高考数学一轮必备 14.1《平行截割定理与相似三角形》考情分析学案(1).doc

第1讲平行截割定理与相似三角形考情分析在高考中主要考查相似三角形的判定及有关性质、直角三角形射影定理的应用，其中相似三角形的判定及性质常与圆的知识综合在一起考查。基础知识1.平行线等分线段定理定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边推论2经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰 2平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例3相似三角形的判定及性质(1)相似三角形的判定定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 判定定理1对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似判定定理2对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理3对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似 (2)两个直角三角形相似的判定定理如果两个直角三角形的一个锐角对应相等，那么它们相似如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 (3)相似三角形的性质性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； 相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似比，外接圆(或内切圆)的面积比等于相似比的平方4、直角三角形的射影定理直角三角形的斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两条直角边分别是他们在斜边上射影与斜边的比例中项。巩固提高1如图所示，已知abc，直线m、n分别与a、b、c交于点a，b，c和a，b，c，如果abbc1，ab，则bc_. 解析由平行线等分线段定理可直接得到答案答案2如图所示，bd、ce是abc的高，bd、ce交于f，写出图中所有与ace相似的三角形_ 解析由rtace与rtfcd和rtabd各共一个锐角，因而它们均相似，又易知bfea，故rtacertfbe.答案fcd、fbe、abd3如图，在abc中，m、n分别是ab、bc的中点，an、cm交于点o，那么mon与aoc面积的比是_解析m、n分别是ab、bc中点，故mn綉ac，moncoa，.答案144如图所示，已知debc，bfef32，则acae_，addb_. 解析debc，.bfef32，.acae32.同理debc，得abad32，即.，即2.即2.adbd21.答案32215如图，在直角梯形abcd中，dcab，cbab，abada，cd，点e、f分别为线段ab、ad的中点，则ef_. 解析连接de和bd，依题知，ebdc，ebdc，ebcd为平行四边形，cbab，deab，又e是ab的中点，故addba，e，f分别是ad、ab的中点，efdba.答案题型一平行截割定理的应用【例1】在梯形abcd中，adbc，ad2，bc5，点e、f分别在ab、cd上，且efad，若，则ef的长为_解析如图所示，延长ba、cd交于点p，adbc， ，又，.adef，又ad2，ef.答案【变式1】 如图，在abc中，debc，efcd，若bc3，de2，df1，则ab的长为_解析由，又df1，故可解得af2，ad3，又，ab.答案题型二相似三角形的判定和性质的应用【例2】已知，如图，在abc中，abac，bdac，点d是垂足求证：bc22cdac. 证明过点a作aebc，垂足为e，cebebc，由bdac，aebc.又cc，aecbdc.，即bc22cdac.【变式2】如图，在abc中，debc，dfac，aeac35，de6，则bf_. 解析因为debc，所以adeabc，所以，即，所以bc10.又dfac，所以四边形decf是平行四边形，故bfbcfcbcde1064.答案4题型三直角三角形射影定理的应用【例3】已知圆的直径ab13，c为圆上一点，过c作cdab于d(adbd)，若cd6，则ad_.解析如图，连接ac，cb，ab是o的直径，acb90 设adx，cdab于d，由射影定理得cd2addb，即62x(13x)，x213x360，解得x14，x29.adbd，ad9.答案9【变式3】 在abc中，acb90，cdab于d，adbd23.则acd与cbd的相似比为_解析如图所示，在rtacb中，cdab，由射影定理得：cd2adbd，又adbd23，令ad2x，bd3x(x0)，cd26x2，cdx.又adcbdc90，acdcbd.易知acd与cbd的相似比为.即相似比为3.答案3 重难点突破【例3】如图，d，e分别为的边ab，ac上的点，且不与的顶点重合已知ae的长为m，ac的长为n，ad，ab的长是关于x的方程的两个根（i）证明：c，b，d，e四点共圆；（ii）若，且求c，b，d，e所在圆的半径解：（i）连接de，根据题意在ade和acb中， adab=mn=aeac， 即.又dae=cab，从而adeacb 因此ade=acb 所以c，b，d，e四点共圆。（）m=4， n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12.故 ad=2，ab=12.取ce的中点g，db的中点f，分别过g，f作ac，ab的垂线，两垂线相交于h点，连接dh.因为c，b，d，e四点共圆，所以c，b，d，e四点所在圆的圆心为h，半径为dh.由于a=900，故ghab， hfac. hf=ag=5，df= (12-2)=5.故c，b，d，e四点所在圆的半径为5巩固提高1如图所示，已知abc，直线m、n分别与a、b、c交于点a，b，c和a，b，c，如果abbc1，ab，则bc_. 解析由平行线等分线段定理可直接得到答案答案2如图所示，bd、ce是abc的高，bd、ce交于f，写出图中所有与ace相似的三角形_ 解析由rtace与rtfcd和rtabd各共一个锐角，因而它们均相似，又易知bfea，故rtacertfbe.答案fcd、fbe、abd3如图，在abc中，m、n分别是ab、bc的中点，an、cm交于点o，那么mon与aoc面积的比是_解析m、n分别是ab、bc中点，故mn綉ac，moncoa，.答案144如图所示，已知debc，bfef32，则acae_，addb_. 解析debc，.bfef32，.acae32.同理debc，得abad32，即.，即2.即2.adb