、b(5,3)、c(3,1)的圆的方程.解：设所求圆的方程为. 则， 解得. 圆的方程为.【例2】设方程，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及圆心的轨迹方程. 解：配方得，该方程表示圆，则有，得，此时圆心的轨迹方程为，消去m，得，由得x=m+3. 所求的轨迹方程是，【例3】已知线段ab的端点b的坐标是(4,3)，端点a在圆上运动，求线段ab的中点轨迹方程. （教材p133 例5 另解）解：设圆的圆心为p(-1,0)，半径长为2，线段ab中点为m(x, y). nm(x,y)ayxpb(4,3)取pb中点n,其坐标为(,)，即n(,). m、n为ab、pb的中点, mnpa且mn=pa=1. 动点m的轨迹为以n为圆心，半径长为1的圆.所求轨迹方程为：.点评：此解为定义法，利用中位线这一几何性质，将所求动点的轨迹转化为到定点的距离等于定长，即圆的定义. 解法关键是连接pb，取pb的中点n，得到mn的长度为定值. 教材中的解法是通过设动点的坐标，然后找出相关的几何条件，得到动点坐标所满足等式即所求轨迹方程.【例4】求经过两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的方程.解：设所求圆的方程为. 当时，则； 当时，则.则， 解得. 圆的方程为.点评：用待定系数法的一般步骤是“设（设含待定系数的方程）列（利用条件列出系数所满足的方程组）求（解方程组）写（写出所求方程）”. 当已知圆上三点或两点时，选用圆的一般方程形式较为简单. 当易知圆心和半径时，选用圆的标准方程形式易求解.第30练 4.1.2 圆的一般方程基础达标能力提高8求经过三点、的圆的方程.9一曲线是与定点o(0,0)，a(3,0)距离的比是的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程. 探究创新10如图，过圆o：x2+y2=4与y轴正半轴交点a作此圆的切线at，m为at上任一点，过m作圆o的另一条切线，切点为q，求maq垂心p的轨迹方程. 第31讲 4.2.1 直线与圆的位置关系学习目标：能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.知识要点：1. 直线与圆的位置关系及其判定： 方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x或（y），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别；方法二：利用圆心（）到直线的距离，比较d与r的大小.（1）相交 ；（2）相切；（3）相离.2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式例题精讲：【例1】（02年全国卷.文）若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2y22x0相切，则a的值为 .解：将圆x2y22x0的方程化为标准式：（x1）2y21, 其圆心为（1，0），半径为1，由直线（1a）xy10与该圆相切，则圆心到直线的距离， a1. 【例2】求直线被圆所截得的弦长. （p144 练习1题）解：由题意，列出方程组，消y得，得，.设直线与圆交于点，则 =.另解：圆心c的坐标是，半径长. 圆心到直线的距离.所以，直线被圆截得的弦长是.【例3】（04年辽宁卷.13）若经过点的直线与圆相切，则此直线在y轴上的截距是 . 解：圆的标准方程为，则圆心，半径.设过点的直线方程为，即. 圆心到切线的距离，解得. 直线方程为，在y轴上的截距是1.点评：研究直线和圆的相切，简捷的方法是利用公式，还可以由方程组只有一个实根进行解答. 选择恰当的方法，是我们解题的一种能力.【例4】设圆上的点a（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为，求圆的方程. 解：设a关于直线x+2y=0的对称点为a. 由已知得aa为圆的弦，得到aa的对称轴x+2y=0过圆心.设圆心p（-2a，a），半径为r， 则r=|pa|=(-2a-2)2+(a-3)2.又弦长，圆心到弦aa的距离为， ， 即4(a+1)2+(a-3)2=2+， 解得a=-7或a=-3.当a=-3时，r=；当a=-7时，r=. 所求圆方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.点评：在解答与圆的弦长相关的一些问题时，常用勾股定理，得到圆心到弦的距离d、半径r、半弦长的一个勾股式. 这种方法与方程组的思想求解弦长问题相比，计算过程较为简单.第31练 4.2.1 直线与圆的位置关系基础达标能力提高8求直线x+y2=0截圆x2y24得的劣弧所对的圆心角. 9一直线过点，被圆截得的弦长为8, 求此弦所在直线方程.探究创新10（1997全国文）已知圆满足：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为31；圆心到直线l：x2y=0的距离为. 求该圆的方程.第32讲 4.2.2 圆与圆的位置关系学习目标：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系. 掌握坐标法的思想，用解方程组判别位置关系或求交点坐标.知识要点：两圆的位置关系及其判定： 设两圆圆心分别为，半径分别为，则：（1）两圆相交；（2）两圆外切；（3）两圆内切；例题精讲：【例1】已知圆：，圆：（1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程.解：（1）圆的圆心为（3,0），半径为，圆的圆心为（0，2），半径为，又，圆与相交.（2）由，得公共弦所在的直线方程为.【例2】求经过两圆和的交点，并且圆心在直线上的圆的方程.解：设所求圆的方程为，即, 则所求圆的圆心为.圆心在直线上，解得. 所求圆的方程为【例3】（04年全国卷.文理4）已知圆c与圆关于直线对称，则圆c的方程为 a. b. c. d.解：已知圆的半径，圆心，圆心关于直线的对称点为，则圆c的方程为. 选c.点评：圆关于直线的对称图形仍然是圆，半径不变，圆心关于直线对称. 我们要掌握一些常见对称问题的解答思路，例如点关于直线的对称，曲线关于直线的对称，曲线关于点的对称等，解答理论基础有中点坐标公式、垂直时斜率乘积为1、代入法、转化思想.同时，我们也要掌握一些简单对称，如点关于直线的对称点为.【例4】求圆与圆的公共弦的长. （教材p144 习题a组9题）解：由题意，列出方程组，消去二次项，得.把代入，得，解得，于是，两圆的交点坐标是，所以，公共弦长.另解：由题意，列出方程组，消去二次项，得，它即公共弦所在直线的方程.圆的圆心到直线的距离为.所以，两圆的公共线长为.点评：为何两圆的方程消去二次项后，即为公共弦所在直线的方程，我们易由曲线系的知识可得. 比较方程思想与几何方法求解两圆的公共弦长，几何方法更为简捷. 先求公共弦所在直线，再求一圆心到直线的距离，通过公式求得弦长.第32练 4.2.2 圆与圆的位置关系基础达标能力提高8求与圆同心，且与直线相切的圆的方程.9求圆关于直线的对称圆方程. 探究创新10求一宇宙飞船的轨道，使得在轨道上任一点处看地球和月球的视角都相等. 第33讲 4.2.3 直线与圆的方程的应用学习目标：能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想.知识要点：坐标法：建立适当的直角坐标系后，借助代数方法把要研究的几何问题，转化为坐标之间的运算，由此解决几何问题例题精讲：【例2】自点a(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射, 其反射光线所在的直线与圆相切, 求光线l所在的直线方程.解：由已知可得圆c：关于x轴对称的圆c的方程为，其圆心c（2，-2），易知l与圆c相切. 设l: y-3=k(x+3), 即kx-y+3k+3=0.，整理得12k2+ 25k+12=0, 解得或.所以，所求直线方程为y-3= (x+3)或 y-3= (x+3)，即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.点评：关于求切线问题, 利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件, 是解决圆的切线方程的常用方法. 如果由方程组思想，通过“”求切线方程也可, 但过程要复杂些. m(x,y)q(4,0)oxyp【例3】实数满足， 求下列各式的最大值和最小值：（1）；（2）.解：原方程为，表示以为圆心，2为半径的圆. （1）设，几何意义是：圆上点与点连线的斜率. 由图可知当直线mq是圆的切线时，取最大值与最小值。 设切线，即. 圆心p到切线的距离，化简为，解得或. 的最大值为0,最小值为.（2）设，几何意义是：直线与圆有公共点. 圆心p到直线的距离2，解得. 的最大值为，最小值为.点评：代数式最大值最小值的研究，常用数形结合思想方法，将要研究的代数问题转化为几何问题，关键是如何挖掘代数式的特点，利用几何意义进行转化。例如，由代数式联想到两点的距离公式，或圆的方程；由代数式联想到两点的斜率，或直线的方程；由代数式联想到直线的方程；由代数式联想到数轴上到两点的距离之和，等等。第33练 4.2.3 直线与圆的方程的应用基础达标能力提高8已知实数满足，求的值域.第34讲 4.3.1 空间直角坐标系学习目标：通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.知识要点：1. 空间直角坐标系：从空间某一个定点o引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴ox、oy、oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系o-xyz，点o叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xoy平面、yoz平面、zox平面.2. 右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3. 空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点m，作出m点在三条坐标轴ox轴、oy轴、oz轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z，则把有序实数组(x, y, z)叫做m点在此空间直角坐标系中的坐标，记作m(x, y, z)，其中x叫做点m的横坐标，y叫做点m的纵坐标，z叫做点m的竖坐标.4. 在xoy平面上的点的竖坐标都是零，在yoz平面上的点的横坐标都是零，在zox平面上的点的纵坐标都是零；在ox轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零，在oy轴上的点的横坐标、竖坐标都是零，在oz轴上的点的横坐标、纵坐标都是零例题精讲：【例1】在空间直角坐标系中，作出点m(6，2,4).解：点m的位置可按如下步骤作出：先在x轴上作出横坐标是6的点，再将沿与y轴平行的方向向左移动2个单位得到点，然后将沿与z轴平行的方向向上移动4个单位即得点m.m点的位置如图所示.【例2】在长方体中，ab=12，ad=8，=5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.解：以a为原点，射线ab、ad、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则a(0,0,0)、b(12,0,0)、c(12,8,0)、d(0,8,0)、(0,0,5)、(12,0,5)、(12,8,5)、(0,8,5).【例3】已知正四棱锥p-abcd的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.分析：先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系. 解：正四棱锥p-abcd的底面边长为4，侧棱长为10，正四棱锥的高为.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于ab、bc所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为a(2,-2,0)、b(2,2,0)、c(-2,2,0)、d(-2,-2,0)、p(0,0,).点评：在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标.【例4】在空间直角坐标系中，求出经过a(2,3，1)且平行于坐标平面yoz的平面的方程.分析：求与坐标平面yoz平行的平面的方程，即寻找此平面内任一点所要满足的条件，可利用与坐标平面yoz平行的平面内的点的特点来求解.解：坐标平面yozx轴，而平面与坐标平面yoz平行， 平面也与x轴垂直， 平面内的所有点在x轴上的射影都是同一点，即平面与x轴的交点， 平面内的所有点的横坐标都相等。平面过点a(2,3,1)， 平面内的所有点的横坐标都是2， 平面的方程为x=2.点评：对于空间直角坐标系中的问题，可先回忆与平面直角坐标系中类似问题的求解方法，再用类比方法求解空间直角坐标系中的问题。本题类似于平面直角坐标系中，求过某一定点且与x轴(或y轴)平行的直线的方程.第34练 4.3.1 空间直角坐标系基础达标1点在空间直角坐标系的位置是（ ）. a. y轴上 b. 平面上 c. 平面上 d. 平面上 2在空间直角坐标系中，下列说法中：在x轴上的点的坐标一定是；在平面上的点的坐标一定可写成；在z轴上的点的坐标可记作；在平面上的点的坐标是. 其中正确说法的序号依次是（ ）. a. b. c. d. 3结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图. 其中实点代表钠原子，黑点代表氯原子. 建立空间直角坐标系oxyz后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是（ ）. a b c d4点在x轴上的射影和在平面上的射影点分别为（ ）. a. 、 b. 、 c. 、 d. 、5点分别在面（ ）. a. 上 b. 上 c. 上 d. 上6点关于原点对称的点的坐标是 . 7连接平面上两点、的线段的中点m的坐标为，那么，已知空间中两点、，线段的中点m的坐标为 . 能力提高8如图，点，在四面体abcd中，ab平面bcd，bc=cd，bcd=90，adb=30，e、f分别是ac、ad的中点. 求d、c、e、f这四点的坐标. 9在空间直角坐标系中，给定点，求它关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标.探究创新10在空间直角坐标系中，求出经过b(2,3,0)且垂直于坐标平面xoy的直线方程 第35讲 4.3.2 空间两点间的距离公式学习目标：通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.知识要点：1. 空间两点、间的距离公式：.2. 坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：在立体几何图形中建立空间直角坐标系；依题意确定各相应点的坐标 ；通过坐标运算得到答案.3. 对称问题，常用对称的定义求解. 一般地，点p(x, y, z) 关于坐标平面xoy、yoz、zox的对称点的坐标分别为(x, y,- z)、(-x, y, z)、(x, -y, z)；关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为(x, -y,- z)、(-x, y, -z)、(-x, -y, z)；关于原点的对称点的坐标为(-x,- y,- z).例题精讲：【例1】已知a(x,2,3)、b(5,4,7)，且|ab|=6，求x的值.解：|ab|=6， 即，解得x=1或x=9.【例2】求点p(1,2,3)关于坐标平面xoy的对称点的坐标.解：设点p关于坐标平面xoy的对称点为，连交坐标平面xoy于q，则坐标平面xoy，且|pq|=|q|，在x轴、y轴上的射影分别与p在x轴、y轴上的射影重合， 在z轴上的射影与p在z轴上的射影关于原点对称，与p的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数， 点p(1,2,3)关于坐标平面xoy的对称点的坐标为(1,2,-3).【例4】在四面体p-abc中，pa、pb、pc两两垂直，设pa=pb=pc=a，求点p到平面abc的距离. 解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系p-xyz，则p(0,0，0)，a（a,0,0），b（0,a,0），c（0,0,a）.过p作ph平面abc，交平面abc于h，则ph的长即为点p到平面abc的距离. pa=pb=pc,h为abc的外心，又 abc为正三角形，h为abc的重心，可得h点的坐标为.|ph|=,点p到平面abc的距离为点评：重心h的坐标，可以由比例线段得到. 通过建立空间直角坐标系，用代数方法来计算点面距离. 本题也可以用几何中的等体积法来求解.第35练 4.3.2 空间两点间的距离公式基础达标能力提高8（1）已知a(2,5，-6)，在y轴上求一点b，使得|ab|=7；（2）求点p(5,-2，3)关于点a(2,0，-1)的对称点的坐标.9已知、，在平面内的点m到a点与b点等距离，求点m的轨迹.探究创新10点p在坐标平面xoy内，a点的坐标为(-1,2，4)，问满足条件|pa|=5的点p的轨迹是什么？ 第36讲 第四章 圆与方程 复习学习目标：掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程；能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；会推导空间两点间的距离公式；初步了解用代数方法处理几何问题的思想.例题精讲：【例1】设直线与圆相交于p、q两点，o为坐标原点，若，求的值. 解：圆过原点，并且， pq是圆的直径，圆心的坐标为 又在直线上， ，解得. 【例2】（1997上海）设圆x2+y24x5=0的弦ab的中点为p（3，1），则直线ab的方程是 .解法一：已知圆的方程为（x2）2+y2=9，可知圆心c的坐标是（2，0），又知ab弦的中点是p（3，1），所以kcp=1，而abcp，所以kab=1. 故直线ab的方程是x+y4=0.解法二：设所求直线方程为y1=k（x3）. 代入圆的方程，得关于x的二次方程：（1+k2）x2（6k22k+4）x+9k26k4=0，由韦达定理：x1+x2=6，解得k=1.解法三：设所求直线与圆交于a、b两点，其坐标分别为a（x1，y1）、b（x2，y2），则有， 两式相减，得（x2+x14）（x2x1）+（y2y1）（y2+y1）=0.又ab的中点坐标为（3，1），x1+x2=6，y1+y2=2. =1，即ab的斜率为1，故所求方程为x+y4=0.【例3】长为的线段ab的两端点a和b，分别在x轴和y轴上滑动，求线段ab中点的轨迹方程.解：设线段ab的中点坐标为，则 点，. 由，得.所以，所求轨迹方程为.点评：此解体现了求