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模块二 导数【知识网络】21 导数的概念、公式及其运算法则【考点透视】一、考纲指要1了解导数概念的实际背景，了解曲线的切线、运动物体的瞬时速度等。2理解导数的几何意义，掌握函数在某点的导数的意义就是函数图象在该点的切线的斜率。3掌握函数 y =xn(xN+)的导数公式，会求多项式函数的导数。4熟练掌握导数的运算法则，尤其是和、差、常数与函数的积的导数的运算法则。二、命题落点1导数概念的实际背景：瞬时速度是平均速度当趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率当趋近于0时的极限；边际成本是平均成本当趋近于0时的极限.如例12利用导数的几何、物理意义，求切线的斜率（导数方法可用于研究平面曲线的切线）、即时速度、加速度，如例2，例3【典例精析】例1：求双曲线与抛物线在交点处的切线的夹角 解析：按定义直接求出。先求出两曲线的交点，再分别对两个函数求导，得出两个函数在交点处的斜率，进而用夹角公式求夹角由对，对， ， ，即设夹角为，则 例2：（2002天津文）已知a0，函数f（x）=x3a，x0，+）.设x10，记曲线y=f（x）在点M（x1，f（x1）处的切线为l.（1）求l的方程；（2）设l与x轴交点为（x2，0）.证明：（i）x2a；（ii）若x1a，则ax2x1.解析：利用导数的几何意义，求切线的斜率（1）求f（x）的导数，得f（x）=3x2，由此知切线l的方程为：y（x13a）=3x12（xx1）.（2）依题意，切线方程中令y=0，x2=x1，（i）0，x2a，当且仅当x1=a时等号成立.（ii）若x1a，则x13a0，x2x1=0，且由（i）x2a，所以ax2x1.例3：（2004湖南）如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m0)作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点（1）设点P分有向线段所成的比为，证明:（2）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.解析：本题主要考查导数的概念和相关的解几知识。（1）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程，得 设A、B两点的坐标分别是 、x2是方程的两根.所以 由点P（0，m）分有向线段所成的比为，得又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，m），从而. 所以 （2）由 得点A、B的坐标分别是（6，9）、（4，4）.由 得 所以抛物线 在点A处切线的斜率为设圆C的方程是则解之，得 所以圆C的方程是 即 【常见误区】1对“变与不变”、“曲与直”、“局部与整体”、“近似与精确”、“有限与无限”等对立统一关系认识不清2不能正确理解导数的几何意义。函数在某点的导数的意义就是函数图象在该点的切线的斜率应用不够熟练。【基础演练】1( 2005浙江)函数yax21的图象与直线yx相切，则a（ ）A B C D12（2005湖北）在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）A3B2C1D03（2004湖南卷）设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且则不等式的解集是（ ）ABCD4函数在处的导数是指（ ） AB CD5已知曲线则在曲线上 点处的切线与直线垂直.6（2004湖北）某日中午12时整，甲船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距间对时间的变化率是 km/h. 7求曲线在点处切线的方程，及其与轴，轴所围成的平面图形的面积8若三次抛物线与轴相切，试证明：9（2004广东）设函数 （1）证明：当且时，； （2）点（0x01）在曲线上，求曲线上在点处的切线与轴，轴正向所围成的三角形面积的表达式（用表示）22 导数的应用（一）【考点透视】一、考纲指要1理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数判断函数的单调性，求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。 2会利用导数求最大值和最小值的方法，解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题3会用导数的方法分析和研究函数的性质问题，进一步能解决与解析几何、不等式有关的一些综合问题二、命题落点1高考考查的热点集中在求导法则以及导数在函数研究上的应用2函数的单调性是函数一条重要性质利用导数与函数的单调性的关系，研究函数的性质（比初等方法精确细微）是高考的重点，如例3、例43关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便，如例1和例2【典例精析】例1：（2005福建）已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（1，f（1）处的切线方程为. （1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间.解析：应用导数知识及函数思想方法，解决函数的单调性问题。函数在点处的导数的几何意义，就是在点处的切线的斜率。（1）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以由在处的切线方程是，知故所求的解析式是 （2）解得 当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数.一般地，设函数在某区间内可导，则当时，为增函数，当时，为减函数，若在某区间内，恒有，则为常数例2：（2005湖南）设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（1）用表示a，b，c；（2）若函数在（1，3）上单调递减，求的取值范围.解析：函数在点处的导数的几何意义，就是在点处的切线的斜率，即曲线在点处的切线的斜率为（1）因为函数，的图象都过点（，0），所以， 即.因为所以.又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以而将代入上式得 因此故，（2）.当时，函数单调递减.由，若；若由题意，函数在（1，3）上单调递减，则所以又当时，函数在（1，3）上单调递减.所以的取值范围为例3：（2004湖北）已知的图象相切.（1）求b与c的关系式（用c表示b）；（2）设函数内有极值点，求c的取值范围.解析：本小题考查导数、切线、极值等知识及综合运用数学知识解决问题的能力。（1）依题意，令（2）xx0（+0+于是不是函数的极值点.的变化如下：xx1（+00+由此，的极小值点.综上所述，当且仅当【常见误区】1我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性：（1）与为增函数的关系能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，是为增函数的充分不必要条件（2）时，与为增函数的关系若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。当时，是为增函数的充分必要条件（3）与为增函数的关系为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。是为增函数的必要不充分条件我们一定要把握好以上三个关系，为解决单调区间的端点问题，一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理2函数f(x)在区间a,b上的最大值为极大值和f(a)、f(b)中最大的一个，最小值为极小值和f(a)、f(b)中最小的一个。注意：极值最值3判断极值，需结合函数的单调性说明f/(x0)0不能得到当x=x0时，函数有极值。但是，当x=x0时，函数有极值 f/(x0)0【基础演练】-22O1-1-111（2005江西）已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是（ ）O-221-1-212O-2-221-112O-241-1-212O-22-124ABCD2(2005广东)函数是减函数的区间为（ ）ABCD3（04湖北）函数有极值的充要条件是（ ）ABCD 4（2005全国）函数，已知在时取得极值，则的值为（ ）A2B3C4D55已知在点处有极小值，则 ， 6设函数，则函数的最小值为 7（2004天津）已知函数在处取得极值 （1）讨论和是函数的极大值还是极小值； （2）过点作曲线的切线，求此切线方程OtxyDBAC1C2B 8（2004湖南）如图，已知曲线C1：y=x3(x0)与曲线C2:y=2x3+3x(x0)交于O，A,直线x=t(0t1)与曲线C1,C2分别交于B，D.（1）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t);（2）讨论f(t)的单调性，并求f(t) 的最大值.9（2004湖北文）已知a为实数，（1）求导数；（2）若，求在-2，2 上的最大值和最小值；（3）若在（，2）和2，+上都是递增的，求a的取值范围.23 导数的应用（二）【考点透视】一、考纲指要1利用导数求最值的方法，解决一些实际问题2用导数的方法研究函数的性质，解决与解析几何、不等式有关的一些综合问题二、命题落点1导数在解决实际问题中的应用（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便），如例12导数与向量、解析几何、不等式或函数图象的混合问题，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意，如例2、例3【典例精析】例1：（2005全国）用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解析：本题考查建立函数关系、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决实际问题能力.设容器的高为x，容器的体积为V，则V=（90-2x）（48-2x）x=4x3-276x2+4320x，(0x24)V=12x2-552x+4320由V=12x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36x0,当10x36时，V36时，V0,所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960 又V(0)=0,V(24)=0, 所以当x=10,V有最大值V(10)=1960例2：（2004广东）已知f(x)=在区间1，1上是增函数.（1）求实数a的值组成的集合A；（2）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1，1恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.解析：本题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.（1）f(x)=4+2f(x)在1，1上是增函数，f(x)0对x1，1恒成立，即x2ax20对x1，1恒成立. 设(x)=x2ax2，方法一：1a1，对x1，1，只有当a=1时，f(-1)=0以及当a=1时，f(1)=0A=a|1a1.方法二：或0a1，或1a0x1，x2是方程x2ax2=0的两非零实根，x1+x2=a，x1x2=2，从而|x1x2|=.1a1，|x1-x2|=3.要使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1，1恒成立，当且仅当m2+tm+13对任意t1，1恒成立，即m2+tm20对任意t1，1恒成立. 设g(t)=m2+tm2=mt+(m22)，方法一：g(1)=m2m20且g(1)=m2+m20，m2或m2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或m2.方法二：当m=0时，显然不成立；当m0时，m0，g(1)=m2m20，或m0，g(1)=m2+m20m2或m2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t-1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或m2.例3：过点作曲线（，）的切线切点为，设点在轴上的投影是点；又过点作曲线的切线切点为，设点在轴上的投影是点；依此下去，得到一系列点，设点的横坐标是（1）求证：，；（2）求证：；（3）求证：解析：本题综合解析几何、导数、数列、二项式定理、不等式等知识点，在解答时，需要较强的思维能力，分析问题和解决问题的能力（1）对求导数，得若切点是，则切线方程是当时，切线过点，即，得；当时，切线过点，即，得所以数列是首项为，公比为的等比数列，（2）应用二项式定理，得（3）记，则，两式相减，得，故【常见误区】1关于探索性问题与应用性问题，因不能理解题意而导致函数关系式列不出来，或变量间的等量关系找不到而不能顺利解决问题。2有关导数的综合性问题，往往是高考中的压轴题，考察灵活运用导数的知识分析问题和解决问题的能力，应引起注意。要求掌握常见的数学思想和方法。【基础演练】1（2005天津）若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是 （ ）AB CD 2（04浙江）设f (x)是函数f(x)的导函数，y=f (x)的图象如右图所示，则y=f(x) 的图象最有可能的是（ ）A B C D3一点作直线运动，由始点起经过后距离S为，则速度为零的时刻是（ ） A4s末B8s末C0s与8s末D0s、4s、8s末4（2005辽宁）已知是定义在R上的单调函数，实数，若，则（ ）ABCD5某工厂要靠墙壁盖一间长方形小屋，现有存砖只能砌20m墙壁，问应围成长为 m，宽为 m的长方形才能使小屋面积最大6关于函数 (a是常数且a0)，给出下列命题：它是一个奇函数；它在每一点都连续；它在每一点都可导；它是一个增函数；它有反函数其中不正确的命题序号是 7（2001春季）圆柱形金属饮料罐的容积为定值V时，它的高与底面半径应怎样选取才能使用料最省？8.（2005湖北）已知向量在区间（1，1）上是增函数，求t的取值范围.9（2005辽宁）函数在区间（0，+）内可导，导函数是减函数，且 设是曲线在点（）的切线方程，并设函数 （1）用、表示m； （2）证明：当；（3）若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系.本章测试题一、选择题：（本题每小题5分，共60分）1一点作直线运动，由始点起经过后距离S为，则速度为零的时刻是（ ）A4s末B8s末C0s与8s末D0s、4s、8s末2曲线在点P处切线斜率为k，当时的P点坐标为（ ） ABCD3物体自由落体运动方程为，若，那么下列说法正确的是（ ）A是在这段时间内的速率 B是从到这段时间内的速率 C是物体在这一时刻的速率D是物体从到这段时间内的平均速率 4（2004江苏）函数在闭区间-3，0上的最大值、最小值分别是（ ）A1，1 B1，17 C3，17D9，195曲线在原点处的切线方程为（） ABCD6若函数的递减区间为，则的范围是（ ）ABCD7（2005全国）函数，已知在时取得极值，则=（ ）A2B3C4D58函数是定义在R上的可导函数，则为R上的单调增函数是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 9（2005湖北）在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）A3B2C1D010（2004全国）函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（ ） A ()B (,2)C () D (2,3)11a、b为实数且ba=2，若多项式函数f(x)在区间(a，b)上的导数f(x)满足f(x)0，则一定成立的关系式是（ ）Af(a)f(b) Bf(a+1)f(b) Cf(a+1)f(b1) Df(a+1)f(b)12已知函数表示的曲线过原点，且在处的切线斜率均为1，给出以下结论：的解析式为；的极值点有且仅有一个；的最大值与最小值之和等于0，其中正确的结论有 （ ）A0个B1个C2个D3个二、填空题：（本题每小题4分，共16分）13已知函数，若，则 。14（2005江苏）曲线在点（1,3）处的切线方程是 15若函数在其定义域内有极值点，则a的取值为 16已知是可导的偶函数，且，则曲线在（1，2）处的切线方程是 .三、解答题：（本题共分）17（本小题满分分）确定函数在哪个区间上递增？哪个区间上递减18（本小题满分分）从边长为10cm16cm的矩形纸板的4角，截去4个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，那么盒子容积的最大值为多少？19（本小题满分分）已知在和时，都取得极值 （1）求、的值； （2）若对，恒成立，求c的取值范围20（本小题满分分）设a为实数,函数 （1）求的极值. （2）当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.21（本小题满分分）已知平面向量a=(1),b=(). （1）证明ab; （2）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t23)b，y=ka+tb，且xy，试求函数关系式k=f(t); （3）据（2）的结论，讨论关于t的方程f(t)k=0的解的情况.22（本小题满分分）已知函数 （1）当a=2时，求使f（x）x成立的x的集合； （2）求函数yf (x)在区间1,2上的最小值.参考答案21 导数的概念、公式及其运算法则1B 2D 3D 4C5（4，5） 6-1.67 ， ， 过点的切线方程为即， 其与、轴所围面积为8，由曲线与轴相切，则 ， 得证9（1）故f(x)在（0，