高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.6.2 求曲线的方程课件 苏教版选修21.ppt

第2章2 6曲线与方程 2 6 2求曲线的方程 1 掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法 熟悉求曲线方程的五个步骤 2 掌握求轨迹方程的几种常用方法 学习目标 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一坐标法和解析几何 答案 借助于坐标系 用表示点 把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹 用曲线上点的坐标 x y 所满足的表示曲线 通过研究间接地来研究曲线的性质 这一研究几何问题的方法就叫 用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做 坐标 方程f x y 0 方程的性质 解析几何 坐标法 知识点二解析几何研究的主要问题 1 根据已知条件 求出表示曲线的 2 通过曲线的方程 研究曲线的 方程 性质 1 建立适当的坐标系 2 设曲线上任意一点m的坐标为 x y 3 列出符合条件p m 的方程 4 化方程f x y 0为最简形式 5 证明以化简后的方程的解为坐标的点 答案 知识点三求曲线的方程的一般步骤 f x y 0 都在曲线上 思考 1 求曲线的方程的步骤是否可以省略 答案 答案可以省略 如果化简前后方程的解集是相同的 可以省略步骤说明 如有特殊情况 可以适当说明 另外 也可以根据情况省略步骤 写集合 直接列出曲线方程 2 求曲线的方程和求轨迹一样吗 答案不一样 若是求轨迹则要先求出方程 再说明和讨论所求轨迹是什么样的图形 即图形的形状 位置 大小都需说明 讨论清楚 返回 例1动点m与距离为2a的两个定点a b的连线的斜率之积等于 求动点m的轨迹方程 题型探究重点突破 题型一直接法求曲线方程 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 解如图 以直线ab为x轴 线段ab的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系 则a a 0 b a 0 化简得 x2 2y2 a2 x a 点m的轨迹方程为x2 2y2 a2 x a 直接法是求轨迹方程的最基本的方法 根据所满足的几何条件 将几何条件 m p m 直接翻译成x y的形式f x y 0 然后进行等价变换 化简为f x y 0 要注意轨迹上的点不能含有杂点 也不能少点 也就是说曲线上的点一个也不能多 一个也不能少 反思与感悟 跟踪训练1已知在直角三角形abc中 角c为直角 点a 1 0 点b 1 0 求满足条件的点c的轨迹方程 解析答案 解如图 设c x y x 1 x 1 y2 0 化简得x2 y2 1 a b c三点要构成三角形 a b c三点不共线 y 0 点c的轨迹方程为x2 y2 1 y 0 例2已知圆c x 1 2 y2 1 过原点o作圆的任意弦 求所作弦的中点的轨迹方程 题型二定义法求曲线方程 解析答案 反思与感悟 解如图 设oq为过o点的一条弦 p x y 为其中点 则cp oq opc 90 如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义 则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程 利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征 反思与感悟 跟踪训练2已知定长为6的线段 其端点a b分别在x轴 y轴上移动 线段ab的中点为m 求点m的轨迹方程 解作出图象如图所示 根据直角三角形的性质可知 解析答案 所以m的轨迹是以原点o为圆心 以3为半径的圆 故点m的轨迹方程为x2 y2 9 例3已知动点m在曲线x2 y2 1上移动 点m和定点b 3 0 连线的中点为p 求点p的轨迹方程 题型三代入法求曲线方程 解设p x y m x0 y0 解析答案 反思与感悟 又 m在曲线x2 y2 1上 2x 3 2 4y2 1 p点的轨迹方程为 2x 3 2 4y2 1 代入法求轨迹方程就是利用所求动点p x y 与相关动点q x0 y0 坐标间的关系式 且q x0 y0 又在某已知曲线上 则可用所求动点p的坐标 x y 表示相关动点q的坐标 x0 y0 即利用x y表示x0 y0 然后把x0 y0代入已知曲线方程即可求得动点p的轨迹方程 反思与感悟 跟踪训练3已知 abc的两顶点a b的坐标分别为a 0 0 b 6 0 顶点c在曲线y x2 3上运动 求 abc重心的轨迹方程 解设g x y 为 abc的重心 顶点c的坐标为 x y 因为顶点c x y 在曲线y x2 3上 所以3y 3x 6 2 3 整理 得y 3 x 2 2 1 故点m的轨迹方程为y 3 x 2 2 1 解析答案 求曲线方程忽略限制条件致错 易错点 例4直线l y k x 5 k 0 与圆o x2 y2 16相交于a b两点 o为圆心 当k变化时 求弦ab的中点m的轨迹方程 解析答案 返回 错解设m x y 易知直线恒过定点p 5 0 再由om mp 得op2 om2 mp2 x2 y2 x 5 2 y2 25 正解设m x y 易知直线恒过定点p 5 0 再由om mp 得op2 om2 mp2 x2 y2 x 5 2 y2 25 返回 点m应在圆内 所求的轨迹为圆内的部分 解析答案 返回 易错警示 当堂检测 1 2 3 4 5 一条直线 一条直线去掉一点 一个点 两个点 解析注意当点c与a b共线时 不符合题意 应去掉 解析答案 1 2 3 4 5 2 到点 1 0 与直线x 3的距离相等的点的轨迹方程为 变形为 y2 8x 8 y2 8x 8 解析答案 1 2 3 4 5 3 下列各点中 在曲线x2 xy 2y 1 0上的点是 填序号 2 2 4 3 3 10 2 5 解析依次把四个点代入x2 xy 2y 1 当x 3 y 10时 x2 xy 2y 1 0 解析答案 1 2 3 4 5 4 在第四象限内 到原点的距离为2的点m的轨迹方程是 填序号 x2 y2 4 x2 y2 4 x 0 解析设m x y 由mo 2得 x2 y2 4 解析答案 1 2 3 4 5 5 设a为圆 x 1 2 y2 1上的动点 pa是圆的切线 且pa 1 则动点p的轨迹方程是 解析圆 x 1 2 y2 1的圆心为b 1 0 半径r 1 则pb2 pa2 r2 pb2 2 动点p的轨迹方程为 x 1 2 y2 2 x 1 2 y2 2 解析答案 课堂小结 1 坐标系建立的不同 同一曲线的方程也不相同 2 一般地 求哪个点的轨迹方程 就设哪个点的坐标是 x y 而不要设成 x1 y1 或 x y 等 3 方程化简到什么程度 课本