奇妙的杨辉三角.doc

杨辉三角目 录什么是杨辉三角？2性质2介绍2历史2杨辉三角历史3历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家3杨辉三角前12行4C语言输出杨辉三角4直角三角形杨辉三角5使用数组打印金字塔型杨辉三角5不用数组输出金字塔形杨辉三角6把杨辉三角的前15行保存在文本文件中6一个数在杨辉三角出现的次数7什么是杨辉三角？如下图所示是一个十五阶的杨辉三角：性质1、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。 2、第n行的数字个数为n个。 3、第n行数字和为2(n1)。 4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个帕斯卡三角形。 5、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+2行第5个数连成一线，这些数的和是第2n个斐波那契数。将第2n行第2个数，跟第2n+1行第4个数、第2n+2行第6个数这些数之和是第2n-1个斐波那契数。 6、第n行的第1个数为1，第二个数为1(n-1)，第三个数为1(n-1)（n-2）/2，第四个数为1(n-1)（n-2）/2（n-3）/3依此类推。 介绍杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。 其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而贾宪三角的发现就是十分精彩的一页。 历史杨辉三角历史北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。 13世纪中国宋代数学家杨辉在详解九章算术里讨论这种形式的数表，并说明此表引自11世纪前半贾宪的释锁算术，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。 元朝数学家朱世杰在四元玉鉴（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。 意大利人称之为“塔塔利亚三角形”（Triangolo di Tartaglia）以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。 在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。 布莱士帕斯卡的著作Trait du triangle arithmtique（1655年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亚伯拉罕棣美弗（1730年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。 历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家贾宪 中国北宋 11世纪 释锁算术 杨辉 中国南宋 1261详解九章算法记载之功 朱世杰 中国元代 1299四元玉鉴级数求和公式 阿尔卡西 阿拉伯 1427算术的钥匙 阿皮亚纳斯 德国 1527 施蒂费尔 德国 1544综合算术二项式展开式系数 薛贝尔 法国 1545 B帕斯卡 法国 1654论算术三角形 杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，它是研究杨辉三角其他规律的基础。杨辉三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。组合关系以及不同横行数字之间的联系。 杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他1261年所著的详解九章算法一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。 同时，这也是多项式(a+b)n 打开括号后的各个项的二次项系数的规律。 因此，杨辉三角第x层第y项直接就是（y nCr x）。我们也不难得到，第x层的所有项的总和为2(x-1) (即(a+b)x中a,b都为1的时候) 。上述yx 指y的x次方，(a nCr b) 指组合数。 而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是要找规律。 简单的说，就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（x+y）的平方=x的平方+2xy+y的平方，这样系数就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行，立方，四次方，运算的结果看看各项的系数，你就明白其中的道理了。 这就是杨辉三角，也叫贾宪三角，在外国被称为帕斯卡三角。 他于我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。如图，在贾宪三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式（在此就不做说明了）依次下去， 杨辉三角前12行第 1 行： 1 第 2 行： 1 1 第 3 行： 1 2 1 第 4 行： 1 3 3 1 第 5 行： 1 4 6 4 1 第 6 行： 1 5 10 10 5 1 第 7 行： 1 6 15 20 15 6 1 第 8 行： 1 7 21 35 35 21 7 1 第 9 行： 1 8 28 56 70 56 28 8 1 第 10 行： 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 第 11 行： 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 第 12 行： 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 常用公式：（a²+b²）=a²+2ab+b² 根据杨辉三角 可得 （a³+b³）=a³+3a²b+3ab²+b 以此类推 分别将a降幂 b升幂 例如： ，它的两项的系数是1和1； ，它的三项系数依次是1、2、1； ，它的四项系数依次1、3、3、1。 C语言输出杨辉三角直角三角形杨辉三角#include #define M 10 void main() int aMM, i , j ; for(i=0;iM;i+) for(j=0;j=i;j+) if(i=j|j=0) aij=1; else aij=ai-1j+ai-1j-1; printf(%5d,aij); if(i=j)printf(n); 使用数组打印金字塔型杨辉三角#include void main() int a1010,i,j; for(i=0;i=i;j-) printf(%2c, );/*两个空格*/ for(j=0;j=i;j+) if(i=j|j=0) aij=1; else aij=ai-1j+ai-1j-1; printf(%3d ,aij); /*%3d后一个空格*/ if(i=j) printf(n); 不用数组输出金字塔形杨辉三角#include #define N 10 void main() unsigned int i,j,k; unsigned int b,c; for(i=0;ii;j-) printf( ); for(j=0;j=1) for(k=i-j+1;k=i;k+) b*=k; for(k=1;k=j;k+) c*=k; printf(%4d,b/c); printf(n); 注解： 在打印杨辉三角时通常用到杨辉三角的两个性质。 第一个就是杨辉三角中除了最外层（不包括杨辉三角底边）的数为1外，其余的数都是它肩上两个数之和。用数组输出杨辉三角就用这个性质。 第二个性质是杨辉三角的第n行恰好是C(n,0)C(n,n)。这里的C表示组合。不用数组输出杨辉三角就用这个性质。 把杨辉三角的前15行保存在文本文件中#include #include #define M 15 void main() FILE *out; if(out=fopen(D:text_1.txt,w)=NULL) printf(Error!n); exit(0); int aMM,i,j; for(i=0;iM;i+) for(j=0;j=i;j+) if(i=j|j=0) aij=1; else aij=ai-1j+ai-1j-1; fprintf(out,%5d,aij); if(i=j) fputc(n,out); fclose(out); 一个数在杨辉三角出现的次数由1开始，正整数在杨辉三角形出现的次数为：1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, . （OEIS:A003016）。最小而又大于1的数在贾宪三角形至少出现n次的数为2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, . （OEIS:A062527） 除了1之外，所有正整数都出现