高考数学一轮复习 11.5 几何概型考点及自测 理 新人教A版.doc

第5讲几何概型【2014年高考会这样考】考查与长度或面积有关的几何概型，也可与二元一次不等式组所表示的平面区域相结合一起考查 考点梳理几何概型(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型(2)特点：无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；等可能性：每个结果的发生具有等可能性(3)公式：p(a).【助学微博】一个判定标准试验结果无限且等可能两种类型(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决考点自测1(2013漳州一模)在区间20,80内随机任取一实数a，则实数a属于区间50,75的概率是()a. b. c. d.解析由几何概型概率计算公式可知p.答案c2一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是()a. b. c. d.解析以时间的长短进行度量，故p.答案b3(2012北京)设不等式组表示的平面区域为d，在区域d内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()a. b. c. d.解析如图所示，正方形oabc及其内部为不等式组表示的区域d，且区域d的面积为4，而阴影部分表示的是区域d内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4，因此满足条件的概率是.故选d.答案d4(2012福建)如图所示，在边长为1的正方形oabc中任取一点p，则点p恰好取自阴影部分的概率为()a. b.c. d.解析阴影部分的面积为(x)dx.故所求的概率p，故选c.答案c5.如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为_解析由几何概型知，故s阴22.答案 考向一与长度(角度)有关的几何概型【例1】(1)已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为_(2)如图，四边形abcd为矩形，ab，bc1，以a为圆心，1为半径作四分之一个圆弧de，在dab内任作射线ap，则射线ap与线段bc有公共点的概率为_审题视点 解题的关键是确定构成事件的区域(1)测度是“长度”；(2)测度是“角度”解析(1)由题意可知，三角形的边长的和为5121330，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3101124，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为.(2)因为在dab内任作射线ap，则等可能基本事件为“dab内作射线ap”，所以它的所有等可能事件所在的区域h是dab，当射线ap与线段bc有公共点时，射线ap落在cab内，区域h为cab，所以射线ap与线段bc有公共点的概率为.答案(1)(2) 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同的度量手段【训练1】 (1)有一根长为1米的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两截的长度都大于米的概率为_(2)如图，在abc中，b60，c45，高ad，在bac内作射线am交bc于点m，求bm1的概率_解析(1)所求概率p.(2)b60，c45，bac75，在rtadb中，ad，b60，bd1，bad30.记事件n为“在bac内作射线am交bc于点m，使bm1”，则可得bam0，即ab.在如图所示的平面直角坐标系内，(a，b)的所有可能结果是边长为1的正方形(不包括边界)，而事件a“方程x2有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界)由几何概型公式可得p(a).故选b.答案b二、填空题(每小题5分，共10分)3(2013武汉一模)有一个底面圆的半径为1，高为3的圆柱，点o1，o2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点p，则点p到点o1，o2的距离都大于1的概率为_解析确定点p到点o1，o2的距离小于等于1的点的集合为，以点o1，o2为球心，1为半径的两个半球，求得体积为v213，圆柱的体积为vsh3，所以点p到点o1，o2的距离都大于1的概率为v1.答案4(2012烟台二模)已知正三棱锥sabc的底边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点p，使得vpabcvsabc的概率是_解析三棱锥pabc与三棱锥sabc的底面相同，vpabcvsabc就是三棱锥pabc的高小于三棱锥sabc的高的一半，过高的中点作一平行底面的截面，这个截面下任取一点都符合题意，设底面abc的面积为s，三棱锥sabc的高为h，则所求概率为：p.答案三、解答题(共25分)5(12分)(2013深圳调研)设函数f(x)x2bxc，其中b，c是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件a“f(1)5且f(0)3”发生的概率(1)若随机数b，c1,2,3,4；(2)已知随机函数rand()产生的随机数的范围为x|0x1，b，c是算法语句b4*rand( )和c=4*rand( )的执行结果.（注：符号“*”表示“乘号”）解由f(x)x2bxc知，事件a“f(1)5且f(0)3”，即(1)因为随机数b，c1,2,3,4，所以共等可能地产生16个数对(b，c)，列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)事件a：包含了其中6个数对(b，c)，即：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)所以p(a)，即事件a发生的概率为.(2)由题意，b，c均是区间0,4中的随机数，点(b，c)均匀地分布在边长为4的正方形区域中(如图)，其面积s()16.事件a：所对应的区域为如图所示的梯形(阴影部分)，其面积为s(a)(14)3.所以p(a)，即事件a发生的概率为.6(13分)甲、乙两艘船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率解甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内甲需等待以y和x分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘