高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 空间点、直线、平面之间的位置学习过程 新人教A版必修2.docVIP

空间点、直线、平面之间的位置关系学习过程知识点1：平面的基本性质1、 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。图形语言表述：符号语言表述; 公理1的作用：既可判定直线是否在平面内、点是否在平面内，又可用直线检验平面。2、 公理2：过不在一条直线的三点，有且只有一个平面。图形语言表述：符号语言表述;公理2的作用;一是确定平面，二是可用其证明点、线共面问题。3、 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。图形语言表述：符号语言表述; 公理3的作用：其一是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线；其二它可判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上。符号语言表述：4、 公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行。知识点2：空间中直线与直线的位置关系等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。异面直线夹角的取值范围: .知识点3：空间中直线与平面之间的位置关系（1）、直线在平面内有无数个公共点；（2）、直线与平面相交有且只有一个公共点；（3）、直线与平面平行没有公共点。直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。知识点4：平面与平面之间的位置关系（1）、两个平面平行没有公共点；（2）、两个平面相交有一条公共直线。典型例题例题1 如图，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，p是侧棱cc1上的一点，cp=m，（i）试确定m，使得直线ap与平面bd d1b1所成角的正切值为；（）在线段a1c1上是否存在一个定点q，使得对任意的m，d1q在平面apd1上的射影垂直于ap，并证明你的结论。答案：（1） （2）的中点解析：（i）故。所以。又.故在，即.故当时，直线。（）依题意，要在上找一点，使得.可推测的中点即为所求的点。因为，所以又,故。从而例题2已知两个正四棱锥的高分别为1和2, 。（i）证明: ；（ii）求异面直线所成的角的余弦值；（iii）求点到平面的距离。解析：（）取ad的中点m，连接pm、qm。因为pabcd与qabcd都是正四棱锥，所以adpm，adqm。从而ad平面pqm。 又pq平面pqm，所以pqad。 同理pqab，所以pq平面abcd。（）连接ac、bd，设acbdo，由pq平面abcd及正四棱锥的性质可知o在pq上，从而p，a，q，c四点共面。取oc的中点n，连接pn。因为，所以， （或其补角）是异面直线aq与pb所成的角。连接bn。 因为 所以。（）由（）知，ad平面pqm，所以平面qad平面pqm 。过点p作phqm于h，则phqad，所以ph的长为点p到平面qad的距离。连结om。因为om=ab=2=oq，所以mqp=45。又pq=po+qo=3，于是ph=pqsin45=。即点p到平面qad的距离是。例题3 已知正方形。、分别是、的中点,将沿折起，如图所示。记二面角的大小为。证明平面解析：ef分别为正方形ab