展开图用勾股.doc

展开图 用“勾股”一年前，我们就游历了丰富的图形世界，从中掌握了“图形的展开与折叠”的技巧，知道了圆柱（锥）、棱柱（锥）的侧面展开图，这充分体现了立体图形与平面图形的转化问题，今天我们就这一思想方法来解决“立体图形”展开后，勾股定理的应用问题，下面我们分类举例说明，供同学们参考一、棱柱展开例1BA图1在正方体两个相距最远的顶点处有一只苍蝇B和蜘蛛A，蜘蛛可从哪条最短的路径爬到苍蝇处？试说明你的理由分析：我们可以借助正方体的展开图找到解题的办法，由于正方体的展开有不同的方法，因而从A到B可用6种不同的方法选取最短的路径，但每条路径都通过连接正方体两个顶点的棱的中点解：因为蜘蛛只能在正方体的表面爬行，所以只要找到这个正方体的展开图，应用“两点之间，线段最短”就可确定最短路径（如图1）二、锥体展开SABCSABCA1图2（1）图2（2）例2如图2（1），三棱锥SABC的三个侧面为顶角是300的等腰三角形，已知侧棱SA=6cm，问：从A处出发绕过三个侧面回到A点的最短距离是多少？析解：要求从A处出发绕过三个侧面回到A点的最短距离，只要将三棱锥沿SA展开成如图2（2）所示的平面图形，则最短距离为AA1的长，沿SA展开得平面图形SABCA1，在SAA1中，ASA1=3300=900，所以SAA1为等腰直角三角形，所以AA1=评注：以上两例都是多面体的问题，就是把立体图形转化为平面图形的问题，这种由三维立体和二维平面的相互转化，即“化折为直”问题，充分体现了新课程标准下的素质教育对学生空间想象能力、图形识别能力、理解能力的要求，是考查空间观念和严谨认真态度的很好题型三、圆柱体展开例3为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图3（1），已知圆筒高108，其截面周长为36，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪多长油纸图3（）图3（）分析：此题的难点在于将圆柱展开后，纸带会发生什么样的变化，纸带被相应剪断为相等的4段，随着圆柱而展开解：将圆筒展开后成为一个矩形，如图3（2）整个油纸也随之分成相等4段只需求出AC长即可，在RtABC中，AB=36，BC=由勾股定理得AC=AB+BC=36+27AC=45，故整个油纸的长为454=180（）说明：此题对空间想象能力要求较高，一条曲线怎样随着圆柱的展开成为4条线段，同学们可以用纸卷成一个筒帮助自己分析一下，将曲线变成直线来解决问题四、圆锥体展开例4如图4（1），圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（ ）ACABD图4（1）图4（2）（A）（B）（C）（D）3析解：要求从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长，只要将圆锥的侧面展开如图4（2）所示的扇形，AB的长即为所求，由扇形的弧长公式可知：，ACB=1200，=600，又AC=3，AD=，AB=评注：以上两例都是旋转体的问题，也是把立体图形转化为平面图形的问题，即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题即“展曲为平”问题，特别要注意圆柱、圆锥的侧面展开问题AB图5五、小试牛刀1如图5，是一个长8m，宽6m，高5m的仓库，在其内壁的A（长的四等分点）处有一只壁虎，B（宽的三等分点）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短距离为 m2如图6，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为4cm，BC是直径，一