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现代控制理论第现代控制理论第 3 版刘豹唐万生机械工业出版社课后全部 答案 版刘豹唐万生机械工业出版社课后全部 答案 第一章答案第一章答案 1 1 试求图 1 27 系统的模拟结构图 并建立其状态空间表达式 1 1 KsK K p s KsKp 1 sJ1 1 s K n 2 2s J Kb s sU 解 系统的模拟结构图如下 sU s 1 K p K K1 p K K1 p K n K 1 1 J 2 J Kb 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 系统的状态方程如下 u K K x K K x K K x XKxKx xx x J K x J x J K x J K x x J K x xx ppp p n p b 1 6 1 1 1 6 61315 34 6 1 5 1 4 1 3 1 3 3 2 2 21 1 令ys 则 1 xy 所以 系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 6 5 4 3 2 1 1 6 5 4 3 2 1 11 11 111 2 6 5 4 3 2 1 000001 0 0 0 0 0 0000 0000 000100 1 00 00000 000010 x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K KK J K JJ K J K J K x x x x x x p pp p n p b 1 2 有电路如图 1 28 所示 以电压 tu为输入量 求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程 和以电阻 2 R 上的电压作为输出量的输出方程 解 由图 令 32211 xuxixi c 输出量 22x Ry 有电路原理可知 321 322 2 2 31111 xCxx xxRxL uxxLxR 既得 22 213 3 2 2 2 2 2 1 3 1 1 1 1 1 11 1 11 xRy x C x C x x L x L R x u L x L x L R x 写成矢量矩阵形式为 3 2 1 2 1 3 2 1 22 2 11 1 3 2 1 00 0 0 1 0 11 1 0 1 0 x x x Ry u L x x x CC LL R LL R x x x 1 4 两输入 1 u 2 u 两输出 1 y 2 y的系统 其模拟结构图如图 1 30 所示 试求其状态空间表达式和传递函数阵 1 a 3 a 4 a 2 b 1 b 1 u 2 u 1 y 2 y 5 a 6 a 2 a 解 系统的状态空间表达式如下所示 4 3 2 1 2 1 4 3 2 1 345 612 4 3 2 1 0101 0 00 0 00 0 1001 0 0010 x x x x y u b b x x x x aaa aaa x x x x 345 612 0 101 0 001 aaa s aasa s AsI 2 1 1 345 612 1 0 00 0 00 0 101 0 001 b b aaa s aasa s BAsIsWux 2 1 1 345 612 1 0 00 0 00 0 101 0 001 0101 b b aaa s aasa s BAsICsWuy 1 5 系统的动态特性由下列微分方程描述 uuuyyyy23375 2 列写其相应的状态空间表达式 并画出相应的模拟结构图 解 令 3 21 yxyxyx 则有 3 2 1 3 2 1 3 2 1 132 1 0 0 573 100 010 x x x y u x x x x x x 相应的模拟结构图如下 5 7 3 u y 3 1 x 2 x 3 x 2 1 1 6 2 已知系统传递函数 2 3 2 1 6 sss s sW 试求出系统的约旦标准型的实现 并画出相应的模拟结构图 解 sssssss s sW 3 1 2 3 3 3 10 3 4 3 2 1 6 22 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 3 1 3 3 10 4 1 1 1 0 0000 0200 0030 0013 x x x x y u x x x x x x x x 1 7 给定下列状态空间表达式 3 2 1 3 2 1 3 2 1 100 2 1 0 311 032 010 x x x y u x x x x x x 1 画出其模拟结构图 2 求系统的传递函数 解 2 311 032 01 s s s AsIsW 1 2 3 3 2 3 2 ssssssAsI 2 1 15 0 3 3 2 033 1 2 3 1 2 1 ssss sss ss sss AsI 3 12 3 3 1 2 3 1 2 1 0 2 1 15 0 3 3 2 033 1 2 3 1 2 1 ss ss s sss ssss sss ss sss BAsIsWux 1 2 12 1 2 3 1 3 12 3 3 100 1 ss s sss ss ss s BAsICsWuy 1 8 求下列矩阵的特征矢量 3 6712 203 010 A 解 A 的特征方程 06116 6712 23 01 23 AI 解之得 3 2 1 321 当1 1 时 31 21 11 31 21 11 6712 203 010 p p p p p p 解得 113121 ppp 令1 11 p 得 1 1 1 31 21 11 1 p p p P 或令1 11 p 得 1 1 1 31 21 11 1 p p p P 当2 1 时 32 22 12 32 22 12 2 6712 203 010 p p p p p p 解得 12321222 2 1 2pppp 令2 12 p 得 1 4 2 32 22 12 2 p p p P 或令1 12 p 得 2 1 2 1 32 22 12 2 p p p P 当3 1 时 33 23 13 33 23 13 3 6712 203 010 p p p p p p 解得 13331323 3 3pppp 令1 13 p 得 3 3 1 33 23 13 3 p p p P 1 9 将下列状态空间表达式化成约旦标准型 并联分解 2 3 2 1 2 1 3 2 1 3 2 1 110 021 35 72 13 311 201 214 x x x y y u x x x x x x 解 A 的特征方程 0 3 1 311 21 214 2 AI 1 3 32 1 当3 1 时 31 21 11 31 21 11 3 311 201 214 p p p p p p 解之得 113121 ppp 令1 11 p 得 1 1 1 31 21 11 1 p p p P 当3 2 时 1 1 1 3 311 201 214 31 21 11 31 21 11 p p p p p p 解之得 32222212 1pppp 令1 12 p 得 0 0 1 32 22 12 2 p p p P 当1 3 时 33 23 13 33 23 13 311 201 214 p p p p p p 解之得 332313 2 0ppp 令1 33 p 得 1 2 0 33 23 13 3 p p p P 101 201 011 T 110 211 210 1 T 43 25 18 35 72 13 110 211 210 1B T 302 413 101 201 011 110 021 CT 约旦标准型 x y ux x 302 413 43 25 18 100 030 013 1 10 已知两系统的传递函数分别为 W1 s 和 W2 s 2 1 0 2 1 1 1 1 s s ss sW 0 1 1 4 1 3 1 2 s ss sW 试求两子系统串联联结和并联连接时 系统的传递函数阵 并讨论所得结果 解 1 串联联结 2 1 1 1 1 4 3 2 75 3 1 1 2 1 0 2 1 1 1 0 1 1 4 1 3 1 2 2 12 sss sss ss ss s s ss s ss sWsWsW 2 并联联结 0 1 1 4 1 3 1 2 1 0 2 1 1 1 11 s ss s s ss sWsWsW 1 11 第 3 版教材 已知如图 1 22 所示的系统 其中子系统 1 2 的传递函数阵分别为 2 1 0 1 1 1 1 s ss sW 10 01 2 s W 求系统的闭环传递函数 解 2 1 0 1 1 1 10 01 2 1 0 1 1 1 211 s ss s ss sWsW 2 3 0 1 1 2 10 01 2 1 0 1 1 1 1 s s ss s s ss IsWsWI 3 2 0 3 1 2 1 1 2 0 1 2 3 3 1 1 21 s s ss s s s s s ss s s s sWsWI 3 1 0 3 1 2 1 1 1 0 1 1 2 3 3 1 2 1 1 1 1 1 2 0 1 2 3 3 1 1 1 21 s ss s s s sss s s s s s ss s s ss s s s sWsWsWIsW 1 11 第 2 版教材 已知如图 1 22 所示的系统 其中子系统 1 2 的传递函数阵分别为 2 1 2 1 1 1 1 s ss s W 10 01 2 s W 求系统的闭环传递函数 解 2 1 2 1 1 1 10 01 2 1 2 1 1 1 11 s ss s ss s W s W 2 3 2 1 1 2 10 01 2 1 2 1 1 1 11 s s ss s s ss s W s WI 1 2 2 1 2 3 25 1 2 1 11 s s ss s ss s s s W s WI 25 2 25 2 66 25 1 25 2 83 1 1 12 1 2 2 2 2 2 1 2 32 2 3 25 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 3 25 1 22 23 222 2 2 2 2 1 1 11 ss s sss sss ss s sss ss sss s s ssss s ss s ss ss s s ss s s ss s ss ss sWsWsWIsW 1 12 已知差分方程为 3 1 2 2 1 3 2 kukukykyky 试将其用离散状态空间表达式表示 并使驱动函数 u 的系数 b 即控制列阵 为 1 1 1 b 解法 1 2 1 1 1 23 32 2 zzzz z zW 1 1 20 01 1 kukxkx 11 kxky 解法 2 2 3 3 2 1 1 21 212 21 kxkxky ukxkxkx kxkx 23 1 0 32 10 1 kxky kukxkx 求 T 使得 1 1 1B T 得 10 11 1 T 所以 10 11 T 15 04 10 11 32 10 10 11 1AT T 13 10 11 23 CT 所以 状态空间表达式为 13 1 1 15 04 1 kzky kukzkz 第二章习题答案 2 4 用三种方法计算以下矩阵指数函数 At e 2 A 11 41 解 第一种方法 令 0IA 则 11 0 41 即 2 140 求解得到 1 3 2 1 当 1 3 时 特征矢量 11 1 21 p p p 由 111 App 得 1111 2121 311 341 pp pp 即 112111 112121 3 43 ppp ppp 可令 1 1 2 p 当 2 1 时 特征矢量 12 2 22 p p p 由 222 App 得 1212 2222 11 41 pp pp 即 122212 122222 4 ppp ppp 可令 2 1 2 p 则 11 22 T 1 11 24 11 24 T 33 3 33 111111 110 242244 2211110 2422 tttt t At t tttt eeee e e e eeee 第二种方法 即拉氏反变换法 11 41 s sIA s 1 11 1 4131 s sIA sss 11 3131 41 3131 s ssss s ssss 111111 231431 11111 31231 ssss ssss 33 1 1 33 1111 2244 11 22 tttt At tttt eeee eLsIA eeee 第三种方法 即凯莱 哈密顿定理 由第一种方法可知 1 3 2 1 3 1 33 0 3 1 1313 13 4444 111111 4444 tt tt tt tt ee ee ee ee 33 33 33 1111 1011 1313 2244 0141114444 22 tttt Attttt tttt eeee eeeee eeee 2 5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件 如果满足 试求与之对应的 A 阵 3 22 22 222 2 tttt tttt eeee t eeee 4 33 33 11 24 1 2 tttt tttt eeee t eeee 解 3 因为 10 0 01 I 所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 22 22 0 0 022242 1324 tttt tttt t t eeee At eeee 4 因为 10 0 01 I 所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 33 0 33 0 1313 11 2244 1341 3 22 tttt t tttt t eeee At eeee 2 6 求下列状态空间表达式的解 010 001 xxu 1 0yx 初始状态 1 0 1 x 输入 u t时单位阶跃函数 解 01 00 A 1 0 s sIA s 2 1 2 11 1 1 01 0 s ss sIA ss s 1 1 1 01 At t teLsIA 因为 0 1 B u tI t 0 0 t x tt xtBud 0 1110 011011 ttt d 0 1 11 ttt d 2 1 1 2 1 tt t 2 1 1 2 1 tt t 2 1 101 2 yxtt 2 9 有系统如图 2 2 所示 试求离散化的状态空间表达式 设采样周期分别为 T 0 1s 和 1s 而 1 u和 2 u为分段常数 图 2 2 系统结构图 解 将此图化成模拟结构图 列出状态方程 111 xkux 212 xxu 21 2yxx 1 2 100 1001 uk xx u 1 2 21 x y x 则离散时间状态空间表达式为 1x kG T x kH T u k y kcx kDu k 由 At G Te 和 0 T At H Te dtB 得 10 10 A 0 01 k B 2 1 T C 1 11 100 111 T At T se eLsIAL se 00 10 00010 0101111 1 T tT TT At TT T ke kkee He dtdt eTeT k TeT 当 T 1 时 1 1 1 1 100 1 11 1 kee x kx ku k e ke 121y kx k 当 T 0 1 时 0 1 0 1 0 1 0 1 10 0 1 11 0 90 1 ke e x kx ku k e k e 121y kx k 第三章习题 3 1 判断下列系统的状态能控性和能观测性 系统中 a b c d 的取值对能控性和能观性是否有关 若有关 其取 值条件如何 1 系统如图 3 16 所示 1 x 2 x 3 x 4 x 解 由图可得 3 434 3211233 22 11 xy dxxx cxxxxxcxx bxx uaxx 状态空间表达式为 xy u x x x x d c b a x x x x 0100 0 0 0 1 100 011 000 000 4 3 2 1 4 3 2 1 由于 2 x 3 x 4 x 与u无关 因而状态不能完全能控 为不能控系统 由于y只与 3 x 有关 因而系统为不完全 能观的 为不能观系统 3 系统如下式 x dc y u b a x x x x x x 000 0 0 0 12 200 010 011 3 2 1 3 2 1 解 如状态方程与输出方程所示 A 为约旦标准形 要使系统能控 控制矩阵 b 中相对于约旦块的最后一行 元素不能为 0 故有0 0 ba 要使系统能观 则 C 中对应于约旦块的第一列元素不全为 0 故有0 0 dc 3 2 时不变系统 Xy uXX 11 11 11 11 31 13 试用两种方法判别其能控性和能观性 解 方法一 2 2 11 2 2 11 ABBM 11 11 11 11 31 13 CBA 系统不能控 21 rankM 44 22 11 11 CA C N 系统能观 2 rankN 方法二 将系统化为约旦标准形 42 013 31 13 AI 21 2 1 1 PPPA 1 1 PPPA 22222 11111 则状态矢量 1 1 11 T 2 1 2 1 2 1 2 1 T 1 4 0 02 1 1 11 3 1 13 2 1 2 1 2 1 2 1 ATT 1 00 11 11 11 2 1 2 1 2 1 2 1 BT 1 20 02 1 1 11 1 1 11 CT BT 1中有全为零的行 系统不可控 CT中没有全为 0 的列 系统可观 3 3 确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数 ii 和 11 1 1 0 1 1 2 1 CbA 解 构造能控阵 2 1 1 11 AbbM 要使系统完全能控 则 21 1 即01 21 构造能观阵 21 1 11 CA C N 要使系统完全能观 则 12 1 即01 21 3 4 设系统的传递函数是 182710 23 sss as su sy 1 当 a 取何值时 系统将是不完全能控或不完全能观的 2 当 a 取上述值时 求使系统的完全能控的状态空间表达式 3 当 a 取上述值时 求使系统的完全能观的状态空间表达式 解 1 方法 1 6 3 1 sss as su sy sW 系统能控且能观的条件为 W s 没有零极点对消 因此当 a 1 或 a 3 或 a 6 时 系统为不能控或不能观 方法 2 6s 15 6 a 3 6 3 1s 10 1 a 6 3 1 s a sss as su sy 631 321 X aaa y uXX 15 6 6 3 10 1 1 1 1 600 030 001 系统能控且能观的条件为矩阵 C 不存在全为 0 的列 因此当 a 1 或 a 3 或 a 6 时 系统为不能控或不能观 2 当 a 1 a 3 或 a 6 时 系统可化为能控标准 I 型 x01ay u 1 0 0 x 102718 100 010 x 3 根据对偶原理 当 a 1 a 2 或 a 4 时 系统的能观标准 II 型为 x 100y u 0 1 a x 1010 2701 1800 x 3 6 已知系统的微分方程为 uyyyy66116 试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数 解 636116 03210 baaaa 系统的状态空间表达式为 x006y u 1 0 0 x 6116 100 010 x 传递函数为 6116 6 1 0 0 6116 10 01 006A C sI 23 1 1 sss s s s BsW 其对偶系统的状态空间表达式为 x100y u 0 0 6 x 610 1101 600 x 传递函数为 6116 6 23 sss sW 3 9 已知系统的传递函数为 34 86 2 2 ss ss s W 试求其能控标准型和能观标准型 解 34 52 1 34 86 22 2 ss s ss ss sW 系统的能控标准 I 型为 u x25y u 1 0 x 4 3 10 x 能观标准 II 型为 u x10y u 2 5 x 4 1 3 0 x 3 10 给定下列状态空间方程 试判别其是否变换为能控和能观标准型 x100y u 2 1 0 x 311 032 010 x 解 100 2 1 0 311 032 010 CbA 1152 721 310 2b AAbbM 不能变换为能控标准型 系统为不能控系统 32 rankM 971 311 100 2 CA CA C N 以变换为能观标准型 系统为能观系统 可3 rankN 3 11 试将下列系统按能控性进行分解 1 111 1 0 0 340 010 121 CbA 解 931 000 410 2b AAbbM rankM 2 3 系统不是完全能控的 构造奇异变换阵 c R 0 1 0 3 0 1 1 0 0 321 RAbRbR 其中 3 R 是任意的 只要满足 c R 满秩 即 031 100 010 c R 得 010 001 103 1 c R 100 241 230 1 cc ARRA 0 0 1 1b Rb c 121 c cRc 3 12 试将下列系统按能观性进行结构分解 1 111 1 0 0 340 010 121 CbA 解 由已知得 111 1 0 0 340 010 121 CbA 则有 474 232 111 2 CA CA C N rank N 2 3 该系统不能观 构造非奇异变换矩阵 1 0 R 有 1 0 111 232 001 R 则 0 311 210 001 R 11 000 0101 2302 7321 xR AR xR buxu 0 100ycR xx 3 13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解 1 211 2 2 1 102 322 001 CbA 解 由已知得 2 111 21226 202 MAAbAb rank M 3 则系统能控 2 112 125 7411 c NcA cA rank N 3 则系统能观 所以此系统为能控并且能观系统 取 2 111 21226 202 c T 则 1 2 17 3 44 1 73 2 15 3 44 c T 则 002 105 014 A 1 2 1 0 0 c BT b 2 71323 c ccT 3 14 求