高考数学一轮复习 12.3 人教 A版数学归纳法考点及自测 理 新人教A版.doc

第3讲数学归纳法【2014年高考会这样考】1数学归纳法的原理及其步骤2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 考点梳理1归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法2数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0n*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kn*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立上述证明方法叫做数学归纳法【助学微博】一种表示数学归纳法的框图表示 两个防范数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据”，两个步骤缺一不可，在证明过程中要防范以下两点：(1)第一步验证nn0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值(2)第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明nk1时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就不是数学归纳法第二步关键是“一凑假设，二凑结论”三个注意运用数学归纳法应注意以下三点：(1)nn0时成立，要弄清楚命题的含义(2)由假设nk成立证nk1时，要推导详实，并且一定要运用nk成立的结论(3)要注意nk到nk1时增加的项数考点自测1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验第一个值n0 等于()a1 b2 c3 d0解析边数最少的凸n边形是三角形答案c2某个命题与自然数n有关，若nk(kn*)时命题成立，那么可推得当nk1时该命题也成立，现已知n5时，该命题不成立，那么可以推得()an6时该命题不成立 bn6时该命题成立cn4时该命题不成立 dn4时该命题成立解析其逆否命题“若当nk1时该命题不成立，则当nk时也不成立”为真，故“n5时不成立”“n4时不成立”答案c3用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，从nk到nk1，左边需增添的代数式是()a2k2 b2k3c2k1 d(2k2)(2k3)解析当nk时，左边是共有2k1个连续自然数相加，即123(2k1)，所以当nk1时，左边是共有2k3个连续自然数相加，即123(2k1)(2k2)(2k3)答案d4用数学归纳法证明34n152n1(nn)能被8整除时，当nk1时，对于34(k1)152(k1)1可变形为()a5634k125(34k152k1)b3434k15252kc34k152k1d25(34k152k1)解析因为要使用归纳假设，必须将34(k1)152(k1)1分解为归纳假设和能被8整除的两部分所以应变形为5634k125(34k152k1)答案a5(2013长春一模)已知f(n)1(nn*)，用数学归纳法证明f(2n)时，f(2k1)f(2k)_.解析f(2k1)1，f(2k)1，f(2k1)f(2k).答案 考向一用数学归纳法证明等式【例1】(2012天津)已知an是等差数列，其前n项和为sn，bn是等比数列，且a1b12，a4b427，s4b410.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记tnanb1an1b2a1bn，nn*，证明tn122an10bn(nn*)审题视点 (1)利用等差数列，等比数列的通项公式，求和公式建立方程组求解；(2)可以以算代证，利用错位相减法求和，与自然数有关的问题也可以用数学归纳法证明(1)解设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由a1b12，得a423d，b42q3，s486d.由条件，得方程组，解得所以an3n1，bn2n，nn*.(2)证明法一当n1时，t112a1b11216，2a110b116，故等式成立；假设当nk时等式成立，即tk122ak10bk，则当nk1时有tk1ak1b1akb2ak1b3a1bk1ak1b1q(akb1ak1b2a1bk)ak1b1qtkak1b1q(2ak10bk12)2ak14(ak13)10bk1242ak110bk112，即tk1122ak110bk1.因此nk1时等式也成立由可知，对任意nn*，tn122an10bn成立法二由(1)得tn2an22an123an22na1，2tn22an23an12nan2n1a1.，得tn2(3n1)32232332n2n22n26n2102n6n10.而2an10bn122(3n1)102n12102n6n10，故tn122an10bn，nn*. (1)用数学归纳法证明等式其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是几；(2)由nk到nk1时，除等式两边变化的项外还要充分利用nk时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明【训练1】 用数学归纳法证明：对任意的nn*，.证明(1)当n1时，左边，右边，左边右边，所以等式成立(2)假设当nk(kn*且k1)时等式成立，即有，则当nk1时，所以当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切nn*等式都成立 考向二用数学归纳法证明整除问题【例2】是否存在正整数m使得f(n)(2n7)3n9对任意自然数n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由审题视点 观察所给函数式，凑出推理要证明所需的项解由f(n)(2n7)3n9得，f(1)36，f(2)336，f(3)1036，f(4)3436，由此猜想：m36.下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，显然成立；(2)假设nk(kn*且k1)时，f(k)能被36整除，即f(k)(2k7)3k9能被36整除；当nk1时，2(k1)73k19(2k7)3k1272723k193(2k7)3k918(3k11)，由于3k11是2的倍数，故18(3k11)能被36整除，这就是说，当nk1时，f(n)也能被36整除由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)(2n7)3n9能被36整除，m的最大值为36. 应用数学归纳法证明整除性问题主要分为两类：一是整除数，二是整除代数式这两类证明最关键的问题是“配凑”要证的式子(或是叫做“提公因式”)，即当nk1时，将nk时假设的式子提出来，再变形，可证【训练2】 (2013南京一模)已知数列an满足a10，a21，当nn*时，an2an1an.求证：数列an的第4m1项(mn*)能被3整除证明(1)当m1时，a4m1a5a4a3(a3a2)(a2a1)(a2a1)2a2a13a22a1303.即当m1时，第4m1项能被3整除故命题成立(2)假设当mk时，a4k1能被3整除，则当mk1时，a4(k1)1a4k5a4k4a4k32a4k3a4k22(a4k2a4k1)a4k23a4k22a4k1.显然，3a4k2能被3整除，又由假设知a4k1能被3整除3a4k22a4k1能被3整除即当mk1时，a4(k1)1也能被3整除命题也成立由(1)和(2)知，对于nn*，数列an中的第4m1项能被3整除 考向三用数学归纳法证明不等式【例3】(2012全国)函数f(x)x22x3.定义数列xn如下：x12，xn1是过两点p(4,5)、qn(xn，f(xn)的直线pqn与x轴交点的横坐标(1)证明：2xnxn13；(2)求数列xn的通项公式审题视点 (1)由已知须求出xn1与xn的关系式，然后考虑用数学归纳法证明2xn3，再用比较法证明xnxn1；(2)利用“不动点法”证明为等比数列，可求得的通项公式(1)证明用数学归纳法证明：2xnxn13.当n1时，x12，直线pq1的方程为y5(x4)，令y0，解得x2，所以2x1x23.假设当nk时，结论成立，即2xkxk13.直线pqk1的方程为y5(x4)，令y0，解得xk2.由归纳假设，知xk240，即xk1xk2.所以2xk1xk23，即当nk1时，结论成立由知对任意的正整数n,2xnxn10，a11，由s2a1a2，得a2a210，a21.又由s3a1a2a3，得a2a310，a3.(2)猜想an(nn*)证明：当n1时，a11，猜想成立假设当nk(kn*)时，猜想成立，即ak，则当nk1时，ak1sk1sk，即ak1，a2ak110，ak1.即nk1时猜想成立由知，an(nn*) 利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性【训练4】 (2013绵阳一模)已知数列xn满足x1，xn1，nn*.(1)猜想数列x2n的单调性，并证明你的结论；(2)证明：|xn1xn|n1.(1)解由x1及xn1，得x2，x4，x6，由x2x4x6猜想：数列x2n是递减数列下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，已证命题成立(2)假设当nk时命题成立，即x2kx2k2，易知xk0，那么x2k2x2k40，即x2(k1)x2(k1)2.也就是说，当nk1时命题也成立结合(1)和(2)知命题成立(2)证明当n1时，|xn1xn|x2x1，结论成立当n2时，易知0xn11，1xn1，(1xn)(1xn1)(1xn1)2xn1，|xn1xn|xnxn1|2|xn1xn2|n1|x2x1|n1. 规范解答19数学归纳法的应用 【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，其“观察归纳猜想证明”的思维模式成为高考命题的热点之一从考查题型看，数学归纳法常与数列、函数等知识结合在一起考查，常以解答题的形式出现，具有一定的综合性和难度，属中高档题预计在今后的高考中，对数学归纳法的考查将保持相对稳定的考查方式，考查时仍将以解答题为主【真题探究】 (本小题满分14分)(2012湖北)(1)已知函数f(x)rxxr(1r)(x0)，其中r为有理数，且0r1，求f(x)的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a10，a20，b1，b2为正有理数，若b1b21，则a1b1a2b2a1b1a2b2；(3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题注：当为正有理数时，有求导公式(x)x1.教你审题 (1)求函数最值可考虑先利用导数判断函数单调性，然后再求最值，(2)对于不等式的证明要注意利用第(1)问的结论进行突破；(3)本问数学归纳法的运用相对而言难度高，运算量大，在归纳证明时一要细心运算，二要注意假设条件的恰当运用规范解答 (1)f(x)rrxr1r(1xr1)，令f(x)0，解得x1.(1分)当0x1时，f(x)1时，f(x)0，所以f(x)在(1，)内是增函数(3分)故函数f(x)在x1处取得最小值f(1)0.(4分)(2)由(1)知，当x(0，)时，有f(x)f(1)0，即xrrx(1r)若a1，a2中有一个为0，则ab11ab22a1b1a2b2成立若a1，a2均不为0，由b1b21，可得b21b1，于是在中令x，rb1，可得b1b1(1b1)，(6分)即ab11a1b12a1b1a2(1b1)，亦即ab11ab22a1b1a2b2.综上，对a10，a20，b1，b2为正有理数，且b1b21，总有ab11ab22a1b1a2b2(8分)(3)(2)中命题的推广形式为：设a1，a2，an为非负实数，b1，b2，bn为正有理数若b1b2bn1，则ab11ab22abnna1b1a2b2anbn，用数学归纳法证明如下：a当n1时，b11，有a1a1，成立b假设当nk时，成立，即若a1，a2，ak为非负实数，b1，b2，bk为正有理数，且b1b2bk1，则ab11ab22abkka1b1a2b2akbk.(10分)当nk1时，已知a1，a2，ak，ak1为非负实数，b1，b2，bk，bk1为正有理数，且b1b2bkbk11，此时0bk10，于是ab11ab22abk1k1(ab11ab22abkk)abk1k1(a1a2ak)1bk1abk1k1.因为1，由归纳假设可得a1a2aka1a2ak(12分)从而ab11ab22abkkabk1k11bk1abk1k1.又因为(1bk1)bk11，由得1bk1abk1k1(1bk1)ak1bk1a1b1a2b2akbkak1bk1，从而ab11ab22abkkabk1k1a1b1a2b2akbkak1bk1.故当nk1时，成立(13分)由a，b可知，对一切正整数n，所推广的命题成立(14分)说明：(3)中如果推广形式中指出式对n2成立，则后续证明中不需讨论n1的情况阅卷老师手记 解决数学归纳法中“归纳猜想证明”问题及不等式证明时要特别关注：一是需验证n1，n2时结论成立，易忽略验证n2；二是需要熟练掌握数学归纳法几种常见的推证技巧，才能快速正确地解决问题除此外，应用数学归纳法时，以下几点容易造成失分：1把初始值搞错；2在推证nk1时，没有用上归纳假设；3对项数估算的错误，特别是寻找nk与nk1的关系时，项数发生的变化被弄错【试一试】 设数列an的前n项和为sn，并且满足2snan，an0(nn*)(1)猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明(2)设x0，y0，且xy1，证明：.(1)解分别令n1,2,3，得an0，a11，a22，a33.猜想：ann.由2snan可知，当n2时，2sn1a(n1)，得2anaa1，即a2ana1，(i)当n2时，a2a2121，a20，a22.(ii)假设当nk(k2)时，akk，那么当nk1时，a2ak1a12ak1k21ak1(k1)ak1(k1)0，ak10，k2，ak1(k1)0，ak1k1.即当nk1时也成立ann(n2)显然n1时，也成立，故对于一切nn*，均有ann.(2)证明要证，只要证nx12 ny12(n2)即n(xy)222(n2)，将xy1代入，得 2n2，即只要证4(n2xyn1)(n2)2，即4xy1.x0，y0，且xy1，即xy，故4xy1成立，所以原不等式成立 a级基础演练(时间：30分钟满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1用数学归纳法证明不等式1(nn*)成立，其初始值至少应取() a7 b8 c9 d10解析左边12，代入验证可知n的最小值是8.答案b2用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”，在第二步时，正确的证法是()a假设nk(kn)，证明nk1命题成立b假设nk(k是正奇数)，证明nk1命题成立c假设n2k1(kn)，证明nk1命题成立d假设nk(k是正奇数)，证明nk2命题成立解析a、b、c中，k1不一定表示奇数，只有d中k为奇数，k2为奇数答案d3用数学归纳法证明1，则当nk1时，左端应在nk的基础上加上()a. bc. d.解析当nk时，左侧1，当nk1时，左侧1.答案c4对于不等式n1(nn*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kn*且k1)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，1，nn*)，求证：s2n1(n2，nn*)证明(1)当n2时，s2ns411，即n2时命题成立；(2)假设当nk(k2，kn*)时命题成立，即s2k11，则当nk1时，s2k111111，故当nk1时，命题成立由(1)和(2)可知，对n2，nn*.不等式s2n1都成立8(13分)已知数列an：a11，a22，a3r，an3an2(nn*)，与数列bn：b11，b20，b31，b40，bn4bn(nn*)记tnb1a1b2a2b3a3bnan.(1)若a1a2a3a1264，求r的值；(2)求证：t12n4n(nn*)(1)解a1a2a3a1212r34(r2)56(r4)78(r6)484r.484r64，r4.(2)证明用数学归纳法证明：当nn*时，t12n4n.当n1时，t12a1a3a5a7a9a114，故等式成立假设nk时等式成立，即t12k4k，那么当nk1时，t12(k1)t12ka12k1a12k3a12k5a12k7a12k9a12k114k(8k1)(8kr)(8k4)(8k5)(8kr4)(8k8)4k44(k1)，等式也成立根据和可以断定：当nn*时，t12n4n. b级能力突破(时间：30分钟满分：45分) 一、选择题(每小题5分，共10分)1用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()ak21b(k1)2c.d(k21)(k22)(k23)(k1)2解析当nk时，左侧123k2，当nk1时，左侧123k2(k21)(k1)2当nk1时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.答案d2(2013广州一模)已知123332433n3n13n(nab)c对一切nn*都成立，则a、b、c的值为()aa，bc babcca0，bc d不存在这样的a、b、c解析等式对一切nn*均成立，n1,2,3时等式成立，即整理得解得a，bc.答案a二、填空题(每小题5分，共10分)3已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，则第60个数对是_解析本题规律：211；31221；4132231；514233241；一个整数n所拥有数对为(n1)对设123(n1)60，60，n11时还多5对数，且这5对数和都为12，12111210394857，第60个数对为(5,7)答案(5,7)4已知数列an的通项公式an(nn*)，f(n)(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)的值是_解析f(1)1a11，f(2)(1a1)(1a2)f(1)，f(