高考数学大一轮复习 第十三章 系列4选讲 13.1 坐标系与参数方程 第1课时 绝对值不等式课件 文 北师大版.ppt

第1课时坐标系 13 1坐标系与参数方程 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 平面直角坐标系设点p x y 是平面直角坐标系中的任意一点 在变换 的作用下 点p x y 对应到点p x y 称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 简称伸缩变换 知识梳理 2 极坐标系 1 极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点o 自点o引一条射线ox 同时确定一个长度单位和计算角度的正方向 通常取逆时针方向 这样就建立了一个极坐标系 点o称为极点 射线ox称为极轴 平面内任一点m的位置可以由线段om的长度 和从射线ox到射线om的角度 来刻画 如图所示 这两个数组成的有序数对 称为点m的极坐标 称为点m的 称为点m的 一般认为 0 当极角 的取值范围是 0 2 时 平面上的点 除去极点 就与极坐标 0 建立一一对应的关系 我们设定 极点的极坐标中 极径 0 极角 可取任意角 极径 极角 2 极坐标与直角坐标的互化设m为平面内的一点 它的直角坐标为 x y 极坐标为 由图可知下面关系式成立 或这就是极坐标与直角坐标的互化公式 3 常见曲线的极坐标方程 2rsin 0 r 0 2 sin a 0 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系 在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系 基础自测 1 2 3 4 5 6 3 在极坐标系中 曲线的极坐标方程不是唯一的 4 极坐标方程 0 表示的曲线是一条直线 题组二教材改编2 若以直角坐标系的原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 则线段y 1 x 0 x 1 的极坐标方程为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 解析 y 1 x 0 x 1 sin 1 cos 0 cos 1 1 2 3 4 5 6 3 在极坐标系中 圆 2sin 的圆心的极坐标是 答案 解析 解析方法一由 2sin 得 2 2 sin 化成直角坐标方程为x2 y2 2y 化成标准方程为x2 y 1 2 1 圆心坐标为 0 1 其对应的极坐标为 1 2 3 4 5 6 解析 答案 1 2 3 4 5 6 5 在直角坐标系xoy中 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 若曲线c的极坐标方程为 2sin 则曲线c的直角坐标方程为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 x2 y2 2y 0 解析由 2sin 得 2 2 sin 所以曲线c的直角坐标方程为x2 y2 2y 0 解答 1 2 3 4 5 6 6 在以o为极点的极坐标系中 圆 4sin 和直线 sin a相交于a b两点 当 aob是等边三角形时 求a的值 1 2 3 4 5 6 解由 4sin 可得圆的直角坐标方程为x2 y2 4y 即x2 y 2 2 4 由 sin a可得直线的直角坐标方程为y a a 0 设圆的圆心为o y a与x2 y 2 2 4的两交点a b与o构成等边三角形 如图所示 由对称性知 o ob 30 od a 1 2 3 4 5 6 又 b在x2 y2 4y 0上 题型分类深度剖析 1 2016 北京改编 在极坐标系中 已知曲线c1 cos sin 1 0 c2 2cos 1 求曲线c1 c2的直角坐标方程 并判断两曲线的形状 解答 题型一极坐标与直角坐标的互化 自主演练 由c2 2cos 得 2 2 cos x2 y2 2x 即 x 1 2 y2 1 c2是圆心为 1 0 半径为1的圆 2 若曲线c1 c2交于a b两点 求两交点间的距离 解答 直线c1过圆c2的圆心 因此两交点a b的连线是圆c2的直径 两交点a b间的距离 ab 2r 2 解答 2 1 以直角坐标系的原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求线段y 1 x 0 x 1 的极坐标方程 y 1 x化成极坐标方程为 cos sin 1 解 x cos y sin 由 sin2 cos 得 2sin2 cos 曲线c1的直角坐标方程为y2 x 由 sin 1 得曲线c2的直角坐标方程为y 1 故曲线c1与曲线c2交点的直角坐标为 1 1 2 在极坐标系中 曲线c1和c2的方程分别为 sin2 cos 和 sin 1 以极点为平面直角坐标系的原点 极轴为x轴的正半轴 建立平面直角坐标系 求曲线c1和c2交点的直角坐标 解答 1 极坐标与直角坐标互化的前提条件 极点与原点重合 极轴与x轴的正半轴重合 取相同的单位长度 2 直角坐标方程化为极坐标方程比较容易 只要运用公式x cos 及y sin 直接代入并化简即可 而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些 解此类问题常通过变形 构造形如 cos sin 2的形式 进行整体代换 典例将圆x2 y2 1上每一点的横坐标保持不变 纵坐标变为原来的2倍 得到曲线c 1 求曲线c的标准方程 题型二求曲线的极坐标方程 师生共研 解答 2 设直线l 2x y 2 0与c的交点为p1 p2 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 求过线段p1p2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程 解答 化为极坐标方程 并整理得2 cos 4 sin 3 求曲线的极坐标方程的步骤 1 建立适当的极坐标系 设p 是曲线上任意一点 2 由曲线上的点所适合的条件 列出曲线上任意一点的极径 和极角 之间的关系式 3 将列出的关系式进行整理 化简 得出曲线的极坐标方程 解答 解 2 x2 y2 x cos y sin 圆c的直角坐标方程为x2 y2 2x 2y 0 2 2 cos 2 sin 0 消去t后得y x 1 2 已知射线om与圆c的交点为o p 与直线l的交点为q 求线段pq的长 解答 解设点p的极坐标为 0 点m的极坐标为 1 1 0 由题意知 op om 1 由 om op 16 得c2的极坐标方程 4cos 0 因此c2的直角坐标方程为 x 2 2 y2 4 x 0 题型三极坐标方程的应用 师生共研 典例 2017 全国 在直角坐标系xoy中 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线c1的极坐标方程为 cos 4 1 m为曲线c1上的动点 点p在线段om上 且满足 om op 16 求点p的轨迹c2的直角坐标方程 解答 2 设点a的极坐标为 点b在曲线c2上 求 oab面积的最大值 解答 解设点b的极坐标为 b b 0 由题设知 oa 2 b 4cos 极坐标应用中的注意事项 1 极坐标与直角坐标互化的前提条件 极点与原点重合 极轴与x轴正半轴重合 取相同的长度单位 2 若把直角坐标化为极坐标求极角 时 应注意判断点p所在的象限 即角 的终边的位置 以便正确地求出角 利用两种坐标的互化 可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题 3 由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的 如果限定 取正值 0 2 平面上的点 除去极点 与极坐标 0 建立一一对应关系 由圆中的弦长公式 得弦长 解答 课时作业 1 2018 武汉模拟 在极坐标系下 已知圆o cos sin 和直线l 基础保分练 解答 1 求圆o和直线l的直角坐标方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解圆o cos sin 即 2 cos sin 圆o的直角坐标方程为x2 y2 x y 即x2 y2 x y 0 即 sin cos 1 则直线l的直角坐标方程为y x 1 即x y 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 当 0 时 求直线l与圆o公共点的一个极坐标 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 在极坐标系 0 2 中 求曲线 cos sin 1与 sin cos 1的交点的极坐标 解曲线 cos sin 1化为直角坐标方程为x y 1 sin cos 1化为直角坐标方程为y x 1 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 解以极点为坐标原点 极轴为x轴正半轴建立直角坐标系 则曲线 2cos 的直角坐标方程为 x 1 2 y2 1 且圆心为 1 0 因为圆心 1 0 关于y x的对称点为 0 1 所以圆 x 1 2 y2 1关于y x的对称曲线为x2 y 1 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 1 将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程 曲线的直角坐标方程为x2 4y 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 2 过极点o作直线l交曲线于点p q 若 op 3 oq 求直线l的极坐标方程 解设直线l的极坐标方程为 0 r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点o 以极轴为x轴的正半轴 建立直角坐标系xoy 化简 得 2 2 sin 2 cos 4 0 则圆c的直角坐标方程为x2 y2 2x 2y 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解对曲线c1的极坐标方程进行转化 12sin 2 12 sin x2 y2 12y 0 即x2 y 6 2 36 对曲线c2的极坐标方程进行转化 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 1 求直线l和 c的直角坐标方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 c 4cos 2sin 2 4 cos 2 sin x2 y2 4x 2y 即x2 y2 4x 2y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 2 若直线l与圆c交于a b两点 求弦ab的长 解 c x2 y2 4x 2y 0 即 x 2 2 y 1 2 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 1 说明c1是哪一种曲线 并将c1的方程化为极坐标方程 解消去参数t得到c1的普通方程为x2 y 1 2 a2 c1是以 0 1 为圆心 a为半径的圆 将x cos y sin 代入c1的直角坐标方程中 得到c1的极坐标方程为 2 2 sin 1 a2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 若 0 由方程组得16cos2 8sin cos 1 a2 0 由已知tan 2 可得16cos2 8sin cos 0 从而1 a2 0 解得a 1 舍去 a 1 当a 1时 极点也为c1 c2的公共点 在c3上 所以a 1 解答 2 直线c3的极坐标方程为 0 其中 0满足tan 0 2 若曲线c1与c2的公共点都在c3上 求a 解曲线c1 c2的公共点的极坐标满足方程组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 1 求圆c的极坐标方程 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解设m 是圆c上除极点外的任意一点 极点也适合上式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解设点q 1 1 p 代入圆c的方程 得 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 在直角坐标系xoy中 直线c1 x 2 圆c2 x 1 2 y 2 2 1 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 1 求c1 c2的极坐标方程 解答 解因为x cos y sin 所以c1的极坐标方程为 cos 2 c2的极坐标方程为 2 2 cos 4 sin 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 若直线c3的极坐标方程为 r 设c2与c3的交点为m n 求 c2mn的面积 解答 由于c2的半径为1 所以 c2mn为等腰直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 1 求曲线c1的一个参数方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解由 2 4 cos 3 0 可得x2 y2 4x 3 0 x 2 2 y2 1 令x 2 cos y sin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 2 若曲线c1和曲线c2相交于a b两点 求 ab 的值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 曲线c的普通方程为 x 2 2 y 1 2 5 即曲线c的极坐标方程为 4cos 2sin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 2 若直线l的极坐标方程为 sin cos 1 求直线l被曲线c截得的弦长 解 l的直角坐标方程为x y 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 拓展冲刺练 解答 1 求a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意可知直线l与圆c相切 解曲线c 2acos a 0 变形为 2 2a cos 化为x2 y2 2ax 即 x a 2 y2 a2 曲线c是以 a 0 为圆心 以a为半径的圆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 解由 1 知 曲线