考研数学超强题型总结不怕你考不了高分.pdf

第一讲 求极限的各种方法 教学 目的 通过教学使学生掌握求极限的各种方法 重点掌握用等价无穷小量代换求极 限 用罗必塔法则求极限 用对数恒等式求极限 利用 Taylor 公式求极限 数列极限转化成函数极限求解 lim xg xf 重 点 难 点 1 用等价无穷小量代换求极限 2 用罗必塔法则求极限 3 用对数恒等式求极限 lim xg xf 4 利用 Taylor 公式求极限 5 数列极限转化成函数极限求解 教 学 提 纲 1 约去零因子求极限 2 分子分母同除求极限 3 分子 母 有理化求极限 4 应用两个重要极限求极限 5 用等价无穷小量代换求极限 6 用罗必塔法则求极限 7 用对数恒等式求极限 lim xg xf 8 数列极限转化成函数极限求解 9 n 项和数列极限问题 10 单调有界数列的极限问题 1 第一讲 求极限的各种方法第一讲 求极限的各种方法 求极限是历年考试的重点 过去数学一经常考填空题或选择题 但近年两次作为大题出现 说 明极限作为微积分的基础 地位有所加强 数学二 三一般以大题的形式出现 用等价无穷小量代换求极限 用对数恒等式求极限是重点 及时分离极限式中的非 零因子是解题的重要技巧 lim xg xf 1 约去零因子求极限 约去零因子求极限 例例 1 求极限 1 1 lim 4 1 x x x 说明 表明无限接近 但1 x1与x1 x 所以1 x这一零因子可以约去 解 解 6 1 1 lim 1 1 1 1 lim 2 1 2 1 xx x xxx xx 2 分子分母同除求极限 分子分母同除求极限 例例 2 求极限 13 lim 3 23 x xx x 说明 型且分子分母都以多项式给出的极限 可通过分子分母同除来求 解 3 1 3 1 lim 13 lim 3 1 1 3 23 x x xx x xx 评注 1 一般分子分母同除x的最高次方 2 nm b a nm nm bxbxb axaxa n n m m m m n n n n x 0 lim 0 1 1 0 1 1 3 分子 分子 母母 有理化求极限有理化求极限 例例 3 求极限 13 lim 22 xx x 说明 分子或分母有理化求极限 是通过有理化化去无理式 解 13 13 13 lim 13 lim 22 2222 22 xx xxxx xx xx 0 13 2 lim 22 xx x 例例 4 求极限 3 0 sin1tan1 lim x xx x 解 xxx xx x xx xx sin1tan1 sintan lim sin1tan1 lim 3 0 3 0 4 1sintan lim 2 1sintan lim sin1tan1 1 lim 3 0 3 00 x xx x xx xx xxx 2 注 本题除了使用分子有理化方法外 及时及时 分离极限式中的非零因子分离极限式中的非零因子 是解题的关键 4 应用两个重要极限求极限 应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1 sin lim 0 x x x 和ex nx x x n n x x 1 0 1 lim 1 1 lim 1 1 lim 第一个重要极限 过于简单且可通过等价无穷小来实现 主要考第二个重要极限 例例 5 求极限 x x x x 1 1 lim 说明 第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤 先凑出 再凑 X 1 最后凑指数部分 解 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1lim 1 2 1lim 1 1 lime xxx x x x x x x x x 例例 6 1 x x x 2 1 1lim 2 已知8 2 lim x x ax ax 求 a 5 用等价无穷小量代换求极限 用等价无穷小量代换求极限 说明 1 常见等价无穷小有 当 时 0 x 1ln arctan arcsin tan sin xxxxxx 1ex abxaxxx b 11 2 1 cos1 2 2 等价无穷小量代换 只能代换极限式中的因式因式 x xx x 3 0 tan sin lim 0lim 0 x xx x 是不正确的 3 此方法在各种求极限的方法中应作为首选应作为首选 例例 7 求极限 0 ln 1 lim 1 cos x xx x 解解 00 2 ln 1 limlim2 1 1 cos 2 xx xxx x x x 例例 8 求极限 x xx x 3 0 tan sin lim 解解 x xx x 3 0 tan sin lim 6 1 3 lim 3 1cos lim sin lim 2 2 2 1 0 2 0 3 0 x x x x x xx xxx 例例 9 求极限 4 0 sinsin sinsin lim x xxx x 解 43 00 sinsinsin sinsinsinsin limlim xx xxxxx xx 2 0 coscos sin cos lim 3 x xxx x g 3 2 00 cos 1 cos sin sin sin cos limlim 36 xx xxxx xx g 0 sin1 lim 66 x x x 6 用罗必塔法则求极限 用罗必塔法则求极限 例例 10 求极限 2 2 0 sin1ln 2cosln lim x xx x 说明 或 0 0 型的极限 可通过罗必塔法则来求 解 2 2 0 sin1ln 2cosln lim x xx x x x x x x x 2 sin1 2sin 2cos 2sin2 lim 2 0 3 sin1 1 2cos 2 2 2sin lim 2 0 xxx x x 例例 11 求 sin cos lim 10 0 22 0 2 x dttx x x 说明 许多变动上显的积分表示的极限 常用罗必塔法则求解 解 9 4 0 10 0 22 0 10 0 22 0 10 cos22 lim cos lim sin cos lim 22 x xxx x dttx x dttx x x x x x 10 1 5 lim 5 cos1 lim 8 8 2 1 0 8 4 0 x x x x xx 7 用对数恒等式求极限 用对数恒等式求极限 lim xg xf 例例 12 极限 x x x 2 0 1ln 1 lim 说明 该类问题一般用对数恒等式降低问题的难度 注意时 0 xxx 1ln 解 x x x 2 0 1ln 1 lim 1ln 1ln 2 0 lim x x x e 2 1ln 2 lim 1ln 1ln 2 lim 00 eee x x x x xx 例例 13 求极限 3 0 12cos lim1 3 x x x x 解 原式 2 cos ln 3 3 0 1 lim x x x e x 2 0 2cos ln 3 lim x x x 2 0 cos1 ln 3 lim x x x 1 2 0 cos11 lim 36 x x x 又如 x x x x ex 1 0 1 lim 8 数列极限转化成函数极限求解 数列极限转化成函数极限求解 例例 14 极限 2 1 sinlim n n n n 4 说明 这是形式的的数列极限 由于数列极限不能使用罗必塔法则数列极限不能使用罗必塔法则 若直接求有一定难度 若 转化成函数极限 可通过 7 提供的方法结合罗必塔法则求解 1 解 考虑辅助极限 6 1 1sin 11 0 1 1 sin 2 2 2 limlim 1 sinlim eee x x y y y y x xx x x x 所以 6 1 2 1 sinlim e n n n n 9 n 项和数列极限问题项和数列极限问题 n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法 1 用定积分的定义把极限转化为定积分来计算 2 利用两边夹法则求极限 例例 15 极限 222222 1 2 1 1 1 lim nnnn n 说 明 用 定 积 分 的 定 义 把 极 限 转 化 为 定 积 分 计 算 是 把看 成 0 1 定 积 分 xf 1 0 211 limdxxf n n f n f n f n n 解 原式 222 1 1 2 1 1 1 1 11 lim n n nn n n 12 12 ln 2 1 1 1 1 02 dx x 例例 16 极限 nnnn n222 1 2 1 1 1 lim 说明 1 该题与上一题类似 但是不能凑成 n n f n f n f n n 211 lim的形式 因而用两边夹 法则求解 2 两边夹法则需要放大不等式 常用的方法是都换成最大的或最小的 解 nnnn n222 1 2 1 1 1 lim 因为 1 1 2 1 1 1 22222 n n nnnnnn n 又 nn n n 2 lim1 1 lim 2 n n n 所以 nnnn n222 1 2 1 1 1 lim 5 例例 17 求 n nn n n n nn n1 2 2 1 2 1 2 lim 21 说明 该题需要把两边夹法则与定积分的定义相结合方可解决问题 解 222 1 1 2 2 1 2 1 2 222 1 1 21 21 21 n n nn n n nn n n nn n n nn nnn n 222 1 lim 222 1 1 lim 2121 n n nn n n n nn n nnn n 2ln 1 2ln 2 2 1 0 1 0 x xdx n nn n n n nn n1 2 2 1 2 1 2 lim 21 2ln 1 10 单调有界数列的极限问题 单调有界数列的极限问题 例例 18 已知 1 1 x2 1 1 1 1 n x x x n n n 证明lim n n x 存在 并求该极限 分析 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在 解 2 1 11 1 1 n n n x x x 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 nn nn nn n n n n nn xx xx xx x x x x xx 0 9 1 12 1 xx n 该数列单调增加有上界 所以lim n n x 存在 设 lim n n x 对于 1 1 1 1 n n n x x x令 n 1 A A A 得 2 51 即 lim n n x 2 51 例例 19 设数列 n x满足 11 0 sin 1 2 nn xxx n L 证明lim n n x 存在 并求该极限 计算 2 1 1 lim n x n n n x x 解 因为 1 0 x 则 21 0sin1xx 可推得 1 0sin1 1 2 nn xxn L 则数列 n x有界 于是 1 sin 1 nn nn xx xx 时 n 则有 1n xx kc k 就说 是关于 的 k 阶无穷小 O k 如果1lim 就说 与 是等价无穷小 记作 例例 1 当时 与0 x 2 kxx xxxxcosarcsin1 是等价无穷小 则求 k 解 由题设 2 00 cosarcsin1 lim lim kx xxx x x xx cosarcsin1 cos1arcsin lim 2 0 xxxkx xxx x k2 1 1 4 3cos1arcsin lim 2 0 kx xxx x 得 4 3 k 例例 2 时无穷小量 0 x 2 00 3 0 2 sin tan cos xxx dttdttdtt 排列起来 使排在后面 的是排在前面的一个的高阶无穷小量 排列顺序是 a b c d 9 说明 1 无穷小量的阶主要看它和哪个同阶 然后再阶排定顺序 k x k x 2 无穷小量求导数后阶数降低一阶 解 1 sin 2 1 2 tan2 0 cos 32 阶 阶 阶 x x xxx 应选 例例 3 设函数在 xfx 的某邻域具有二阶连续导数 且0 0 0 0 fff 证明 存在惟 一的一组实数 使得当时 cba 0 h 0 3 2 2 hofhcfhbfhaf 分析 条件告诉我们0 0 3 2 lim 2 0 h fhcfhbfhaf x 因而 0 0 0 0 0 lim 0 3 2 lim 0 0 fcfbfaffhcfhbfhaf x xf x 连续 01 0 0 cbaf 0 2 3 3 2 2 lim 0 3 2 lim 0 2 0 h hf chf bhf a h fhcfhbfhaf xx 罗 同上 0 0 3 0 2 0 f cf bf a032 0 0 cbbaf 证 略 无穷大 无穷大 lim lim lim 就说在这个极限过过程中 是无穷大量 定理 当自变量在同一变化过程中时 若为无穷大量 则 xf 1 xf 为无穷小量 若为无穷小量 且 xf0 xf 则 1 xf 为无穷大量 说明 常见无穷大量的阶 1 ln nnaannn nnk 无界量 无界量 如不存在使 对 都有0 MIx Mxf 则称在 xfI上无界 则 limxf ax aa 上无界 limxf x 则 a上无界 例例 4 x 时 变量 xx 1 sin 1 2 是 C a 无穷小 b 无穷大 c 无界 但不是无穷大 d 有界 但不是无穷小 4 函数的连续性 4 函数的连续性 10 函数在点的某一领域内有定义 如果 xfy 0 x 1 极限 0 lim xx f x 存在 2 0 0 limxfxf xx 那么就称在点连续 xfy 0 x 如果函数在开区间内每一点都连续 则称在开区间内连续 如果函数 在开区间内连续 在点a右连续 在点b左连续 则称函数在闭区间上连续 xf ba xf ba xf ba xf ba 如果 0 0 limxfxf xx 就说函数 xf在点左连续 0 x 如果 0 0 limxfxf xx 就说函数 xf在点右连续 0 x 例 例 tan 2 1 0 arcsin 0 2 2 0 x x e x x f xx aex 在连续 则a 解 2lim 0 xf xx axf xx 0 lim2 a 函数的间断点 函数的间断点 设函数在点的某去心领域内有定义 在此前提下 如果函数 xf 0 x xf有下列三种情形之一 在没有定义 0 xx 虽在有定义 但不存在 0 xx xf xx 0 lim 虽在有定义 且存在 但 0 xx xf xx 0 lim 0 0 limxfxf xx 则函数在点为不连续 而点称为函数 xf 0 x 0 x xf的不连续点或间断点 间断点的分类 0 x 第一类间断点第一类间断点 左极限 0 xf及右极限 0 xf都存在 可去间断点 00 xfxf 补充定义使之连续 跳跃间断点 00 xfxf 第二类间断点第二类间断点 左极限 0 xf及右极限 0 xf至少有一个不存在 无穷间断点 xf xx 0 lim 第一类间断点 左右极限相等 可去间断点 间断点 左右极限都存在 左右极限不相等 跳跃间断点 第二类间断点 左右极限至少有一个不存在 例例 6 求 23 ln 2 xx x xf的间断点 并指出它的类型 分析 由于初等函数在定义域内都是连续的 所以间断点必定是无定义的或分段函数的分点 11 解 23 ln lim lim 2 00 xx x xf xx 0 x是第二类间断点 1 32 1 lim 23 ln lim lim 1 2 11 x x xx x xf xxx 1 x是第一类间断点 23 ln lim lim 2 22 xx x xf xx 2 x是第二类间断点 例例 7 xt x xt x t xf sinsin sin sin lim 求的间断点 并指出其类型 xf 解 x x t x t x xt x t x xt x t x eeeexf xtxtxtsincos sin cos lim sinsin 1 sin sin lim sinsin 11 sin sin ln lim 0 x可去间断点 0 2 kkx 第二类间断点 例例 8 1 1 2 xbax xx xfba 解 1 欲使在处可导 必先在 xf1 x1 x处连续 故有 即 1 lim lim 11 fxfxf xx 1 ba 2 又在处的左 右导数分别为 xf1 x 2 1 1 lim 1 2 0 x x f x a x xa x bxa f xx 00 lim 1 1 lim 1 故 从而2 a1 b 所以 当2 a 1 b时处处可导 xf 导数的几何意义 导数的几何意义 设函数在点的导数存在 为 则导数值为函数 xfy 0 x 0 xf xfy 上一点 处的切线的斜率 此时 切线方程为 0 x 0 xf 000 xxxfyy 法线方程为 00 0 1 yyxx fx 例 4 例 4 求的切线方程 使此切线与直线 2 xy 1 xy的斜率相同 14 解 设切点为 则有 0 x 0 y 2 00 xy 由已知 切线斜率与相同 则1 xy1 0 x y 可解得 2 1 0 x 4 1 0 y 切线方程为 2 1 4 1 xy 即 4 1 xy 例 5 例 5 函数由方程确定 求 xfy 4 ln2yxxy xfy 在处的切线方程 解 略 1 1 4 微分的定义4 微分的定义 设函数在某区间内有定义 及 xfy 0 xxx 0 在这区间内 如果因变量的增量 可表示为 00 xfxxfy xxAy 0 其中 A 是不依赖于 x 的常数 而 x 0是 时比高阶的无穷小 那么称函数0 x x xfy 在点是可微的 而 0 xxA 叫做函数 xfy 在 点相应于自变量增量 0 x x 的微分 记作 即dyxAdy 二 求导方法二 求导方法 求导公式及其应用 略 复合函数求导法 略 隐函数的导数求法 例 6 求导公式及其应用 略 复合函数求导法 略 隐函数的导数求法 例 6 求由方程0sin 2 1 yyx所确定的隐函数 xfy 的二阶导数 2 2 dx yd 解 两边对x求导得 0cos 2 1 y y y y y cos2 2 由此得 3 22 2 cos2 sin4 cos2 sin2 cos2 2 y y y yy ydx d dx yd 方 法 二方 法 二 对 式 再 两 端 求 导 得 0sincos 2 1 yyyyyy 3 2 2 2 cos2 sin4 cos2 sin cos2 2 cos2 sin cos 2 1 1 sin 2 1 y y y y y y yy y yy y 4 参数方程确定的函数的导数求法 4 参数方程确定的函数的导数求法 1 若参数方程确定 ty tx x与之间函数关系 则称此函数为由参数方程所确定的函数 y 2 计算导数的方法 t t dtt dtt dx dy dx d dx yd dx dy 2 2 例 7 例 7 函数由参数方程确定 求 xfy ty udux t a sin sin dx dy 2 2 dx yd 15 解 tdtdy tdtdx cos sin t dx dy cot tdt dx dy d 2 csc tdx yd 32 2 sin 1 例 8 例 8 函数由方程确定 求 xfy 1sin 2 2 2 yyt ttx 2 2 dx yd 解 略 5 极坐标方程表示的的函数的导数求法 5 极坐标方程表示的的函数的导数求法 设极坐标方程为 化为直角坐标 进一步转化为直角坐标求解 sin cos y x 例 9 例 9 函数的极坐标方程为 求 xfy 2 e dx dy 解 sin cos 2 2 ey ex dedy dedx cossin2 sincos2 2 2 cossin2 sincos2 dx dy 形如的函数的导数求法 取对数求导法 形如的函数的导数求法 取对数求导法 xg xfy 例 10 例 10 求 x xy cos 1 sin dx dy 解 1ln sincosln xxy 方程两边关于x求导 1sin cos 1ln sinsin 1 2 x x xxy y 1sin cos 1ln sinsin 1 sin 2 cos x x xxxy x 7 分段函数的导数7 分段函数的导数 分段函数的导数在分段点通过左右倒数来讨论 例 11 例 11 设 00 0 x x x exg xf x 有二解连续的导数 xg 1 0 g 求 1 0 g xf 解 当时 0 x 2 x exgxexg xf xx 当时 0 x 2 1 0 2 lim 2 lim lim 0 00 2 0 gexg x exg x exg f x x x x x x 8 变动上线的积分表示的函数的导数8 变动上线的积分表示的函数的导数 16 连续 若 则 xf x a dttfxF xfxF 例 12 例 12 求导数 1 x x a t exdtet dx d 2cos 2cos 2 x x t exdtet dx d 2 3 2 4cos 2 2cos 3 xx x x t exexxdtet dx d 22 2 2cos 2 cos 2 2cos 2 2 4 x x a x a tt x a t exxdtet dx d dtetxx dx d dtetx dx d 2cos 2cos 2cos 2cos 5 1 0 dttxf dx d xf是连续函数 求 x dyyf x dttxftxy 0 1 0 1 则令 所以 1 1 0 2 1 0 xf x dyyf x dttxf dx d x 例 13 例 13 设可导 xf4 1 xf xxf 并且 1 00 1 x dttfdtxtf xxx2 23 求 xf 解 x dyyf x dttxftxy 0 1 0 1 则令 代入 1 00 1 x dttfdtxtfxxx2 23 得 两边两次求导 xx dttfxdttf 00 1 234 2xxx xxxf36 1 2 9156 2 xxxf 例 14 例 14 设函数 f x 连续 且 求极限0 0 f lim 0 0 0 x x x dttxfx dttftx 解 由于 于是 0 00 x xx utx duufduufdttxf x xx x x x x duufx dtttfdttfx dttxfx dttftx 0 00 0 0 0 0 lim lim 0 0 xfxf xf lin x 2 0 0 ff 1 0 f 17 x x x xxfduuf xxfxxfdttf 0 0 0 lim x x x xxfduuf dttf 0 0 0 lim 第四讲 微积分中存在性问题的证明方法 18 教学 目的 通过教学使学生掌握微积分中存在性问题证明的一般方法 熟练掌握用介 值定理或根的存在性定理证明存在性问题 用中值定理证明存在性问题 用泰 勒公式证明存在性问题 重 点 难 点 1 用介值定理或根的存在性定理证明存在性问题 2 用中值定理证明存在性问题 3 用泰勒公式证明存在性问题 教 学 提 纲 1 基本结论 1 有界性 最值性 零点定理 介值性定理 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西 中值定理 2 证明思路 1 设在 a b 上连续 条件中不涉及到导数或可微 证明存在 xf ba 使得 一般用介值定理或根的存在性定理 cxf 2 设在 a b 上连续 在 a b 上可导 证明存在 xf ba 使得结论中包含 和 一阶导数的等式成立 一般用中值定理 3 设在 a b 上连续 在 a b 上二阶可微 证明存在 xf ba 使得结论中包含 和二阶导数的等式成立 一般三次使用中值定理或用泰勒公式 4 设在 a b 上连续 在 a b 上三次 或以上 可导 证明存在 xf ba 使得 结论中包含 和三阶导数的等式成立 一般用泰勒公式 5 条 件 中 包 含时 要 首 先 使 用 积 分 中 值 定 理 处 理 得 到 b a dxxfcf fcf 作为其他证明的条件 存在性证明中辅助函数的构造方法 3 19 第四讲 微积分中存在性问题的证明方法第四讲 微积分中存在性问题的证明方法 微积分中存在性问题的证明问题涉及闭区间上连续函数的性质 微分中值定理 积分中值定理和 泰勒公式 是历年考试的重点 一定熟练掌握 这一问题的突破点是选择正确的解题思路并合理构造 辅助函数 有时辅助函数需要借助微分方程来寻找寻找 1 基本结论 基本结论 1 有界性 有界性 若 0 f xC a bMxa bf xM 2 最值性最值性 若 f xC a b 则 f x在 能取到最大值和最小值 a b 3 零点定理零点定理 若 f xC a b 且 0f a f b 则在 内至少存在一点c 使 a b 0f c 4 介值性介值性 若 f xC a b M m分别是 f x在上的最大值和最小值 则 a b m M 在 至少存在一点c 使 a b f c 5 罗尔定理罗尔定理 如果函数满足 1 在闭区间上连续 2 在开区间内可导 3 在区间端点处的函数值相等 即 那么在内至少在一点 xf ba ba bfaf ba ba 使得函数 在该点的导数等于零 即 xf 0 f 6 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数满足 1 在闭区间上连续 2 在开区间内可 导 那么在内至少有一点 xf ba ba ba ba 使得等式 abfafbf 7 柯西中值定理柯西中值定理 如果函数及在闭区间上连续 在开区间内可导 且在 内每一点均不为零 且在 内每一点均不为零 那末在内至少有一点 xf xF ba ba xF ba ba ba 使等式 F f aFbF afbf 成立 2 证明思路 证明思路 1 设在 a b 上连续 条件中不涉及到导数或可微 证明存在 xf ba 使得 一 般用介值定理或根的存在性定理 一 般用介值定理或根的存在性定理 cxf 2 设在 a b 上连续 在 a b 上可导 证明存在 xf ba 使得结论中包含 和一阶导数的 等式成立 一般用中值定理一般用中值定理 3 设在 a b 上连续 在 a b 上二阶可微 证明存在 xf ba 使得结论中包含 和二阶导 数的等式成立 一般三次使用中值定理或用泰勒公式一般三次使用中值定理或用泰勒公式 4 设在 a b 上连续 在 a b 上三次 或以上 可导 证明存在 xf ba 使得结论中包含 和三阶导数的等式成立 一般用泰勒公式一般用泰勒公式 5 条件中包含时 要首先使用积分中值定理积分中值定理处理 得到 b a dxxfcf fcf 作为其 他证明的条件 20 3 存在性证明中辅助函数的构造方法存在性证明中辅助函数的构造方法 存在性证明中成功构造辅助函数是解题的关键 辅助函数大多来源于结论 从对结论的分析中得出辅 助函数 例 1例 1 设在 0 2a 上连续 xf 2 0 aff 证明在 0 a 上存在 使得 faf 分析 0 0 xfxaffaffaf 证明 令 xfxafxG 0 ax 在 0 a 上连续 且 xG 0 2 affafafaG 0 0 fafG 当时 取 0 faf 0 即有 faf 当时 由根的存在性定理知存在 0 faf 0 0 k 分析分析 本题的难点是构造辅助函数 1 1 ff 1 ff fff xxfxfxf x xxfxxf x exxf 1 xfxe x 令 xfxexg x 1 1 fef 1 gg 证明 略 例 5例 5 设函数在 0 1 上连续 0 1 内可导 且 xf1 0 1 0 2 1 fff 证明 1 1 2 1 f 使 2 对于任意实数 1 0 ff 使 分析 本题的难点是构造辅助函数 1 ff 1 ff01 xxfxf xxfxf 1 xCedxexCexf x dxdx 1 22 令 Cexxf x xxfexg x 例 6例 6 设函数在 0 1 上连续 0 1 内可导 且 xf0 1 0 0 0 xfxf 证明 1 1 1 0 f f f f n 使 n为自然数 分析 本题构造辅助函数的难度大于上一题 需要积分 即解微分方程 方可得到 dx xf xf dx xf xf n xf xf xf f n f f f f n 1 1 1 1 1 1 1 ln ln 1 1 1 1 xfxfxf d xf xdf xf n n 1 1 xfxf n 证明 令 则在 0 1 上连续 在 0 1 上可导 且 1 xfxfxG n xG0G 1 0 G 使 1 0 0 G 即 0 1 1 1 fffxfnf nn 又 约去 整理得证 0 xf 1 xf n 例 7例 7 设函数在 0 1 上连续 在 0 1 上可导 xf0 0 f 1 1 f 证明 1 在 0 1 内存在 使得 1 f 2 在 0 1 内存在两个不同的点 1 ff使得 分析 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理 第二部分为双介值问题 可考虑用拉格朗 日中值定理 但应注意利用第一部分已得结论 证明 I 令xxfxF 1 则 F x 在 0 1 上连续 且 F 0 10 于是由介值 定理知 存在存在 1 0 使得0 F 即 1 f II 在 0 和 1 上对 f x 分别应用拉格朗日中值定理 知存在两个不同的点 1 0 使得 0 0 ff f 1 1 ff f 23 于是 1 1 1 1 1 ff ff 类似地还有 例 8例 8 设函数在 a b 上连续 在 a b 上可导 证明 在 a b 内存在 xf 使得 2 f ba f 例 9例 9 设函数在 a b 上连续 在 a b 上可导 xf1 bfaf明 在 a b 内存在证 使 得 e 1 ff 例 10 例 10 设函数 f x g x 在 a b 上连续 在 a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值 f a g a f b g b 证明 存在 a b 使得 fg 分 析 需 要 证 明 的 结 论 与 导 数 有 关 自 然 联 想 到 用 微 分 中 值 定 理 事 实 上 若 令 则问题转化为证明 F xf xg x 0F 只需对 F x 用罗尔定理 关键是找到 F x 的 端点函数值相等的区间 特别是两个一阶导数同时为零的点 而利用 F a F b 0 若能再找一点 使得 则在区间 上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点 再 对用罗尔定理即可 ca b 0F c a cc b F x 证明 构造辅助函数 由题设有 F a F b 0 又 f x g x 在 a b 内具有相等 的最大值 不妨设存在 F xf xg x 21 xx 21 baxx 使得 12 max max a ba b f xMf x g xMg x 若 令 则 21 xx 1 xc 0 F c 若 因 从而存在 21 xx xf xf ba ba 0 xf 则在单调增加 若在上总有 则 在单调减少 xf ba ba0 xf xf ba 评注 构造恰当的辅助函数是解决问题的基础 有时需要两次利用函数的单调性证明不等式 有 时需要对进行分割 分别在小区间上讨论 ba 例 例 证明 当0ab 分析 利用 参数变易法 构造辅助函数 再利用函数的单调性证明 解 令 sin2cossin2cos 0f xxxxxaaaaaxb 则 sincos2sincossinfxxxxxxxx 且 0f 又 cossincossin0fxxxxxxx 0 sinxxx0 时 故当0axb 则 f x单调增加 于是 即 0f bf a sin2cossin2cosbbbbaaaa 评注 证明数值不等式一般需构造辅助函数 辅助函数一般通过移项 使不等式一端为 0 另一端 为所作辅助函数 f x 然后求导验证 f x的增减性 并求出区间端点的函数值 或极限值 例例 2 设 证明 2 ebae 分析 即证a e ab e b 2 2 2 2 4 ln 4 ln 证明 设x e xx 2 2 4 ln 则 2 4ln 2 ex x x 2 ln1 2 x x x 所以当 x e 时 0 x 故 x 单调减少 从而当时 2 exe ee ex 26 即当时 2 exe x 单调增加 因此当时 2 ebae 即 a e ab e b 2 2 2 2 4 ln 4 ln 故 4 lnln 2 22 ab e ab 评注 本题也可设辅助函数为 2 2 22 4 lnln exaeax e axx xxxx 分析 当时 两端都等于 0 等号成立 应分1 x xxxx 2 22 1 ln 1 1 xxxx 3 1ln 1 1 ba ab a b 2 ln 分析分析 该题的关键是设辅助函数 由多种设法 1 2 ln xa ax a x xf eab 2 2 ln ln axaxbaxf eab 当然 第二种设法更简单 例例 5 设 证明 eax 0 axa xaa 分析分析 辅助函数也有多种设法 1 axa xaaxf eax 0 2 ln ln xaaaxaxf eax 0 3 yaayyflnln eay 当然 第三种设法更简单 练习 设 证明不等式0 ab ab ab ab ba a1lnln2 22 2 利用拉格朗日中值定理证明不等式利用拉格朗日中值定理证明不等式 27 对于不等式中含有拉格朗日中值定理先处理以下 可考虑用的因子 afbf 例例 6 证明 当 0 b a 时 b ba b a a ba ln 分析 即证 bba ba a 1lnln1 证明 令 在上使用拉格朗日中值定理 知存在 ln abxxxf ab 使 ab 1 lnln f ba ba ab 所以 ba 111 即 bba ba a 1lnln1 变形得证 例例 7 设 证明 2 ebae 证明 对函数在 a b 上应用拉格朗日中值定理 得 xxf 2 ln ln2 lnln 22 baabab 下面证明 4ln2 2 ba e 设 t t t ln 则 2 ln1 t t t 当 t e 时 0 22 2 2lnln ee e 故 4 lnln 2 22 ab e ab 例例 8 设 则ba 0 abab ab ba a1lnln2 22 提示 证明 abab ab1lnln pxx pp p 证明证明 令 1 0 1 xpxxf pp 由 0 1 11 pp xppxxf 得 球的惟一的驻点 11 1 pp xx 2 1 x 1 2 1 2 1 1 1 0 p fff 1 2 1 p 和 1 是在 0 1 上的最小值和最大值 xf 所以 1 1 2 1 1 pp p xx 利用函数的凹凸性证明不等式利用函数的凹凸性证明不等式 1 在上 若 则 ba 0 x f xfy 的图像是凹的 弦在图像的上方 在上 若 则 ba 0 x f xfy 的图像是凸的 弦在图像的下方 例例 10 设 2 0 解 2 0 tan xxxf 2 0 0tansec 2 xxxxf 所以的图像是凹的 xfy 2 2 1yx fyfxf 得证 利用泰勒公式证明不等式 见第七讲 利用泰勒公式证明不等式 见第七讲 29 第六讲 中值定理的其它应用 教学 目的 1 正确理解函数在指定区间上单调性的判定法 2 会球函数的极值与最值 3 掌握用定义及二阶导数判定函数图形的凹凸性并求出拐点 会求曲线的水平与垂直渐进线 重 点 难 点 重点 函数单调性的判定 曲线凹凸的判定及拐点的求法与判定 难点 函数单调性的判定 曲线凹凸的判定及拐点的求法与判定 教 学 提 纲 1 函数单调性的判定 2 一元函数的极值 极值是函数的局部概念 极值点在驻点及不可导点取得 极值点的判别法 3 曲线的凹凸性与拐点 曲线的凹凸性与其二阶导数的符号之间的关系 设 f x在 上连续 在 a b a b内具有一阶和二阶导数 那么 1 若在 a b内 0 则 fx f x在 a b上的图形是凹的 2 若在 a b内 0 则 fx 00 xx x 时 0fx 则 f x在 0 x处取 得极大值 若 0 0 xxx 时 而 0fx 则 f x 0 x处取得极小值 第二充分条件 第二充分条件 设函数 f x在 0 x处具有二阶导数且 00 0 0f xfx 当时 函数 0 0fx 时 函数 f x在 0 x处 取得极小值 求函数 f x的极值的步骤 1 求出导数 fx 2 求出 f x的全部驻点以及使得导数不存在的点 3 用第一充分判别法考察这些点是否为极值点 如果是 再判断类型 例例 1 求函数 3 2 11f xx 的极值 解 22 6 1 fxx x 由得 0fx f x的驻点为1 0 1xxx 22 6 1 51 fxxx 0 60 1 1 0fff f x在处取得极小值0 x 0 0f 31 在1 1xx 由第二充分判别法无法判定 1 1 0 0 1 1 x f 的符号 f x ZZ 的单调性 由第一充分判别法 f x在x1 1x 处都没有极值 例 例 求函数的单调区间与极值 2 2 1 2 x t dtetxxf 解 0 2 2 1 2 x t dtexxf 驻点为1 1 0 xxx 2 2 2 2 1 42 x x t exdtexf 0 0 f 0 x是极大值点 1 1 xx是极小值点 极大值为 1 2 1 1 e 是极小值为 单增区间 1 0 1 单减区间 1 0 1 例 例 设函数 f x 在内连续 其导函数的图形如图所示 判断 f x 有的极值 y O x 解 略 3 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点 曲线的凹凸性与其二阶导数的符号之间的关系 设 f x在 上连续 在 内具有一阶和二阶导数 那么 a b a b 若在 内 则 a b 0fx f x在 a b上的图形是凹的 若在 内 则 a b 0fx f x在 a b上的图形是凸的 32 拐点 曲线的凹 凸的分界点称为拐点 拐点必定在二阶导数等于 0 及不可导点取 得 例例 3 求曲线的拐点及凹 凸的区间 43 34yxx 1 解 函数的定义域为 32 1212yxx 2 2 362436 0 3 yxxx x 解这个方程的 12 2 0 3 xx 0 2 0 3 2 3 y 的符号 y的凹凸性 凹 凸 凹 所以点 2 11 0 1 3 27 是曲线的拐点 函数的最值函数的最值 1 最值必在驻点 不可导点和端点取得 2 最值反映了函数的整体性质 3 最 值 的 求 法 设 f x在 a b内 的 驻 点 及 不 可 导 点 为 12 n x xxL 比 较 12 n f af bf xf xf xL的大小 其中最小的是 a b上的最小值 最大的是 上的最大值 a b 例 例 求函数 1f xxx 5 x 1 的最值 解 2 1 2 1 fx x 由 0fx 解得 3 4 x 比较 35 5 65 1 1 44 ff f 得到在 5 1 上 f x的最小值为 5 65f 最大值为 35 44 f 函数的渐近线函数的渐近线 0 0 lim lim lim lim xxx xx f xxxf xK yK f x kf xkxb ykxb x LL L 铅直 水平 斜 33 例 求例 求曲线 2 1 x xey 的渐近线 分析 先考虑是否有水平渐近线 若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线 而是 否存在铅直渐近线 应看函数是否存在无定义点 解 当 x时 极限均不存在 故不存在水平渐近线 又因为 y x lim 1limlim 2 1 x xx e x y 0 lim 2 1 xxe x x 所以有斜渐近线 y x 另外 在 x 0 处 2 1 x xey 无 定义 且 2 1 0 lim x x xe 可见 x 0 为铅直渐近线 例 例 曲线 1 ln 1 x ye x 渐近线的条数为 分析 先找出无定义点 确定其是否为对应垂直渐近线 再考虑水平或斜渐近线 解 因为 0 1 lim ln 1 x x e x 所以0 x 为垂直渐近线 又又 1 lim ln 1 0 x x e x 所以 y 0 为水平渐近线 进一步 2 1ln 1 ln 1 limlim lim xx xxx yee xxxx lim1 1 x x x e e 1 lim 1 lim ln 1 x xx yxex x lim ln 1 x x ex li m ln 1 lim ln 1 0 xxx xx eexe 于是有斜渐近线 y x 例 例 求曲线 32 2 3 xx x xf的渐近线 解 1 32 23 3 xxx x x xf 得 再由 3 式 x1 k 2 32 2 3 x xx x kxxf 得从而求得此曲线的斜渐近线方程为 x 2 b 2 xy 又由 13 3 xx x xf易见 xf x3 lim xf x1 lim垂直渐近线方程为 1 3 xx 34 第七讲 泰勒公式及其应用 教学 目的 通过教学使学生掌握带有皮亚诺余项的泰勒公式 带有 Lagrange 型余项的 Taylor 公式 函数的Maclaurin公式 会用一阶泰勒公式解决问题 重 点 难 点 1 泰勒公式的内容 2 利用 Taylor 公式求极限 3 利用 Taylor 公式求证明题 教 学 提 纲 一 一阶泰勒公式 1 带有皮亚诺余项的泰勒公式 2 带有 Lagrange 型余项的 Taylor 公式 3 函数的 Maclaurin 公式 二 应用 1 把函数展开成 n 阶 Maclaurin 公式 xf 2 求的 n 阶导数 xf 3 利用 Taylor 公式求极限 4 利用 Taylor 公式求证明题 35 第七讲 泰勒公式其应用 第七讲 泰勒公式其应用 一 一阶泰勒公式 一 一阶泰勒公式 带有 Lagrange 型余项的 Taylor 公式 定理 1 泰勒 带有 Lagrange 型余项的 Taylor 公式 定理 1 泰勒 若函数 f 在 a b 上存在直到 n 阶的连续导函数 在 a b 内存在 n 1 阶导函数 则对任意给定的 至少存在一点 0 baxx 使得 1 1 00 000 1 1 nn nn fxfxf f xf xxxxxxx nn L 0 在之间 0 xx 2 带有皮亚诺余项的泰勒公式 定理 2 2 带有皮亚诺余项的泰勒公式 定理 2 若函数 f 在 a b 上存在直到 n 阶的连续导函数 则对任意给定的 0 baxx 00 000 0 1 n n fxfx f xf xxxxxxx n L 0 n 1 称为泰勒公式的余项泰勒公式的余项 3 函数的3 函数的MaclaurinMaclaurin公式 公式 2 10 2 n xn xx exx n L 3521 12 sin 1 0 3 5 21 m mm xxx xxx m L 242 21 cos1 1 0 2 4 2 m mm xxx xx m L 23 1 ln 1 1 0 23 n nn xxx xxx n L 2 1 1 1 1 10 2 n n xxx n x L L 2 1 10 1 nn xxxx x L 二 应用 二 应用 1 把函数展开成 n 阶1 把函数展开成 n 阶MaclaurinMaclaurin公式 公式 xf 例 例 把函数展开成含项的具PeanoPeano型余项的MaclaurinMaclaurin公式 22 sin xxxf 16 x 解 7 5 3 sin 7 753 x xxx xx 36 7 5 3 sin 14 14106 22 x xxx xx 7 5 3 sin 1