高考数学二轮专题复习 几何证明选讲提分训练 文 新人教版.doc

几何证明选讲高考试题考点一 相似三角形的判定与性质1.(2013年陕西卷,文15b)(几何证明选做题)如图,ab与cd相交于点e,过e作bc的平行线与ad的延长线交于点p.已知a=c,pd=2da=2,则pe=.解析:由bcpe,得c=ped,又a=c,得ped=a,p为dpe与epa的公共角,所以pedpae, =,pe2=pdpa.由pd=2,da=1,得pa=3,pe=.答案:2.(2011年陕西卷,文15b)如图,b=d,aebc,acd=90,且ab=6,ac=4,ad=12,则ae=.解析:由b=d,aebc,acd=90知abeadc,则=,ae=2.答案:23.(2012年辽宁卷,文22)如图,o和o相交于a,b两点,过a作两圆的切线分别交两圆于c、d两点,连结db并延长交o于点e.证明:(1)acbd=adab;(2)ac=ae.证明:(1)由ac与o相切于a,得cab=adb,同理acb=dab,所以acbdab,从而=,即acbd=adab.(2)由ad与o相切于a,得aed=bad,又ade=bda,得eadabd.从而=,即aebd=adab,结合(1)的结论,ac=ae.考点二 直线和圆的位置关系1.(2013年天津卷,文13)如图,在圆内接梯形abcd中,abdc.过点a作圆的切线与cb的延长线交于点e.若ab=ad=5,be=4,则弦bd的长为.解析:因为ae是圆的切线,abdc,所以bc=ad=ab=5,又be=4,则ea2=ebec=49=36,ea=6.由cdb=cab=acb=bae,即cdb=bae,dcb=abe,得dcbabe,则=,则bd=.答案:2.(2012年陕西卷,文15b)如图,在圆o中,直径ab与弦cd垂直,垂足为e,efdb,垂足为f,若ab=6,ae=1,则dfdb=.解析:rtdefrtdbe,=,即de2=dfdb,又由相交弦定理得de2=aeeb=15=5,dfdb=5.答案:53.(2012年天津卷,文13)如图,已知ab和ac是圆的两条弦,过点b作圆的切线与ac的延长线相交于点d.过点c作bd的平行线与圆相交于点e,与ab相交于点f,af=3,fb=1,ef=,则线段cd的长为.解析:由相交弦定理知affb=effc,又af=3,fb=1,ef=,fc=2,又fcbd,=,bd=,又=,ad=4cd.又由切割线定理知db2=dcda,=4cd2,cd=.答案:4.(2010年陕西卷,文15b)如图,已知rtabc的两条直角边ac,bc的长分别为3 cm,4 cm,以ac为直径的圆与ab交于点d,则bd= cm.解析:法一rtabc中,ac=3,bc=4,ab=5.如图,连接cd,则cdab.由射影定理得bc2=bdab,即42=5bd,bd=(cm).法二acb=90,ac=3,bc=4,ac为o的直径,ab=5,bc为o的切线,ab为o的割线,bc2=bdab,42=5bd,bd=(cm).答案:5.(2013年新课标全国卷,文22)如图,直线ab为圆的切线,切点为b,点c在圆上,abc的角平分线be交圆于点e,db垂直be交圆于点d.(1)证明:db=dc;(2)设圆的半径为1,bc=,延长ce交ab于点f,求bcf外接圆的半径.(1)证明:连接de,交bc于点g.由弦切角定理得,abe=bce.而abe=cbe,故cbe=bce,be=ce.又dbbe,所以de为直径,则dce=90,由勾股定理可得db=dc.(2)解:由(1)知,cde=bde,db=dc,故dg是bc的中垂线,所以bg=.设de的中点为o,连接bo,则bog=60.从而abe=bce=cbe=30,所以cfbf,故rtbcf外接圆的半径等于.6.(2013年辽宁卷,文22)如图所示,ab为o直径,直线cd与o相切于e,ad垂直cd于d,bc垂直cd于c,ef垂直ab于f,连接ae,be.证明:(1)feb=ceb;(2)ef2=adbc.证明:(1)由直线cd与o相切,得ceb=eab.由ab为o的直径,得aeeb,从而eab+ebf=;又efab,得feb+ebf=,从而feb=eab.故feb=ceb.(2)由bcce,efab,feb=ceb,be是公共边,得rtbcertbfe,所以bc=bf.类似可证:rtadertafe,得ad=af.又在rtaeb中,efab,故ef2=afbf,所以ef2=adbc.7.(2013年新课标全国卷,文22)(选修41:几何证明选讲)如图,cd为abc外接圆的切线,ab的延长线交直线cd于点d,e、f分别为弦ab与弦ac上的点,且bcae=dcaf,b、e、f、c四点共圆.(1)证明:ca是abc外接圆的直径;(2)若db=be=ea,求过b、e、f、c四点的圆的面积与abc外接圆面积的比值.(1)证明:因为cd为abc外接圆的切线,所以dcb=a,由题设知=,故cdbaef,所以dbc=efa.因为b,e,f,c四点共圆,所以cfe=dbc,故efa=cfe=90.所以cba=90,因此ca是abc外接圆的直径.(2)解:连接ce,因为cbe=90,所以过b,e,f,c四点的圆的直径为ce.由db=be,有ce=dc.又bc2=dbba=2db2,所以ca2=4db2+bc2=6db2.而ce2=dc2=dbda=3db2,故过b,e,f,c四点的圆的面积与abc外接圆面积的比值为.8.(2011年新课标全国卷,文22)如图所示,d,e分别为abc的边ab,ac上的点,且不与abc的顶点重合.已知ae的长为m,ac的长为n,ad,ab的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根.(1)证明:c,b,d,e四点共圆;(2)若a=90,且m=4,n=6,求c,b,d,e所在圆的半径.(1)证明:连接de,根据题意在ade和acb中,adab=mn=aeac,即=.又dae=cab,从而adeacb,因此ade=acb,acb+edb=180,c、b、d、e四点共圆.(2)解:m=4,n=6时,方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12,故ad=2,ab=12.取ce的中点g,db的中点f,分别过g、f作ac、ab的垂线,两垂线相交于h点,连接dh.因为c、b、d、e四点共圆,c、b、d、e四点所在圆的圆心为h,半径为dh.由于a=90,故ghab,hfac,从而hf=ag=5,df=(12-2)=5,故c、b、d、e四点所在圆的半径为5.模拟试题考点一 相似三角形的判定与性质1.(2012广东东莞高级中学二模)如图所示,ab是半径等于3的o的直径,cd是o的弦,ba,dc的延长线交于点p,若pa=4,pc=5,则cbd=.解析:连接ac,do,oc,可得pacpdb,=.pd=8,cd=3.又oc=od=3,ocd为等边三角形.cod=60,cbd=cod=30.答案:302.(2012衡水中学期末)如图所示,已知c点在圆o直径be的延长线上,ca切圆o于a点,acb的平分线cd交ae于点f,交ab于点d.(1)求adf的度数;(2)若ab=ac,求acbc.解:(1)ac为圆o的切线,b=eac,又cd是acb的平分线,acd=dcb,b+dcb=eac+acd,即adf=afd.又be为圆o的直径,dae=90,adf=(180-dae)=45.(2)b=eac,acb=acb,acebca,=.又ab=ac,b=acb=30,在rtabe中, =tan b=tan 30=,=.3.(2012河北省高三模拟统考)如图所示,ab是o的直径,弦bd、ca的延长线相交于点e,f为ba延长线上一点,且bdbe=babf,求证:(1)effb;(2)dfb+dbc=90.证明:(1)连接ad.在adb和efb中,bdbe=babf,=.又dba=fbe,adbefb,又ab为o直径,efb=adb=90,即effb.(2)由(1)知adb=ade=90,efb=90,e、f、a、d四点共圆,dfb=aeb.又ab是o的直径,则acb=90,dfb+dbc=aeb+dbc=90.考点二 直线和圆的位置关系1.(2013北京市海淀区斯末)如图所示,pc与圆o相切于点c,直线po交圆o于a,b两点,弦cd垂直ab于e,则下面结论中,错误的结论是()(a)becdea(b)ace=acp(c)de2=oeep(d)pc2=paab解析:由切割线定理可知pc2=papb,所以选项d错误,故选d.答案:d2.(2013东阿一中调研)如图所示,ab是o的直径,p是ab延长线上的一点,过p作o的切线,切点为c,pc=2,若cap=30,则pb=.解析:连接oc,因为pc=2,cap=30,所以oc=2tan 30=2,则ab=2oc=4,由切割线定理得pc2=pbpa=pb(pb+ba),解得pb=2.答案:23.(2013云南师大附中检测)如图所示,在正abc中,点d,e分别在边ac, ab上,且ad=ac, ae= ab,bd,ce相交于点f.(1)求证:a,e,f,d四点共圆;(2)若正abc的边长为2,求a,e,f,d所在圆的半径.(1)证明:ae=ab,be=ab.又ad=ac,ab=ac,ad=be.又ab=bc,bad=cbe,badcbe,adb=bec,adf+aef=,a,e,f,d四点共圆. (2)解:如图所示,取ae的中点g,连接gd,则ag=ge=ae.ae=ab,ag=ge=ab=.ad=ac=,dae=60,agd为正三角形,gd=ag=ad=,即ga=ge=gd=,所以点g是aed外接圆的圆心,且圆g的半径为.由于a,e,f,d四点共圆,即a,e,f,d四点共圆g,其半径为.综合检测1.(2013北京市通州区期末)如图所示,已知ad=5,db=8,ao=3,则圆o的半径oc的长为.解析:取bd的中点m,连接om,ob,则ombd,因为bd=8,所以dm=mb=4,am=5+4=9,所以om2=ao2-am2=90-81=9,所以半径ob=5,即oc=5.答案:52.(2012天津质检)如图所示,圆o的直径ab=8,c为圆周上一点,bc=4,过c作圆o的切线l,过a作直线l的垂线ad,d为垂足,ad与圆o交于点e,则线段ae的长为.解析:如图所示,连接oe,oc.直线l与圆o相切于点c,ocl.又adl,ocad,dab=cob.又圆o的直径ab=8,bc=4,cob为等边三角形,cob=60,dab=60,aeo也为等边三角形,ae=oa=4.答案:43.(2013云南师大附中检测)如图所示,已知圆o外有一点p,作圆o的切线pm,m为切点,过pm的中点n,作割线nab,交圆于a、b两点,连接pa并延长,交圆o于点c,连接pb交圆o于点d,若mc=bc.(1)求证:apmabp;(2)求证:四边形pmcd是平行四边形.证明:(1)pm是圆o的切线,nab是圆o的割线,n是pm的中点,mn2=pn2=nanb, =,又pna=bnp, pnabnp,apn=pbn, 即apm=pba.mc=bc, mac=bac,map=pab,apmabp.(2)acd=pbn,acd=pbn=apn,即pcd=cpm,pmcd,apmabp,pma=bpa,pm是圆o的切线,pma=mcp,pma=bpa=mcp,即mcp=dpc,mcpd,四边形pmcd是平行四边形.4.(2012东北师大附中质检)如图所示,锐角三角形abc的内心为