高考数学一轮复习 第七篇 立体几何与空间向量 第5节 直线、平面垂直的判定与性质课件 理 新人教版.ppt

第5节直线 平面垂直的判定与性质 1 以立体几何的定义 公理和定理为出发点 认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理 知识梳理自测 考点专项突破 解题规范夯实 知识梳理自测把散落的知识连起来 教材导读 1 直线l与平面 内无数条直线垂直 则直线l 吗 提示 不一定 当这无数条直线相互平行时 l与 不一定垂直 2 若平面 内有一条直线垂直于平面 则 吗 提示 垂直 3 若 则 内任意直线都与 垂直吗 提示 不一定 平面 内只有垂直于交线的直线才与 垂直 知识梳理 1 直线与平面垂直 1 直线和平面垂直的定义直线l与平面 内的直线都垂直 就说直线l与平面 互相垂直 任意一条 两条相交直线 2 直线与平面垂直的判定定理及性质定理 平行 2 直线与平面所成的角 1 定义平面的一条斜线和它在平面上的所成的 叫做这条直线和这个平面所成的角 如图 就是斜线ap与平面 所成的角 2 线面角 的范围是 射影 锐角 pao 3 二面角 平面与平面垂直 1 二面角 二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面 如图 记作 二面角 l 或二面角 ab 或二面角p ab q 二面角的平面角 在二面角 l 的棱l上任取一点o 以点o为垂足 在半平面 和 内分别作垂直于棱l的射线oa和ob 则射线oa和ob构成的 aob叫做二面角的平面角 2 平面与平面的垂直 定义 一般地 两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 直二面角 垂线 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 交线 重要结论 1 若两平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面 2 若两条直线同垂直于一个平面 那么这两条直线平行 3 若一条直线和两个不重合的平面都垂直 那么这两个平面平行 双基自测 1 如果直线l m与平面 满足 l l m 和m 那么必有 a 且m b 且l m c m 且l m d 且 b 解析 由m m 以及面面垂直的判定定理可得 由l 可得l 又m 所以m l 综上 故选b 2 2017 安徽宣城第二次调研 已知m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 给出下列四个命题 错误的命题是 a 若m m n 则m n b 若 m n 则m n c 若 m 则m d 若 m 则m 解析 a 由m m n 可得m n 正确 b 由 m n 可得m n 正确 c 由 m 可得m 正确 d 由 m 则m 或m 因此不正确 故选d d 3 2016 甘肃张掖模拟 在三棱柱abc a1b1c1中 各棱长相等 侧棱垂直于底面 点d是侧面bb1c1c的中心 则ad与平面bb1c1c所成角的大小是 a 30 b 45 c 60 d 90 c 4 2016 武昌调研 给出下列四个命题 如果平面 平面 那么平面 内一定存在直线平行于平面 如果平面 不垂直于平面 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 如果平面 平面 平面 平面 l 那么l 平面 如果平面 平面 那么平面 内所有直线都垂直于平面 其中错误的命题是 写出所有错误命题的序号 解析 借助正方体很容易判断出 是正确的 只有 是错误的 答案 5 2016 滨州邹平一中阶段 如图 二面角 l 的大小是60 线段ab b l ab与l所成的角为30 则ab与平面 所成的角的正弦值是 考点专项突破在讲练中理解知识 考点一 直线与平面垂直的判定与性质 例1 导学号38486148 2017 陕西师范大学附属中学二模 如图 ac是圆o的直径 点b在圆o上 bac 30 bm ac交ac于点m ea 平面abc fc ea ac 4 ea 3 fc 1 1 证明 em bf 1 证明 因为ea 平面abc bm 平面abc 所以ea bm 又因为bm ac ea ac a 所以bm 平面acfe em 平面acfe 所以bm em 因为ac是圆o的直径 所以 abc 90 又因为 bac 30 ac 4 所以ab 2 bc 2 am 3 cm 1 因为ea 平面abc fc ea fc 1 所以fc 平面abc eam与 fcm都是等腰直角三角形 所以 ema fmc 45 所以 emf 90 即em mf 因为mf bm m 所以em 平面mbf 又bf 平面mbf 所以em bf 2 求三棱锥e bmf的体积 反思归纳 1 证明线线垂直的常用方法 利用特殊图形中的垂直关系 利用等腰三角形底边中线的性质 利用勾股定理的逆定理 利用直线与平面垂直的性质 2 证明线面垂直的常用方法 利用线面垂直的判定定理 利用 两平行线中的一条与平面垂直 则另一条也与这个平面垂直 利用 一条直线垂直于两个平行平面中的一个 则与另一个也垂直 利用面面垂直的性质定理 跟踪训练1 2017 安徽合肥第一次质检 已知四棱锥p abcd的底面abcd为菱形 且pa 底面abcd abc 60 点e f分别为bc pd的中点 pa ab 2 1 证明 ae 平面pad 1 证明 由pa 底面abcd得pa ae 底面abcd为菱形 abc 60 得 abc为等边三角形 又因为e为bc的中点 得ae bc 因为bc ad 所以ae ad 因为pa ad a 所以ae 平面pad 2 求多面体p aecf的体积 考点二 平面与平面垂直的判定和性质 考查角度1 面面垂直的判定 例2 导学号38486149 2017 广东汕头三模 如图 在多面体abcde中 abde是平行四边形 ab ac ad两两垂直 1 求证 平面acd 平面ecd 1 证明 因为ab ac ab ad ac ad a 所以ab 平面acd 因为abde是平行四边形 所以ab de 所以de 平面acd 因为de 平面cde 所以平面acd 平面ecd 反思归纳面面垂直判定的两种方法与一个转化 1 两种方法 面面垂直的定义 面面垂直的判定定理 a a 2 一个转化 在已知两个平面垂直时 一般要用性质定理进行转化 在一个平面内作交线的垂线 转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 反思归纳面面垂直性质的应用 1 两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据 运用时要注意 平面内的直线 2 两个相交平面同时垂直于第三个平面 它们的交线也垂直于第三个平面 考点三 线面角与二面角的求法 反思归纳空间线面角 二面角的求法 1 线面角的求法 作出垂线 确定垂足 找出斜线在平面上的射影 2 二面角的求法 直接法 根据概念直接作 如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边 就可以取棱的中点 垂面法 过二面角棱上一点作棱的垂面 则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角 垂线法 过二面角的一个半平面内一点a 作另一个半平面的垂线 垂足为b 再从垂足b向二面角的棱作垂线 垂足为c 连接ac 则 acb就是二面角的平面角或其补角 备选例题 例1 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是矩形 pa 平面abcd pa ad 2 ab 1 bm pd于点m 1 求证 am pd 1 证明 因为pa 平面abcd ab 平面abcd 所以pa ab 因为ab ad ad pa a ad 平面pad pa 平面pad 所以ab 平面pad 因为pd 平面pad 所以ab pd 因为bm pd ab bm b ab 平面abm bm 平面abm 所以pd 平面abm 因为am 平面abm 所以am pd 2 求直线cd与平面acm所成角的余弦值 1 证明 由题意 知sa ab 又sa ad ab ad a 所