矩阵理论试题.pdf

1 在在 3 维实系数多项式线性空间维实系数多项式线性空间 P2 x 上定义如下变换上定义如下变换 T P2 x P2 x 2 2 2 1 1 P xP x P x dd P xTxxxP x dxdx 并取并取 B x2 x 1 为为 P2 x 的一组基 的一组基 1 试证明试证明 T 是一个线性变换 是一个线性变换 2 试说明试说明 TB Tx2 Tx T1 的线性相关性 的线性相关性 3 求出线性变换求出线性变换 T 关于基关于基 B 的矩阵表示 的矩阵表示 4 求出线性变换求出线性变换 T 的特征值与特征向量 的特征值与特征向量 解 1 要 证 明T是 线 性 变 换 p x q x P2 x 2 2 2 1 1 p xq x dp xq xd p xq x Txxxp xq x dxdx 2 2 2 1 1 d p xdp x xxxp x dxdx 2 2 2 1 1 d q xdq x xxxq x dxdx Tp xTq x p x P2 x 2 2 2 1 1 kp xkp x kp x dd Txxxkp x dxdx p x kT所以 T 是线性变换 2 2 222 1 2 1 232 x Txxxxxx 2 1 0 1 11 x Txxxx 2 1 1 0 1 0 11Txxx 对于任意 2 123123 32 1 1 0k k k kxkk 得 2 1123 320k xkkk 则 1 123 30 20 k kkk 有无穷解 所以说 TB Tx2 Tx T1 是线性相关的 3 TB BA 222 300 1 32 1 1 1 000 211 T xxxxx 由 于水平有限 有些题目可能结果不太正确 如有不同答案 请联系我 严禁外传 此版 本不可复制 不可打印 4 线性变换 T 在基 B 下对应的矩阵为 A 300 000 211 于是 det EA 300 det00 1 3 211 所以 T 的特征值为 0 1 3 对应的特征向量为 0 1 1 0 0 1 2 0 1 TTT 2 设设 e1 1 0 0 T e2 1 3 2 2 1 T e3 1 3 1 1 1 T 为为 R3的一组基 的一组基 1 将上述基标准正交化 将上述基标准正交化 2 求一个镜面反射矩阵 求一个镜面反射矩阵 H R3 R3 它使它使 He2为平面为平面 2x1 x2 2x3 1 0 的的 单位法向量 单位法向量 3 写出构造镜面反射矩阵写出构造镜面反射矩阵 H 的的 matlab 函数 函数 解 1 00 1 21 10 2 3 55 0 12 55 rrr 2 平面 2x1 x2 2x3 1 0 的单位法向量为 y2 1 2 1 2 3 T 则镜面的法向量 u 为 u e2 y2 1 4 1 1 3 T 单位化得 w 1 4 1 1 3 2 T 则 H In wwT 则 H 为 7440 77780 44440 4444 1 4810 44440 88890 1111 9 4180 44440 11110 8889 3 function H householder x y x y 为两个列向量 x1 x norm x y1 y norm y u x1 y1 norm x1 y1 H eye length u 2 u u 这里 x 为 e2 y 为 1 2 1 2 3 T 3 已知已知 B1 2 t 1 t2 1 和和 B2 1 2t 1 t2 t 1 是是 P2 t t 1 1 的两组的两组 基 且对于基 且对于 p t q t P2 t 定义内积 定义内积 1 1 p t q tp t q t dt 1 求求 B1到到 B2的过渡矩阵 的过渡矩阵 2 写出基写出基 B1的度量矩阵 的度量矩阵 3 求函数求函数 f t exp t 在在 P2 t t 1 1 的最佳平方逼近多项式的最佳平方逼近多项式 t 解 1 B1 2 001 1 021 111 t t B2 2 001 1 010 211 t t 设过度矩阵为 A 则 B2 B1A 所以 1 0010010 51 50 5 010 021021 211111001 A 2 B1的度量矩阵G为 2 2 2222 111 2 111 111 22 111 11 22 11 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 42 1 2 1 2 1 21 1 1 2 1 1 1 tt ttttt ttttt dttdttdt tdtttdtttdt tdtttdtt 1 22 1 1 1 8 84 3 104 4 33 8416 3315 tdt 3 选取基为 1 t t2 即由方程 2 1 4 得 1 0 1 1 1 2 2 20 3 2 002 3 5 22 0 35 eea ae aee 解得 012 0 9548 0 2487 0 4045aaa 即 t 0 9963 1 1036t 0 5367t2 4 1 求出拟合平面上四个点 求出拟合平面上四个点 1 0 1 1 2 1 3 2 的多项式 的多项式 P x a0 a1x a2x2 2 给定仿射变换 伸缩及平面给定仿射变换 伸缩及平面变换 变换 101 021 t t xx y y 求多项式求多项式 P x 经此仿射变换所得到的曲线 变换后的曲线是什么曲线 经此仿射变换所得到的曲线 变换后的曲线是什么曲线 此题答此题答 案不确定案不确定 解 1 x 1 1 2 3 y 0 1 1 2 H zeros 4 3 H 1 x 2 H 2 x H 3 ones 4 1 Q R qr H 0 a R Q y xx 4 0 1 4 yy polyval a xx figure 1 plot xx yy x y ro p polyfit x y 2 yp polyval p xx figure 2 plot xx yp x y ro 可知 012 0 9548 0 2487 0 4045aaa 2 1 0 1 1 2 1 3 2 这四个点经过仿射变换后得到 0 1 2 3 1 1 4 3 拟合得到曲线 Q x 1 6030 2 1156x 0 8090 x2 5 已知矩阵已知矩阵 210 1 021 5 102 A 1 试计算试计算 A 的的 Frobenius 范数 范数 A A 并写出并写出 Matlab 函数 函数 2 试说明级数试说明级数 0 k k A 是收敛的 并是收敛的 并 求其结果 提示求其结果 提示 1 0 k k AIA 3 试问针对线性方程组试问针对线性方程组 Ax b 所构造的所构造的 Jacobi 与与 Ganuse Seidel 迭代是否收迭代是否收 敛 敛 解 1 A 的 Frobenius 范数 2 11 mn i j ij a 0 60 7746 A 0 6 A 0 6 Matlab 函数为 norm A fro norm A 1 norm A inf 2 级数 0 k k A 是收敛的充 分必要条件为 A 为收敛矩阵 且其和为 1 0 k k AIA 由于 A 的任意特征值小于 1 即范数 1 所以 Ak为收敛矩阵 所以 A 为收敛矩阵 即级数收敛 3 ADLU 其中 0 40000000 20 00 40 000 000 2 000 40 200000 DLU Jacobi 迭代的 G D 1 L U 为 00 50 000 5 0 500 显然 1G 所以 Jacobi 迭代收 敛 Gauss Seidel 迭代G D L 1 U 为 00 50 000 5 00 250 显然 1G 所以 Gauss Seidel 迭代收敛 6 表格表格 体重体重 50 60 65 70 80 身高身高 1 2 1 3 1 4 1 6 1 7 1 计算协方差矩阵计算协方差矩阵以及体重与身高的相关系数以及体重与身高的相关系数 2 求出此数据的主成分求出此数据的主成分 3 写出写出 Matlab 程序程序 解 协方差矩阵协方差矩阵 体重与身高的相关系数 X 50 60 65 70 80 1 2 1 3 1 4 1 6 1 7 function M S1 R U D mean2var X M mean X 计算样本的均值 p N size X B X M ones 1 N 计算平均偏差矩阵 S 1 N 1 B B 计算协方差矩阵 S1 cov X 计算协方差矩阵的 Matlab 函数 R corrcoef X 计算相关系数矩阵 U D V svd S1 计算主成分 U D diag D 7 求解下列矩阵常微分方程求解下列矩阵常微分方程 0 dx Axf dt xl 其中其中 3 4111 1211 t Afel 并写出相应的并写出相应的 Matlab 程序程序 3 1 1 t t xe t a 4 1 1