高考数学一轮复习 第7章《立体几何》（第7课时）知识过关检测 理 新人教A版 (2)(1).doc

2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第7章立体几何（第7课时）（新人教a版）一、选择题1(2013天水调研)已知二面角-l-的大小是，m，n是异面直线，且m，n，则m，n所成的角为()a.b.c. d.解析：选b.m，n，异面直线m，n所成的角的补角与二面角-l-互补又异面直线所成角的范围为，m，n所成的角为.2正方体abcda1b1c1d1中，bb1与平面acd1所成角的余弦值为()a. b.c. d.解析：选d.如图，连接bd交ac于o，连接d1o.由于bb1dd1，dd1与平面acd1所成的角就是bb1与平面acd1所成的角易知dd1o即为所求设正方体的棱长为1，则dd11，do，d1o，cosdd1o.3.如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，棱长为a，m，n分别为a1b和ac上的点，a1man，则mn与平面bb1c1c的位置关系是()a相交 b平行c垂直 d不能确定解析：选b.分别以c1b1，c1d1，c1c所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系a1mana，m，n.又c1(0,0,0)，d1(0，a,0)，(0，a,0)0.是平面bb1c1c的一个法向量，且mn平面bb1c1c，mn平面bb1c1c.4直三棱柱abca1b1c1中，acb90，bac30，bc1，aa1，m是cc1的中点，则异面直线ab1与a1m所成的角为()a60 b45c30 d90解析：选d.建立坐标系如图所示，易得m(0,0，)，a1(0，0)，a(0，)，b1(1,0,0)，(1，)，(0，)1030，.即ab1a1m.5(2013本溪质检)若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是()a. b.c. d.解析：选b.以正三棱锥oabc的顶点o为原点，oa，ob，oc为x，y，z轴建系(图略)，设侧棱长为1，则a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0,0,1)，侧面oab的法向量为(0,0,1)，底面abc的法向量为n(，)，cos，n.二、填空题6已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且bp平面abc，则实数x，y，z分别为_解析：由题知，.所以即解得，x，y，z4.答案：，47(2013贵阳调研)长方体abcda1b1c1d1中，abaa12，ad1，e为cc1的中点，则异面直线bc1与ae所成角的余弦值为_解析：建立坐标系如图，则a(1,0,0)，e(0,2,1)，b(1,2,0)，c1(0,2,2)，(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.答案：8.如图所示，已知正三棱柱abca1b1c1的所有棱长都相等，d是a1c1的中点，则直线ad与平面b1dc所成角的正弦值为_解析：不妨设正三棱柱abca1b1c1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系(x轴垂直于ab)，则c(0,0,0)，a(，1,0)，b1(，1,2)，d(，2)，则(，2)，(，1,2)设平面b1dc的法向量为n(x，y,1)，由解得n(，1,1)又(，2)，sin|cos，n|.答案：三、解答题9.如图所示，在三棱锥pabc中，abbc，平面pac平面abc，pdac于点d，ad1，cd3，pd.(1)证明：pbc为直角三角形；(2)求直线ap与平面pbc所成角的正弦值解：(1)证明：因为平面pac平面abc，平面pac平面abcac，pd平面pac，pdac，所以pd平面abc.记ac边上的中点为e，在abc中，abbc，所以beac.因为abbc，ac4，所以be.因为pdac，所以pcd为直角三角形因为pd，cd3，所以pc2.连接bd，在rtbde中，因为be，de1，所以bd.因为pd平面abc，bd平面abc，所以pdbd.在rtpbd中，因为pd，bd，所以pb.在pbc中，因为bc，pb，pc2，所以bc2pb2pc2，即pbc为直角三角形(2)以点e为坐标原点，以eb，ec所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系exyz，则a(0，2,0)，b(，0,0)，c(0,2,0)，p(0，1，)于是(0,1，)，(，1，)，(0,3，)设平面pbc的法向量为n(x，y，z)，则，即.取y1，则z，x，所以平面pbc的一个法向量为n(，1，)设直线ap与平面pbc所成的角为，则sin|cos，n|.所以直线ap与平面pbc所成角的正弦值为.10.(2012高考课标全国卷)如图，直三棱柱abca1b1c1中，acbcaa1，d是棱aa1的中点，dc1bd.(1)证明：dc1bc；(2)求二面角a1bdc1的大小解：(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于d为aa1的中点，故dcdc1.又acaa1，可得dcdc2cc，所以dc1dc.而dc1bd，dcbdd，所以dc1平面bcd.又bc平面bcd，故dc1bc.(2)由(1)知bcdc1，且bccc1，则bc平面acc1a1，所以ca，cb，cc1两两相互垂直以c为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.由题意知a1(1,0,2)，b(0,1,0)，d(1,0,1)，c1(0,0,2)则(0,0，1)，(1，1,1)，(1,0,1)设n(x，y，z)是平面a1b1bd的法向量，则即可取n(1,1,0)同理，设m是平面c1bd的法向量，则可取m(1,2,1)从而cosn，m.故二面角a1bdc1的大小为30.一、选择题1(2012高考陕西卷)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱abca1b1c1，cacc12cb，则直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为()a. b.c. d.解析：选a.设ca2，则c(0,0,0)，a(2,0,0)，b(0,0,1)，c1(0,2,0)，b1(0,2,1)，可得向量(2,2,1)，(0,2，1)，由向量的夹角公式得cos，故选a.2(2011高考全国大纲卷)已知直二面角l，点a，acl，c为垂足，点b，bdl，d为垂足，若ab2，acbd1，则cd()a2 b.c. d1解析：选c.如图，建立直角坐标系dxyz，由已知条件b(0,0,1)，a(1，t,0)(t0)，由ab2解得t.二、填空题3(2013茂名调研)正四棱锥sabcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且sood，则直线bc与平面pac的夹角的大小为_解析：如图所示，以o为原点建立空间直角坐标系oxyz.设odsooaoboca，则a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(a,0,0)，p.则(2a,0,0)，(a，a,0)设平面pac的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60，直线bc与平面pac的夹角为906030.答案：304(2011高考大纲全国卷)已知点e、f分别在正方体abcda1b1c1d1的棱bb1、cc1上，且b1e2eb，cf2fc1，则面aef与面abc所成的二面角的正切值等于_解析：如图，建立空间直角坐标系设面abc的法向量为n1(0,0,1)，面aef的法向量为n2(x，y，z)设正方体的棱长为1，a(1,0,0)，e，f，则取x1，则y1，z3.故n2(1，1,3)，cosn1，n2，面aef与面abc所成的二面角的平面角满足cos，sin，tan.答案：三、解答题5.如图，已知四棱锥pabcd的底面为等腰梯形，abcd，acbd垂足为h，ph是四棱锥的高，e为ad的中点(1)证明：pebc；(2)若apbadb60，求直线pa与平面peh所成角的正弦值解：以h为原点，ha、hb、hp所在直线分别为x轴，y轴，z轴，线段ha的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，