高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.2 函数的单调性与最大（小）值课件 理 北师大版.ppt

2 2函数的单调性与最值 第二章函数概念与基本初等函数 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 函数的单调性 1 单调函数的定义 知识梳理 f x1 f x2 f x1 f x2 下降的 上升的 2 单调区间的定义如果函数y f x 在区间a上是或是 那么就称a为单调区间 增加的 减少的 2 函数的最值 f x0 m f x m f x0 m f x m 知识拓展 3 在区间d上 两个增函数的和仍是增函数 两个减函数的和仍是减函数 4 函数f g x 的单调性与函数y f u 和u g x 的单调性的关系是 同增异减 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 若定义在r上的函数f x 有f 1 f 3 则函数f x 在r上为增函数 2 函数y f x 在 1 上是增函数 则函数的递增区间是 1 3 函数y 的递减区间是 0 0 4 闭区间上的单调函数 其最值一定在区间端点取到 基础自测 1 2 3 4 5 6 7 题组二教材改编2 函数f x x2 2x的递增区间是 3 函数y 在 2 3 上的最大值是 4 若函数f x x2 2mx 1在 2 上是增函数 则实数m的取值范围是 答案 1 或 1 2 2 解析由题意知 2 m m 2 解析 1 2 3 4 5 6 7 题组三易错自纠5 函数y x2 4 的递减区间为 6 若函数f x 2x a 的递增区间是 3 则a的值为 解析 答案 2 6 1 2 3 4 5 6 7 解析当x 1时 函数f x 为减函数 所以f x 在x 1处取得最大值 为f 1 1 当x 1时 易知函数f x x2 2在x 0处取得最大值 为f 0 2 故函数f x 的最大值为2 解析 答案 2 1 2 3 4 5 6 7 题型分类深度剖析 命题点1给出具体解析式的函数的单调性典例 1 2017 全国 函数f x ln x2 2x 8 的递增区间是a 2 b 1 c 1 d 4 题型一确定函数的单调性 区间 多维探究 答案 解析 解析由x2 2x 8 0 得x 4或x 2 设t x2 2x 8 则y lnt为增函数 要求函数f x 的递增区间 即求函数t x2 2x 8的递增区间 函数t x2 2x 8的递增区间为 4 函数f x 的递增区间为 4 故选d 2 函数y x2 2 x 3的递减区间是 答案 1 0 1 解析由题意知 当x 0时 y x2 2x 3 x 1 2 4 当x 0时 y x2 2x 3 x 1 2 4 二次函数的图像如图 解析 由图像可知 函数y x2 2 x 3的递减区间为 1 0 1 解答 命题点2解析式含参数的函数的单调性典例判断并证明函数f x ax2 其中1 a 3 在 1 2 上的单调性 证明 设1 x1 x2 2 则 由1 x1 x2 2 得x2 x1 0 2 x1 x2 4 又因为1 a 3 所以2 a x1 x2 12 从而f x2 f x1 0 即f x2 f x1 故当a 1 3 时 f x 在 1 2 上是增加的 如何用导数法求解本例 解答 因为1 x 2 1 x3 8 又1 a 3 所以2ax3 1 0 所以f x 0 确定函数单调性的方法 1 定义法和导数法 证明函数单调性只能用定义法和导数法 2 复合函数法 复合函数单调性的规律是 同增异减 3 图像法 图像不连续的单调区间不能用 连接 跟踪训练 1 2017 郑州模拟 函数y 的递增区间为 解析 答案 2 函数f x x 2 x的递减区间是a 1 2 b 1 0 c 0 2 d 2 解析 答案 当x 2时 2 是函数f x 的递增区间 当x 2时 1 是函数f x 的递增区间 1 2 是函数f x 的递减区间 解析 答案 题型二函数的最值 自主演练 解析由于y 在r上是减少的 y log2 x 2 在 1 1 上是增加的 所以f x 在 1 1 上是减少的 故f x 在 1 1 上的最大值为f 1 3 3 解析当x 1时 f x min 0 当x 1时 解析 答案 3 2017 浙江 若函数f x x2 ax b在区间 0 1 上的最大值是m 最小值是m 则m ma 与a有关 且与b有关b 与a有关 但与b无关c 与a无关 且与b无关d 与a无关 但与b有关 解析 答案 解析方法一设x1 x2分别是函数f x 在 0 1 上的最小值点与最大值点 显然此值与a有关 与b无关 故选b 方法二由题意可知 函数f x 的二次项系数为固定值 则二次函数图像的形状一定 随着b的变动 相当于图像上下移动 若b增大k个单位 则最大值与最小值分别变为m k m k 而 m k m k m m 故与b无关 随着a的变动 相当于图像左右移动 则m m的值在变化 故与a有关 故选b 求函数最值的五种常用方法及其思路 1 单调性法 先确定函数的单调性 再由单调性求最值 2 图像法 先作出函数的图像 再观察其最高点 最低点 求出最值 3 基本不等式法 先对解析式变形 使之具备 一正二定三相等 的条件后用基本不等式求出最值 4 导数法 先求导 然后求出在给定区间上的极值 最后结合端点值 求出最值 5 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数 再用相应的方法求最值 命题点1比较大小典例已知函数f x 的图像向左平移1个单位后关于y轴对称 当x2 x1 1时 f x2 f x1 x2 x1 a bb c b ac a c bd b a c 题型三函数单调性的应用 多维探究 解析 答案 命题点2解函数不等式典例若f x 是定义在 0 上的增函数 且满足f xy f x f y f 3 1 则当f x f x 8 2时 x的取值范围是a 8 b 8 9 c 8 9 d 0 8 解析 答案 解析2 1 1 f 3 f 3 f 9 由f x f x 8 2 可得f x x 8 f 9 因为f x 是定义在 0 上的增函数 命题点3求参数范围典例 1 2018 郑州模拟 函数y 在 1 上是增加的 则a的取值范围是a a 3b a 3c a 3d a 3 解析 答案 a的取值范围是a 3 解析 答案 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 1 比较大小 2 解不等式 利用函数的单调性将 f 符号脱掉 转化为具体的不等式求解 应注意函数的定义域 3 利用单调性求参数 依据函数的图像或单调性定义 确定函数的单调区间 与已知单调区间比较 需注意若函数在区间 a b 上是单调的 则该函数在此区间的任意子集上也是单调的 分段函数的单调性 除注意各段的单调性外 还要注意衔接点的取值 跟踪训练 1 已知函数f x x 2x a a 0 在区间 2 4 上是减少的 则实数a的值是 解析 答案 8 2 2017 珠海模拟 定义在r上的奇函数y f x 在 0 上是增加的 且 0 则不等式f x 0的解集为 解析 答案 f x 在 0 上也是增加的 课时作业 1 下列函数中 在区间 0 上为增函数的是a y b y x 1 2c y 2 xd y log0 5 x 1 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 解析 答案 解析由 x2 x 6 0 得 2 x 3 故函数的定义域为 2 3 令t x2 x 6 则y t 易知其为减函数 由复合函数的性法则可知本题等价于求函数t x2 x 6在 2 3 上的递减区间 利用二次函数的性质可得t x2 x 6在定义域 2 3 上的递减区间为 故选a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 已知函数f x 则 c 1 是 函数f x 在r上是增加的 的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析若函数f x 在r上是增加的 则需log21 c 1 即c 1 由于c 1 即c 1 但c 1不能得出c 1 所以 c 1 是 函数f x 在r上是增加的 的充分不必要条件 解析 4 已知函数y log2 ax 1 在 1 2 上是增函数 则实数a的取值范围是a 0 1 b 1 2 c 1 d 2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析要使y log2 ax 1 在 1 2 上是增函数 则a 0且a 1 0 即a 1 解析 5 2017 天津 已知奇函数f x 在r上是增函数 若a b f log24 1 c f 20 8 则a b c的大小关系为a a b cb b a cc c b ad c a b 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 f x 在r上是奇函数 又f x 在r上是增函数 且log25 log24 1 log24 2 20 8 f log25 f log24 1 f 20 8 a b c 故选c 6 设f x 若f 0 是f x 的最小值 则a的取值范围为a 1 2 b 1 0 c 1 2 d 0 2 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 当x 0时 f x x a 2 f 0 是f x 的最小值 a 0 当x 0时 f x x a 2 a 当且仅当x 1时取 要满足f 0 是f x 的最小值 需2 a f 0 a2 即a2 a 2 0 解得 1 a 2 a的取值范围是0 a 2 故选d 3 解析设t x2 2x 3 由t 0 即x2 2x 3 0 解得x 1或x 3 所以函数的定义域为 1 3 因为函数t x2 2x 3的图像的对称轴为x 1 所以函数t在 1 上是减少的 在 3 上是增加的 所以函数f x 的递增区间为 3 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 0 1 函数g x 的图像如图所示 其递减区间为 0 1 9 2017 潍坊模拟 设函数f x 若函数y f x 在区间 a a 1 上是增加的 则实数a的取值范围是 解析作函数f x 的图像如图所示 由图像可知f x 在 a a 1 上是增加的 需满足a 4或a 1 2 即a 1或a 4 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 4 解析由题意 得12 a 2 0 则a 2 又y ax a x 1 是增函数 故a 1 所以a的取值范围为1 a 2 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 11 已知f x x a 1 若a 2 试证f x 在 2 上是增加的 证明设x1 x2 2 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为 x1 2 x2 2 0 x1 x2 0 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以f x 在 2 上是增加的 2 若a 0且f x 在 1 上是减少的 求a的取值范围 解设1 x1 x2 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a 0 x2 x1 0 所以要使f x1 f x2 0 只需 x1 a x2 a 0恒成立 所以a 1 综上所述 0 a 1 12 函数f x 4x2 4ax a2 2a 2在区间 0 2 上有最小值3 求a的值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f x min f 0 a2 2a 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f x min f 2 a2 10a 18 技能提升练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 13 已知函数f x x2 2ax a在区间 1 上有最小值 则函数g x 在区间 1 上一定a 有最小值b 有最大值c 是减函数d 是增函数 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14 已知f x 不等式f x a f 2a x 在 a a 1 上恒成立 则实数a的取值范围是 2 解析二次函数y1 x2 4x 3的对称轴是x 2 该函数在 0 上是减少的 x2 4x 3 3 同样可知函数y2 x2 2x 3在 0 上是减少的 x2 2x 3f 2a x 得到x a 2a x 即2x a 2x a在 a a 1 上恒成立 2 a 1 a a 2 实数a的取值范围是 2 15 函数f x 的定义域为d 若对于任意x1 x2 d 当x1 x2时 都有f x1 f x2 则称函数f x 在d上为非减函数 设函数f x 在 0 1 上为非减函数 且满足以下三个条件 拓展冲刺练 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由 令x 0 可得f 1 16 2018 石家庄模拟 已知函数f x lg 其中a是大于0的常数 1 求函数f