几何算数平均不等式.doc

华中农业大学本科毕业论文（或设计）几何算术平均不等式及其在代数中的应用摘 要几何算术平均不等式是非常重要的不等式，其在现代分析数学中的应用最为广泛，许多结论的证明是在使用此不等式的基础上获得的，巧妙的使用此不等式能使许多问题得到漂亮的解决，为我们的研究工作带来了很多方便。此不等式的证明和应用是人们感兴趣的。随着不等式的不断的被证明和被用于证明其他结论上，导致不等式的使用大为提前。几何算术平均不等式在求极值、求条件极值，求某些迭代数列的极限、级数的收敛性和相关不等式的推导方面被大量广泛的使用，应用此不等式能得到许多意想不到的结果，它本身也有多种变换的使用结果和发展。通过对几何算术平均不等式的研究和推广，我们的解题思路会得到开拓，数学思维也会相应提高，这对探索一些实质问题有一定的实际意义。关键词几何算术平均不等式；初等证明；不等式的应用Geometry - the arithmetic mean inequality and its application in algebraAbstractGeometry - the arithmetic average of inequality is very important inequality，The most widely used in modern analytical mathematics，Many of the conclusions proved to be using this inequality on the basis of，Clever use of this inequality can make many of the problems is a beautiful solution，Brought a lot of convenience for our research work. The proof of this inequality and we are interested in.With the inequality continues to be proven and be used to prove the other conclusions，Lead to the use of inequality greatly advance. Geometry - the arithmetic average of the inequality in the extreme value, the conditional extremum seeking some iterative series limit, series convergence and inequality derivation of a large number of widely used，Apply this inequality can be many unexpected results，It also results of the use and development of a variety of transformation. On the geometry - the arithmetic mean inequality research and extension, our problem-solving ideas will be to develop mathematical thinking will be a corresponding increase in, which is of practical significance to explore some of the substantive issues. Key wordsGeometry - the arithmetic average of inequality ; Elementary Proof ;The use of inequality191 引言1.1 研究背景和意义总所周知：同等量关系一样，不等量关系在自然界中也存在着基本数学关系，它们不仅在日常生活和现实世界中大量存在，而且在数学研究应用领域中也起着重要的作用。不等式是数学学习的重点内容，也是我们研究数量大小关系的必备知识，更是我们进一步学习数学和其他学科的基础工具。不等式的研究主要起源于欧洲国家, 其中东欧国家有一个较大的研究群体。当时的研究水平还属于初级阶段。随着不等式的广发应用,目前对不等式理论感兴趣的数学科研工作者已遍布全世界。数学不等式理论经过1882年和1928年两次的转变使得不等式的发展更加的稳定。一般来讲，初等不等式应该有其初等的证明,而且应该给出等号成立的条件。当时欧洲的科学家提出, 人们应该尽量陈述和证明不能推广的不等式并且基本的不等式是初等的.自从不等式一书于1934年出版以来, 数学不等式理论及其应用的研究正式登上数学舞台,这也预示着新兴的数学学科诞生了, 从此不等式不再是一些独立零散的公式集合体, 它已发展具备了系统结构的科学理论。历史上 , 华人数学家包括华罗庚、樊畿、林东坡、徐利治、等老一代数学家在不等式领域也做出过重要贡献。随着不等式在中国的发展，很多年经数学家也在不等式的国际研究领域中得了佳绩，这也预示着不等式的发展在我国得到了重视和发展。20世纪80年代以来中国大地上掀起了一股前所未有的不等式研究潮流。杨路等教授对几何不等式研究的一系列开创性工作，将我国几何不等式的研究推向高潮；在代数不等式方面，王挽澜教授在Fan ky不等式方面的研究成果已进入世界领域。祁锋教授及其所领导的研究团体已为今后深入研究打下了基础；对分析不等式，胡克教授于1981年针对Holder不等式的缺陷提出一个全新的不等式，并对这个不等式及其应用作了系统而深刻的研究。为纪念胡克教授，现将这个被评论称为一个杰出的不等式称之为胡克(HK)不等式。 由于不等式被深入的研究，已产生了很多分支领域，其中几何算术平均不等式的研究也在如火如荼的进行中。随着不等式的不断的被证明和被用于证明其他结论上，导致不等式的使用大为提前。几何算术平均不等式在求极值、求条件极值，求某些迭代数列的极限、级数的收敛性和相关不等式的推导方面被大量广泛的使用，应用此不等式能得到许多意想不到的结果，它本身也有多种变换的使用结果和发展。通过对几何算术平均不等式的研究和推广，我们的解题思路会得到开拓，数学思维也会相应提高，这对探索一些实质问题有一定的实际意义。几何算术平均不等式的证明联系了与贝努里不等式和Young不等式之间的关系。1.2 研究现状目前关于几何算术平均不等式的相关研究比较多，几乎所有的论文都围绕着不等式知识的重点内容展开，归纳起来主要研究的是以下几个方面:1.几何算术平均不等式的初等证明2005年第二届全国不等式学术年会的召开进一步将我国不等式的研究推向高潮，通过学术交流探讨不等式研究的重要成果和思想方法，使得几何算术平均不等式的研究工作也到了突破。初等证明的答题思路为：通过对2元，3元几何算术平均不等式的证明进而假设得到n元几何算术平均不等式，根据数学归纳法和反归纳法等方法证明假设的n元几何算术平均不等式成立。2.几何算术平均不等式的应用我们都知道，历来不等式的证明都是一大难题，而几何算术平均不等式的运用可以帮助我们解决很多不等式的证明问题。几何算术平均不等式在求极值、求条件极值，求某些迭代数列的极限、级数的收敛性和相关不等式的推导方面被大量广泛的使用。例如河北省的王静老师发表于数理天地.高中版2005年第n期上的巧用均值不等式证题重点研究了几何算术平均不等式在不等式证明和求最值问题中的别具一格的作用。在现如今的数学学习中，数学思想的学习尤为重要。例如：分类讨论思想、化归思想、函数与方程思想、数形结合思想等。而不等式的证明与应用充分体现了其数学思想。随着现行教材和新课标将数学学习的重点转到数学思想的培养上，导致数学思想的研究逐渐体现在对不等式的探究中。从搜集和查阅的资料来看，国内外对于不等式的研究主要集中在教学内容中，大多数都是针对高中数学不等式中的重点内容来研究它们各自的解法思路，主要研究方面：不等式的性质、不等式的证明、不等式的求解、含参数不等式中参数的讨论。几何算术平均不等式的教学可以引导学生的思维,让学生自我发现并相互探讨,寻求例题的经典解法,直接或变形后运用几何算术平均不等式求解及其相关结果,会吸引学生我目光,激发大家的学习思维，并能自觉或不自觉地引导学生用联系和理解的方法学习数学,通过几何算术平均不等式的灵活多变的技巧学习,会让学生在领会知识方面具有一定的独立性,能够举一反三,触类旁通。这一良性循环,对学生今后的学习,对素质的培养,将具有深远的影响。总之,对几何算术平均不等式的学习研究,理解掌握和运用,对数学问题的解答,对实际生活和生产实际中应用数学问题的处理,对学生学习的能力和素质的培养,都具有极为重要的意义。1.3 本文的主要工作及内容本文通过查阅相关资料了解了几何算术平均不等式的基本理论与方法，完成此不等式的多种初等证明与推广，进行深入讨论根据此不等式的法则找出其在代数中的若干应用。2 几何算术平均不等式这一节简要介绍不等式的定义以及基本性质，几何算术平均不等式的定义以及其基本理论。2.1不等式的定义和性质用不等号可以将两个解析式连接起来所成的式子。在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子，那它就是一个不等式。例如2x+2y2xy，sinx1，ex0 ，2xx是超越不等式。其基本性质有：如果xy，那么yx；如果yy；（对称性） 如果xy，yz；那么xz；（传递性） 如果xy，而z为任意实数或整式，那么x+zy+z；（加法则） 如果xy，z0，那么xzyz；如果xy，z0，那么xzy，z0,那么xzyz;如果xy，z0,那么xzy，mn，那么x+my+n ；(充分不必要条件) 如果xy0，mn0，那么xmyn ；如果xy1，那么xnyn（n为正数）,1xy0,那么xnyn（n为正数）。2.2 几何算术平均不等式的定义(1)对于任意的n个数x1,x2,x3 xn，这n个数的算术平均值为。(2)若x1,x2,x3 xn是任意n个非负的实数，这n个数的几何平均值为 。(3)所谓的几何算术平均不等式是：;即若 x1,x2,x3 xn是任意n个非负的实数时，其算术平均值必大于或者等于其几何平均值，等号成立的条件为：。2.3 二元几何算术平均不等式的基本理论与研究人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书教学说明，如果a，b是非负数，那么，当且仅当a=b时取“=”号。即两个非负数的算术平均数不小于他们的几何平均数。这个不等式，我们通常把它称为均值不等式即二元几何算术平均不等式。对次不等式的深刻理解和掌握。弄清楚其运用条件，便能在解题中快速找到突破口，进而找到正确解决问题的方法。对二元几何算术平均不等式观察分析得到,若两个非负数的积为常数,当且仅当它们相等时,和有最小值;若两个非负数的和为常数,当且仅当它们相等时,积有最大值。此处便体现出了最值问题。经研究分析后,我们归纳出用二元几何算术平均不等式求最值问题的三个适用条件。条件一:在所求最值的代数式中,代数式中各数都为非负数;条件二:代数式中各数的和或积要为常数,以确保不等式的一端为定值;条件三:代数式中各数必须有相等的可能性。一个题目同时满足上述三个条件,或者经过转换成适合以上条件的,便可用二元几何平均不等式进行求解,这就帮助学生在解题时迅速找到了突破口,从而找到正确方法,快速简易地求最值。下面举出一些实例：例1，代数式的最小值是_ 解：=1=3 故的最小值是3。例2，若0x0,b0,a+b=1,求代数的最小值 解： = 则此代数的最小值为9。 例5，直线L过点Q（2,1），交X , Y轴正向于E, F 两点, 求L的方程,使三角形EOF 的面积最小。 解：设直线L的方程为:y-1=k(x-2),交点E（a,0）,交点F（0，b）（a0,b0） 由直线的性质可以得到斜率ky0，求的最小值 解：由结论得，则 ，当且仅当x=,y=时， 有最小值16。例10，若x + y + z =1,x,y,z都为非负数，求的最小值 解：由结论得； 则，= 当且仅当x=y=z=时，有最小值。例11，一段长为m的篱笆围成一个一边靠河的矩形果园，怎么调整果园的长，宽使果园的面积S最大，最大面积是多少？ 解：设矩形果园的长为x,则宽为，果园的面积：S=,等号成立的条件：当且仅当x=m-x,得x=,y=此时果园有最大面积。 二元几何算术平均不等式也可以帮我们解决日常生活中所碰到的实际问题，大多数的实际问题的数学模型都是在二元几何算术平均不等式的基础上建立的。 例1，小明是一名大二学生，十一国庆节回家，准备帮父亲收割庄稼，由于本季度粮食的大丰收，自家的粮仓已容纳不下，小明爸爸想利用家里的墙壁加一块长方形的木板围成一个直三棱柱将剩余的粮食存入其中，木板可以立着，也可以横着，如何摆放木板使得装的粮食多一些，小明爸爸将这个计算任务交给了小明，请问小明如何测算，才能给父亲提供最合理的建议？ 解：通过测量得到长方形木板的长为a，宽为b，根据题意可得ab0 (1)假设以a作为直棱柱的底边，设底面两个直角边为x、y，底面积的面积为 则，直三棱柱的体积，且； 由二元几何算术平均不等式得，有；当且仅当时，等号成立。(2)假设以b作为直棱柱的底边，底面积,直三棱柱的体积，且；同理可得；当且仅当时，等号成立。由得用a作为直三棱柱的底边时，直三棱柱的体积大一些。故，小明会向父亲提议用长方形木板的长边作为直三棱柱的底边，装的粮食会多一些。 例2，伴随着北京奥运会的成功举行，我国经济日益繁荣，某公司于2008成立了甲、乙两家分公司。2009年甲公司获得利润320 万元, 乙公司获得利润720 万元,以后每年甲公司获得利润为上年利润的 ,而乙公司获得利润是上年利润的 , 预期目标为两分公司利润之和是1600 万元. 从2009年初起, （1）哪一年两分公司获得利润之和最少？ （2）需要经过几年会达到某司的目标？ 解：（1）设2009年初起，两分公司第n年的利润之和为： 当且仅当n=2时，等号成立，则第2年即2010年两分公司的利润之和最少为960万元。 （2）根据题意可得不等式：将不等式化简得 设，可得通过解不等式我们得到，即通过5年可以达到某公司的目标。3 几何算术平均不等式的初等证明3.1 几何算术平均不等式的多种证明定理1 对任意x、y0，成立x2+y22xy,且等号成立当且仅当x=y.证明：直接利用因式分解法，有x2+y2-2xy=(x-y)20,则成立x2+y22xy，且等号成立当且仅当x=y.定理2 对任意x、y、z0,成立x3+y3+z33xyz,且等号成立当且仅当x=y=z.证明：利用因式分解法，有 则，成立x3+y3+z33xyz，等号成立当且仅当x=y=z.根据定理1，定理2，我们得出如下推论：推论1 对任意x1、x20,成立，等号成立当且仅当x1=x2.推论2 对任意x1、x2、x30，成立，等号成立当且仅当x1=x2=x3.推论1,2在初等数学求极值、极限、最值中起到了很大的作用。根据以上定理和推论我们猜想n元几何算术平均不等式：对任意n（n2）个非负实数x1、x2、x3、xn，成立，等号成立当且仅当.证明：方法1（利用二项式定理） 已知有k+1(k为正整数)个非负实数x1,x2,x3,xk+1，不妨设xk+1是这k+1个非负实数中最大的数，我们记x1,x2,x3,xk 的算术平均值为M=，则有，=kM，利用二项式定理，得： 我们只需证得，即，转换得，根据数学归纳法（1） n=2时，不等式成立；（2） 假设n=k时成立，则根据以上的二项式定理可证得，即当n=k+1时，不等式成立。 故猜想的n元几何算术平均不等式成立。 证明：方法2（泰勒公式）构造函数f(x)= (0a0)在其定义域上处处可导，对其进行一阶二阶求导得，0,我们将f(x)在点x0出展开，有=,其误差为 ，根据0,我们得到：，我们不妨取，根据泰勒公式 进一步转换得 即，将上式代入函数中得即，则 根据函数的单调性，我们得到：（xi0,i=1,2,n）.即不等式得证。 证明：方法3（函数凹凸性） 构造函数f(x)= (a1,x0)在其定义域内处处可导，对其进行一阶二阶求导得 ，0,i=1,2,n）. 几何算术平均不等式得证。3.2 几何算术平均不等式的推广几何算术平均不等式在不等式理论中处于核心地位,是现代分析数学中应用最广泛的不等式之一.巧妙地应用此不等式在求最值,比较大小,证明不等式等各方面都比较实用.几何算术平均不等式的推广是几何算术平均不等式的延伸,也是解题的重要依据之一。引理：（Jensen不等式）若函数f在区间I上存在二阶导数，且，有0，则有，（xiI qi0,i=1,2,n）且=1，等号成立当且仅当x1=q1,x2=q2,xn=qn；若0时，。由于引理以及几何平均不等式我们有如下结论：有a1,a2,an(ai0,i=1,2,3,n),，则有： （1） 等号成立当且仅当； （2） 等号成立当且仅当； 证明：设f（x）lnx，x（0，+）,则= 0,(i=1,2,3,n),利用Jensen不等式得 =由函数f的单调性可知，由Jensen不等式取等号的条件得（1）式取等号的条件成立。由，ai0(i=1,2,3,n),运用Jensen不等式得， ，则有 由Jensen不等式取等号的条件得（2）式取等号的条件成立。当时，得到，即几何算术平均不等式。4 几何算术平均不等式在代数中的应用 几何算术平均不等式的应用很广泛，本文主要针对其在高等数学中的应用进行分析与研究。4.1 几何算术平均不等式在极限领域的应用 在高等数学中，有很多的概念都是以极限的形式来定义的，极限概念属于高等数学的重要概念，是学好高等数学必备基础。高等数学中的极限主要分为数列极限和函数极限两个方面，数列极限的特性是“随着n的无限增大，数列an无限地接近某一常数a”，这就是说，当n充分大时，数列的通项an与常数a之差的绝对值可以任意的小；函数极限是指类似于数列极限的情况，我们研究当自变量x趋于正无穷大时，对应的函数值能否无限地接近去某个定数A，例如，对于函数f（x）=arctan x ,当x趋于正无穷大时，函数值无限地接近于，我们称函数f（x）当x趋于无穷大时有极限。我们通常利用不等式来刻画出极限的概念，这就决定了不等式运算是高等数学中的基本运算，而作为几何算术平均不等式，在解决高等数学的极限问题中发挥了重要作用。4.1.1 证明极限定理例： 证明重要极限的存在性。证明1：（1）（数列的单调性）令x1=x2=xn=1+,xn+1=1，根据几何算术平均不等式得到，即，所以数列单调递增。 （2）（数列的有界性） 令为数列的上界，即也满足当nk时，令，由几何算术平均不等式得， ，由于，则 即得出当nk时，数列存在上界，由数列是单调递增的，当na0,对任一正整数n有 ，整理后得不等式 （1）以代入（1）式，由于 ，故有 这就证明了数列为递增数列。 再以代入（1）式，得 ，故有 。上式对一切正整数n都成立，即对一切偶数n有，由于该数列的单调性，可知对一切正整数n都有，即数列有上界，根据单调有界定理推知数列是收敛的，即它的极限存在。4.1.2 求解极限问题 例1 求极限解：利用几何算术平均不等式 由， 则得，=1. 例2，设求 解：利用几何算术平均不等式 由 数列单调递减且有下界，根据单调有界定理，得=4.2 几何算术平均不等式在积分领域的应用 几何算术平均不等式在高等数学中的应用非常广泛，其中在积分领域的中对于不定积分，定积分，反常积分，含参量积分，曲线积分，重积分，曲面积分的求解和积分定理证明有重要作用。例如用来证明牛顿莱布尼茨公式，泰勒公式，柯西定理，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法，随着这些定理，推论以及判别法的证明，对于我们求解积分问题提供了良好的工具。伴随着欧拉积分，曲面积分，重积分定理的证明，微积分的发展从一维，二维逐渐向多维进行探讨。 证明：若函数方程组在a，b (0ab)上可积的,则 证明：利用几何算术平均不等式，有即 原不等式得证。4.3 几何算术平均不等式在数列领域的应用 在研究高等数学中的数列时，时常会研究其收敛性，其中关于数列收敛性有一个定理：单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限。根据这一定理我们得出两个推论：（1） 在实数系中，递增有上界的数列有极限。（2） 在实数系中，递减有下界的数列有极限。 下面就举个例子说明： 证明数列收敛证明：（一）数列的单调性 由，我们猜想数列是单调递增数列，只需证明根据几何算术平均不等式得， 则，猜想得到证明，即数列是单调递增数列。（二）有界性 由， 因为，则对一切偶数成立，由于数列是单调递增的，则对一切正整数，有，则数列是有上界的。根据单调有界定理得到：数列收敛。5 结论与展望 本文通过从二元几何算术平均不等式的举例应用针对于初等数学进行探讨，利用二元几何算术平均不等式求解初等数学中碰到的求最值，求极值并完成了此不等式在初等数学中不等式的证明，根据此不等式得出的推论我们能更加方便的求解不等式问题，日常生活中所碰到的实际问题也可以用此不等式解决，这无疑加深了我们对此不等式的研究。由算术平均值与几何平均值，我们引出了二元，三元几何算术平均不等式，对n元几何算术平均不等式进行了猜想。 本文对n元几何算术平均不等式的初等证明分别采用了二项式定理，泰勒公式，函数凹凸性三种方法。其中方法一是在二项式定理将多项式进行展开的基础上利用数学归纳法结合证明了猜想；方法二是利用泰勒公式在某一点处构造一个n次多项式用来无限逼近于原函数，与函数的单调性结合证明猜想；方法三是根据函数的凹凸性，利用函数凹凸性定理以及函数的单调性结合证明猜想。同时本文还对几何算术平均不等式进行了一定的推广证明其他重要的不等式。 本文主要研究了几何算术平均不等式在极限领域，积分领域，数列领域的应用，其中在极限领域主要列举了极限存在性的证明，极限的求解；在积分领域主要列举了积分不等式的证明；在数列领域主要针对于数列收敛性的证明。 通过对几何算术平均不等式的研究学习，我们发现不等式的运用正在应用到各行各业，这促进我们要对几何算术平均不等式进行更加深入的研究，让一系列的不等式证明迎刃而解。参考文献1. 邢家省;张愿章;陶鹏飞;几何算术平均不等式的初等证明与应用J;河南科学;2007年03期2. 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法 M . 北京： 高等教育出版社， 20023. 匡继昌. 常用不等式 M . 长沙： 湖南教育出版社， 19894. 费定晖， 周学圣. 吉米多维奇数学分析习题集题解 （一） M . 济南： 山东科学技术出版社， 19805. 陈侃，算术平均不等式的证明. 安徽科学；20086. 黄东兰，算术几何平局不等式的证明. 福建，20077. 张海涛，几个重要不等式. 大同 ，20058. 华东师范大学数学系，数学分析，高等教育出版社上册. 20019. 华东师范大学数学系，数学分析，高等教育出版社下册. 200110. 冉凯，均值不等式在数学分析中的应用 J.青海师专学报，1997（ ） ：35-3811. 张志华，几个正数的算术-指数-对数-几何平均不等式M.长沙：湖南教育出版社，199212. 陈复华.均值不等式在微积分中的应用及其它 J.湖北民族学院学报（自然科学版），199413. 刘鸿雁.由Jensen不等式导出某些重要不等式J.成都大学学报,2003（22、4）：32-3514. 黄清明，张江玲，张更容.一类不等式的研究J.广西大学学