高考数学一轮复习 第二章 函数 第二节 函数的单调性与最值课件 文.ppt

第二节函数的单调性与最值 总纲目录 教材研读 1 函数的单调性 考点突破 2 函数的最值 考点二求函数的最值 考点一函数的单调性 考点三函数单调性的应用 1 函数的单调性 1 单调函数的定义 教材研读 2 单调区间的定义若函数f x 在区间d上是 单调增函数或单调减函数 则称函数f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 区间d叫做y f x 的单调区间 2 函数的最值 1 函数y f x x 4 3 的图象如图所示 则下列说法正确的是 a f x 在 4 1 上是减函数 在 1 3 上是增函数b f x 在区间 1 3 上的最大值为3 最小值为 2c f x 在 4 1 上有最小值 2 有最大值3d 当直线y t与y f x 的图象有三个交点时 1 t 2 答案c根据题图提供的信息可知选c c 2 下列函数中 在区间 0 1 上是增函数的是 a y x b y 3 xc y d y x2 4 答案ay 3 x在r上递减 y 在 0 上递减 y x2 4在 0 上递减 故选a a 3 函数y x2 6x 10在区间 2 4 上 a 递减b 递增c 先递减后递增d 先递增后递减 答案c 函数y x2 6x 10的图象为抛物线 且开口向上 对称轴为直线x 3 函数y x2 6x 10在 2 3 上为减函数 在 3 4 上为增函数 c 4 若函数y 2k 1 x b在 上是减函数 则 a k b k d k 答案d因为函数y 2k 1 x b在 上是减函数 所以2k 1 0 即k d 5 若函数f x 满足 对任意x1 x2 r 当x1f x2 则满足f 2x 1 f 1 的实数x的取值范围为 答案 1 解析由题意知 函数f x 在定义域r上为减函数 要使f 2x 1 1 即x 1 x的取值范围为 1 1 6 已知f x x 2 6 则f x 的最大值为 最小值为 考点一函数的单调性典例1 1 2017课标全国 8 5分 函数f x ln x2 2x 8 的单调递增区间是 a 2 b 1 c 1 d 4 2 下列四个函数中 在 0 上为增函数的是 考点突破 a f x 3 xb f x x2 3xc f x d f x x 典例2已知函数f x a 0 用定义法判断函数f x 在 1 1 上的单调性 解析任取x1 x2 1 1 且x10 x1x2 1 0 1 1 0 又 a 0 f x1 f x2 0 函数f x 在 1 1 上为减函数 探究如何利用导数求解本例 解析由于y 即y 画出函数图象如图所示 可知函数的单调递增区间为 1 和 0 1 单调递减区间为 1 0 和 1 1 1 2018山东济南质检 求函数y x2 2 x 1的单调区间 1 2试讨论函数f x a 0 在 1 1 上的单调性 解析解法一 定义法 任取x1 x2 1 1 且x1 x2 f x a a f x1 f x2 a a 由于 1 x1 x2 1 所以x2 x1 0 x1 10时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 函数f x 在 1 1 上递减 当a0时 在 1 1 上 f x 0 函数f x 在 1 1 上递增 答案 1 1 2 解析 1 令t 则t 0 且x t2 1 原函数变为y t2 1 t t 0 配方得y 又 t 0 y 1 故函数y x 的最小值为1 2 y 2 2 2 2 2 故函数的值域为 方法技巧求函数最值的五种常用方法 1 单调性法 先确定函数的单调性 再由单调性求最值 2 图象法 先作出函数的图象 再观察其最高点 最低点 求出最值 3 基本不等式法 先对解析式变形 使之具备 一正二定三相等 的条件后用基本不等式求出最值 4 导数法 先求导 然后求出在给定区间上的极值 最后结合端点值 求出最值 5 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数 再用相应的方法求最值 同类练 1 函数y 的值域为 2 函数y 2x 1 的值域为 答案 1 1 1 2 解析 1 分离常数法 y 1 1 2x 1 0 2 1 1 1 即 1 1 函数y 的值域为 1 1 2 解法一 换元法 令 t 则t 0 x 于是y g t 2 1 t t2 t t 1 2 6 显然函数g t 在 0 上是单调减函数 所以g t g 0 因此原函数的值域是 解法二 单调性法 易知函数的定义域是 易证函数y 2x 1 在其定义域上是一个单调增函数 所以当x 时 函数取得最大值 故原函数的值域是 变式练 1 函数f x 的最大值是 2 已知f x x 1 且a 1 i 当a 时 求函数f x 的最小值 ii 若对任意x 1 f x 0恒成立 试求实数a的取值范围 答案 1 2 解析 1 当x 1时 函数f x 为减函数 所以f x 在x 1处取得最大值 为f 1 1 当x0 即f x 在 1 上是增函数 所以f x min f 1 1 2 ii f x x 2 x 1 当a 0时 f x 在 1 内为增函数 最小值为f 1 a 3 要使f x 0在x 1 上恒成立 只需a 3 0 所以 30 a 3 所以0 a 1 综上所述 f x 在 1 上恒大于零时 a的取值范围是 3 1 深化练用min a b c 表示a b c三个数中的最小值 则函数f x min 4x 1 x 4 x 8 的最大值是 a 2b 4c 6d 8 答案c在同一直角坐标系中分别作出函数y 4x 1 y x 4 y x 8的图象后 得函数f x min 4x 1 x 4 x 8 的图象 如图所示 不难看出函数f x 在x 2处取得最大值6 c 考点三函数单调性的应用 典例4已知函数f x 的图象关于直线x 1对称 当x2 x1 1时 f x2 f x1 x2 x1 a bb c b ac a c bd b a c 答案d 解析根据已知可得函数f x 的图象关于直线x 1对称 且在 1 上是减函数 所以a f f 所以f 2 f f 3 即b a c 命题方向一比较大小 d 命题方向二解不等式典例5已知函数f x 为 0 上的增函数 若f a2 a f a 3 则实数a的取值范围为 答案 3 1 3 解析由已知可得解得 33 所以实数a的取值范围为 3 1 3 3 1 3 命题方向三求参数的值或取值范围典例6已知函数f x 满足对任意的实数x1 x2都有 0成立 则实数a的取值范围为 a 0 1 b c d c 3 1设函数f x 若函数y f x 在区间 a a 1 上单调递增 则实数a的取值范围是 a 1 b 1 4 c 4 d 1 4 d 答案d作出函数y f x 的图象 如图所示 由图象可知f x 的单调递增区间为 2 4 所以要使f x 在 a a 1 上单调递增 需满足a 1 2或a 4