高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 文.ppt

第三节空间点 直线 平面之间的位置关系 总纲目录 教材研读 1 四个公理 考点突破 2 空间中两直线的位置关系 3 有关角的重要定理 考点二空间两直线的位置关系 考点一平面的基本性质 考点三异面直线所成的角 4 空间直线与平面 平面与平面的位置关系 1 四个公理公理1 如果一条直线上的 两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在此平面内 公理2 过 不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 公理2的三个推论 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面 推论2 两条 相交直线确定一个平面 教材研读 推论3 两条 平行直线确定一个平面 公理3 如果两个不重合的平面有 一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理4 平行于同一条直线的两条直线 平行 2 空间中两直线的位置关系 1 位置关系的分类 2 异面直线所成的角 i 定义 设a b是两条异面直线 经过空间任意一点o作直线a a b b 把a 与b 所成的 锐角 或直角 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 ii 范围 3 有关角的重要定理空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 4 空间直线与平面 平面与平面的位置关系 1 直线与平面的位置关系有相交 平行 直线在平面内三种情况 2 平面与平面的位置关系有平行 相交两种情况 1 下列命题正确的是 a 经过三点确定一个平面b 经过一条直线和一个点确定一个平面c 四边形确定一个平面d 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 答案da选项考查公理2 即三点必须不在同一条直线上 才能确定平面 b选项如果点在直线上 则该直线和这个点不能确定平面 c选项中的四边形有可能是空间四边形 只有d是正确的 d 2 以下四个命题中 正确命题的个数是 不共面的四点中 其中任意三点不共线 若点a b c d共面 点a b c e共面 则a b c d e共面 若直线a b共面 直线a c共面 则直线b c共面 依次首尾相接的四条线段必共面 a 0b 1c 2d 3 b 答案b 显然是正确的 可用反证法证明 中若a b c三点共线 则a b c d e五点不一定共面 构造长方体或正方体 如图 显然b c异面 故不正确 中空间四边形中四条线段不共面 故只有 正确 3 已知空间四边形的两条对角线相互垂直 顺次连接四边中点的四边形一定是 a 空间四边形b 矩形c 菱形d 正方形 b 答案b如图所示 易证四边形efgh为平行四边形 因为e f分别为ab bc的中点 所以ef ac 同理 fg bd 所以 efg或其补角为ac与bd所成的角 而ac与bd所成的角为90 所以 efg 90 故四边形efgh为矩形 4 下图是正方体或四面体 p q r s分别是所在棱的中点 则这四个点不共面的一个图是 d 答案da b c图中ps qr 所以四点一定共面 d中四点不共面 5 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab ad的中点 则异面直线b1c与ef所成的角的大小为 60 答案60 解析连接b1d1 d1c 因为b1d1 ef 所以 d1b1c 或其补角 为所求角 又b1d1 b1c d1c 所以 d1b1c 60 典例1如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab和aa1的中点 求证 e c d1 f四点共面 考点一平面的基本性质 考点突破 探究本例条件不变 如何证明 ce d1f da交于一点 证明由本例知ef cd1 且ef cd1 四边形cd1fe是梯形 ce与d1f必相交 设交点为p 则p ce 且p d1f 又ce 平面abcd d1f 平面a1add1 p 平面abcd 且p 平面a1add1 又平面abcd 平面a1add1 直线ad p ad ce d1f da三线共点 方法技巧共点 共线 共面问题的证明方法 1 证明点共线的问题 公理法 先找出两个平面 然后证明这些点都是这两个平面的公共点 再根据基本公理3证明这些点都在交线上 同一法 选择其中两点确定一条直线 然后证明其余点也在该直线上 2 证明线共点的问题 先证明两条直线交于一点 再证明第三条直线经过该点 3 证明点 直线共面的问题 纳入平面法 先确定一个平面 再证明有关点 线在此平面内 辅助平面法 先证明有关的点 线确定平面 再证明其余元素确定平面 最后证明平面 重合 1 1 2018河北石家庄质检 已知空间四边形abcd 如图所示 e f分别是ab ad的中点 g h分别是bc cd上的点 且cg bc ch dc 求证 1 e f g h四点共面 2 三直线fh eg ac共点 证明 1 连接ef gh e f分别是ab ad的中点 ef bd 又 cg bc ch dc gh bd ef gh e f g h四点共面 2 易知fh与直线ac不平行 但共面 设fh ac m m 平面efhg m 平面abc 又 平面efhg 平面abc eg m eg fh eg ac共点 典例2 1 下图是正四面体的平面展开图 g h m n分别为de be ef ec的中点 在原正四面体中 gh与ef平行 bd与mn为异面直线 gh与mn成60 角 de与mn垂直 以上四个命题中 正确命题的序号是 考点二空间两直线的位置关系 2 在图中 g n m h分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点 则表示直线gh mn是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 答案 1 2 解析 1 把正四面体的平面展开图还原 如图所示 gh与ef为异面直线 bd与mn为异面直线 连接gm 易知 ghm为正三角形 则gh与mn成60 角 易知mn af 且af de 则de mn 2 图 中 直线gh mn 图 中 g h n三点共面 但m 平面ghn 因此直线gh与mn异面 图 中 连接mg gm hn 因此gh与mn共面 图 中 g m n三点共面 但h 平面gmn 因此gh与mn异面 所以在图 中 gh与mn异面 方法指导空间中两直线的位置关系的判定 主要是异面 平行和垂直的判定 对于异面直线 可采用直接法或反证法 对于平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质 平行公理及线面平行与面面平行的性质定理 对于垂直关系 往往利用线面垂直的性质来解决 2 1若直线l1和l2是异面直线 l1在平面 内 l2在平面 内 l是平面 与平面 的交线 则下列命题正确的是 a l与l1 l2都不相交b l与l1 l2都相交c l至多与l1 l2中的一条相交d l至少与l1 l2中的一条相交 d 答案d解法一 如图1 l1与l2是异面直线 l1与l平行 l2与l相交 故a b不正确 如图2 l1与l2是异面直线 l1 l2都与l相交 故c不正确 选d 解法二 因为l分别与l1 l2共面 故l与l1 l2要么都不相交 要么至少与l1 l2中的一条相交 若l与l1 l2都不相交 则l l1 l l2 从而l1 l2 与l1 l2是异面直线矛盾 故l至少与l1 l2中的一条相交 选d 2 2下图是一个正方体表面的一种展开图 图中的四条线段ab cd ef和gh在原正方体中相互异面的有对 3 答案3 解析平面图形的折叠应注意折前折后各元素相对位置的变化 画出图形即可判断 相互异面的线段有ab与cd ef与gh ab与gh 共3对 典例3如图 四边形abcd和adpq均为正方形 它们所在的平面互相垂直 则异面直线ap与bd所成的角为 考点三异面直线所成的角 答案 解析如图 将原图补为正方体abcd qghp 连接gp 则gp bd 所以 apg为异面直线ap与bd所成的角 在 agp中 ag gp ap 所以 apg 探究在本例条件下 若e f m分别是ab bc pq的中点 异面直线em与af所成的角为 求cos 的值 解析设n为bf的中点 连接en mn 方法指导用平移法求异面直线所成的角的三步法 1 一作 即据定义作平行线 作出异面直线所成的角 或其补角 2 二证 即证明作出的角 或其补角 是异面直线所成的角 3 三求 解三角形 求出作出的角 如果求出的角是锐角或直角 则它就是要求的角 如果求出的角是钝角 则它的补角才是要求的角 3 1 2016课标全国 11 5分 平面 过正方体abcd a1b1c1d1的顶点a 平面cb1d1 平面abcd m 平面abb1a1 n 则m n所成角的正弦值为 a b c d a 答案a 解析如图 过点a补作一个与正方体abcd a1b1c1d1相同棱长的正方体 易知平面 为平面af1e 则m n所成角为 eaf1 因为 eaf1为正三角形 所以sin eaf1 sin60 故选a 3 2空间四边形abcd中 ab cd且ab与cd所成的角为30 e f分别为bc ad的中点 求ef与ab所成角的大小 解析取