中考数学总复习 第六章 空间与图形 6.3 图形的相似（试卷部分）课件.ppt

第六章空间与图形 6 3图形的相似 中考数学 浙江专用 1 2017杭州 3 3分 如图 在 abc中 点d e分别在边ab ac上 de bc 若bd 2ad 则 a b c d 考点一相似的有关概念及性质 a组2014 2018年浙江中考题组 五年中考 答案b利用平行线分线段成比例可得 此题选b 2 2016杭州 2 3分 如图 已知直线a b c 直线m分别交直线a b c于点a b c 直线n分别交直线a b c于点d e f 若 则 a b c d 1 答案b a b c 又 故选b 关键提示本题考查平行线分线段成比例 关键是找准对应线段 3 2015嘉兴 舟山 5 3分 如图 直线l1 l2 l3 直线ac分别交l1 l2 l3于点a b c 直线df分别交l1 l2 l3于点d e f ac与df相交于点g 且ag 2 gb 1 bc 5 则的值为 a b 2c d 答案d 故选d 4 2014宁波 8 4分 如图 梯形abcd中 ad bc b acd 90 ab 2 dc 3 则 abc与 dca的面积比为 a 2 3b 2 5c 4 9d 答案c ad bc acb dac 又 b acd 90 cba acd 又 ab 2 dc 3 故选c 评析本题主要考查了三角形相似的判定及性质 5 2015金华 14 4分 如图 直线l1 l2 l6是一组等距离的平行线 过直线l1上的点a作两条射线 分别与直线l3 l6相交于点b e c f 若bc 2 则ef的长是 答案5 解析 直线l1 l2 l6是一组等距离的平行线 即 又 l3 l6 abc aef bc 2 ef 5 6 2015杭州 22 12分 如图 在 abc中 bc ac acb 90 点d在ab边上 de ac于点e 1 若 ae 2 求ec的长 2 设点f在线段ec上 点g在射线cb上 以f c g为顶点的三角形与 edc有一个锐角相等 fg交cd于点p 问 线段cp可能是 cfg的高还是中线 或两者都有可能 请说明理由 解析 1 因为 acb 90 de ac 所以de bc 所以 因为 ae 2 所以 解得ec 6 2 如图 若 cfg1 ecd 则线段cp1为rt cfg1的fg1边上的中线 证明 因为 cfg1 ecd 所以 cfg1 fcp1 又因为 cfg1 cg1f 90 fcp1 p1cg1 90 所以 cg1f p1cg1 所以cp1 g1p1 又因为 cfg1 fcp1 所以cp1 fp1 所以cp1 fp1 g1p1 所以线段cp1为rt cfg1的fg1边上的中线 若 cfg2 edc 则线段cp2为rt cfg2的fg2边上的高 证明 因为de ac 所以 dec 90 所以 edc ecd 90 因为 cfg2 edc 所以 ecd cfg2 ecd edc 90 所以cp2 fg2 即cp2为rt cfg2的fg2边上的高 当cd为 acb的平分线时 cp既是 cfg的fg边上的高又是中线 评析本题主要考查了平行线分线段成比例的性质 直角三角形两锐角的关系 等腰三角形的判定 分类讨论思想的应用 有一定的难度 分类讨论时比较容易遗漏某种情况 1 2017杭州 15 4分 如图 在rt abc中 bac 90 ab 15 ac 20 点d在边ac上 ad 5 de bc于点e 连接ae 则 abe的面积等于 考点二相似图形的判定 答案78 解析 de bc bac dec 又 c c abc edc 在rt bac中 ac 20 ab 15 bc 25 又 ad 5 cd 15 ec 12 be 13 s abe s abc 15 20 78 思路分析 abc的面积是很容易求出来的 只要知道be与bc的比值即可解决问题 又bc容易求得 故将问题转化为求be的长度 由 abc edc可得 从而求出ec 由此即可得出be 2 2016嘉兴 15 5分 如图 已知 abc和 dec的面积相等 点e在bc边上 de ab交ac于点f ab 12 ef 9 则df的长是 答案7 解析作ag bc于点g dh bc于点h de ab abc fec 即 又 s abc s dec 即bc ag ec dh ab de b deh ag bc dh bc agb dhe 90 abg deh 即de 16 fd de fe 16 9 7 思路分析作两三角形的高 利用面积相等及平行的条件列式求出de长 进而可得df的长 3 2018杭州 19 8分 如图 在 abc中 ab ac ad为bc边上的中线 de ab于点e 1 求证 bde cad 2 若ab 13 bc 10 求线段de的长 解析 1 证明 ab ac b c 又ad为bc边上的中线 ad bc de ab deb adc 90 bde cad 2 易知bd bc 5 在rt adb中 ad 12 由 1 易得 de 思路分析 1 由等腰三角形的性质 得 b c ad bc 因为de ab 所以 deb adc 根据相似三角形的判定定理 即可解决问题 2 利用勾股定理求出ad 再利用 1 的结论列式求解 解题关键本题考查相似三角形的判定定理和性质 等腰三角形的性质等知识 解题的关键是熟练掌握基本知识并灵活应用 4 2017杭州 19 8分 如图 在锐角三角形abc中 点d e分别在边ac ab上 ag bc于点g af de于点f eaf gac 1 求证 ade abc 2 若ad 3 ab 5 求的值 解析 1 证明 因为af de ag bc 所以 afe 90 agc 90 所以 aef 90 eaf c 90 gac 又因为 eaf gac 所以 aef c 又因为 dae bac 所以 ade abc 2 因为 ade abc 所以 ade b 又因为 afd agb 90 所以 afd agb 所以 又因为ad 3 ab 5 所以 5 2015丽水 23 10分 如图 在矩形abcd中 e为cd的中点 f为be上的一点 连接cf并延长交ab于点m mn cm交射线ad于点n 1 当f为be中点时 求证 am ce 2 若 2 求的值 3 若 n 当n为何值时 mn be 解析 1 证明 f为be中点 bf ef ab cd mbf cef bmf ecf bmf ecf aas mb ce ab cd ce de mb am am ce 2 设mb a ab cd bmf ecf 2 2 ce 2a ab cd 2ce 4a am ab mb 3a 2 bc ad 2a mn mc a abc 90 amn bcm 即 an a nd 2a a a a a 3 3 解法一 n 设mb a 与 2 同理可得ce na am 2n 1 a bc 2a 由 amn bcm 得an 2n 1 a dn dh am dh 2n 5 a he 5 n a 当mn be时 四边形mbeh是平行四边形 5 n a a n 4 当n 4时 mn be 解法二 n 设mb a 与 2 同理可得ce na bc 2a 当mn be时 cm be 可证 mbc bce n 4 当n 4时 mn be 思路分析 1 所证结论是相等关系 考虑证三角形全等 2 设mb a 利用相似三角形将an nd用含a的式子表示出来 进而得比值 3 类比 2 求解 评析本题是探究型问题 考查矩形的性质 全等三角形的判定和性质 相似三角形的判定和性质 6 2014丽水 衢州 23 10分 提出问题 1 如图1 在正方形abcd中 点e h分别在bc ab上 若ae dh于点o 求证 ae dh 类比探究 2 如图2 在正方形abcd中 点h e g f分别在ab bc cd da上 若ef hg于点o 探究线段ef与hg的数量关系 并说明理由 综合运用 3 在第 2 问条件下 hf ge 如图3所示 已知be ec 2 eo 2fo 求图中阴影部分的面积 解析 1 证明 四边形abcd是正方形 ab da abe dah 90 hao oad 90 ae dh ado oad 90 hao ado abe dah asa ae dh 2 ef gh 理由如下 将fe平移到am处 则am ef am ef 将gh平移到dn处 则dn gh dn gh ef gh am dn 根据 1 的结论得am dn 所以ef gh 3 四边形abcd是正方形 ab cd aho cgo fh eg fho ego ahf cge 又 haf gce 90 ahf cge 又fh eg ec 2 af 1 过f作fp bc于点p bp af 1 pf bc 4 pe be bp 1 则有ef fh eg 根据 2 知ef gh fo ho s foh fo2 s eog eo2 阴影部分面积为s foh s eog 评析本题考查了三角形的综合知识 用到全等三角形的判定与性质 相似三角形的判定与性质 勾股定理等 综合性较强 难度较大 1 2018杭州 10 3分 如图 在 abc中 点d在ab边上 de bc 与边ac交于点e 连接be 记 ade bce的面积分别为s1 s2 a 若2ad ab 则3s1 2s2b 若2ad ab 则3s12s2d 若2ad ab 则3s1 2s2 考点三相似图形的应用 答案d由平行线分线段成比例知 当ad bd时 ae ec 则de为 abc的中位线 此时 即3s1 s四边形bdec de为 abc的中位线 e为ac的中点 易得s bec s bae 2s2 s abc 2s2 3s1 当2ad3s1 当2ad ab时 ae ce s1变大 s2变小 不能确定2s2与3s1的大小关系 故选d 2 2016湖州 10 3分 如图1 在等腰三角形abc中 ab ac 4 bc 7 如图2 在底边bc上取一点d 连接ad 使得 dac acd 如图3 将 acd沿着ad折叠 使得点c落在点e处 连接be 得到四边形abed 则be的长是 a 4b c 3d 2 答案b如图 设ae与bc交于点o c ab ac abc c 由已知条件及折叠的性质得 1 2 3 c ae ac ab 4 cda cab ac2 cd cb cd bd ado adb 2 abd ado bda ad2 do db 又ad cd do co do cd bo bc co bae 180 4 由ae ab得 abe aeb aeb 2 eac 2 aeb eac ac be aco ebo be 故选b 3 2015衢州 9 3分 如图 已知 人字梯 的5个踩档把梯子等分成6份 从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳ef tan 则 人字梯 的顶端离地面的高度ad是 a 144cmb 180cmc 240cmd 360cm 关键提示本题考查了等腰三角形的性质 轴对称的性质 相似三角形的判定与性质 解题的关键是多次运用相似求出相关线段的长 答案b如图 根据题意可知 afo acd of ef 30cm cd 72cm tan ad 72 180 cm 故选b 思路分析在rt adc中已知tan 根据正切函数的定义 要求ad 只需求出dc 这可由相似三角形获得 4 2018宁波 25 12分 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积 我们把这个三角形叫做比例三角形 1 已知 abc是比例三角形 ab 2 bc 3 请直接写出所有满足条件的ac的长 2 如图1 在四边形abcd中 ad bc 对角线bd平分 abc bac adc 求证 abc是比例三角形 3 如图2 在 2 的条件下 当 adc 90 时 求的值 解析 1 或或 2 证明 ad bc acb cad 又 bac adc abc dca 即ca2 bc ad ad bc adb cbd bd平分 abc abd cbd adb abd ab ad ca2 bc ab abc是比例三角形 3 如图 过点a作ah bd于点h ab ad bh bd ad bc adc 90 bcd 90 bha bcd 90 又 abh dbc abh dbc ab bc db bh ab bc bd2 又 ab bc ac2 bd2 ac2 5 2018湖州 23 10分 已知在rt abc中 bac 90 ab ac d e分别为ac bc边上的点 不包括端点 且 m 连接ae 过点d作dm ae 垂足为点m 延长dm交ab于点f 1 如图1 过点e作eh ab于点h 连接dh 求证 四边形dhec是平行四边形 若m 求证 ae df 2 如图2 若m 求的值 解析 1 证明 eh ab bac 90 eh ca bhe bac he dc 四边形dhec是平行四边形 bac 90 ac ab he dc 又 bhe 90 bh he he dc bh cd ah ad dm ae eh ab eha amf 90 hae hea hae afm 90 hea afd eha fad 90 hea afd ae df 2 过点e作eg ab于g ca ab eg ca ega amf 90 gea eag eag afm afm aeg fad ega 90 fad ega egb cab eg cd 设eg cd 3x ac 3y 由题意得be 5x bc 5y bg 4x ab 4y 小颖解得此题的答案为48mm 小颖善于反思 她又提出了如下的问题 1 如果原题中所要加工的零件是一个矩形 且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成 如图1 此时 这个矩形零件的两邻边长又分别为多少mm 请你计算 6 2014绍兴 20 8分 课本中有一道作业题 图1图2 2 如果原题中所要加工的零件只是一个矩形 如图2 这样 此矩形零件的两条邻边长就不能确定 但这个矩形面积有最大值 求达到这个最大值时矩形零件的两邻边长 解析 1 设pq xmm apn abc 解得x pn 2x 这个矩形零件的两邻边长分别为mm mm 2 设pq xmm apn abc 解得pn 120 x s矩形 x x2 120 x x 40 2 2400 当x 40 即pq 40mm pn 60mm时 矩形面积最大 1 2017四川成都 8 3分 如图 四边形abcd和a b c d 是以点o为位似中心的位似图形 若oa oa 2 3 则四边形abcd与四边形a b c d 的面积比为 a 4 9b 2 5c 2 3d b组2014 2018年全国中考题组 考点一相似的有关概念及性质 答案a由位似图形的性质知 所以 故选a 2 2015山东聊城 7 3分 下列命题中的真命题是 a 两边和一角分别相等的两个三角形全等b 相似三角形的面积比等于相似比c 正方形不是中心对称图形d 圆内接四边形的对角互补 答案da项 在两边和一角中 当角为两边中一边的对角时 这两个三角形不一定全等 故本选项错误 b项 相似三角形面积比等于相似比的平方 故本选项错误 c项 正方形是中心对称图形 故本选项错误 d项 圆内接四边形对角互补 故本选项正确 故选d 3 2015甘肃兰州 17 4分 如果 k b d f 0 且a c e 3 b d f 那么k 答案3 解析由题意可得 k 则a c e k b d f 3 b d f 故k 3 4 2014湖北武汉 24 8分 如图 rt abc中 acb 90 ac 6cm bc 8cm 动点p从点b出发 在ba边上以每秒5cm的速度向点a匀速运动 同时动点q从点c出发 在cb边上以每秒4cm的速度向点b匀速运动 运动时间为t秒 0 t 2 连接pq 1 若 bpq与 abc相似 求t的值 2 连接aq cp 若aq cp 求t的值 3 试证明 pq的中点在 abc的一条中位线上 解析 1 由题意知 bp 5tcm cq 4tcm bq 8 4t cm 在rt abc中 ab 10cm 当 pbq abc时 有 即 解得t 1 当 qbp abc时 有 即 解得t pbq与 abc相似时 t 1或 2 如图 过点p作pd bc于d 依题意 得bp 5tcm cq 4tcm 则pd pb sinb 3tcm bd 4tcm cd 8 4t cm aq cp acb 90 tan caq tan dcp t 3 证明 如图 过点p作pd ac于d 连接dq bd bd交pq于m 则pd ap cos apd ap cos abc 10 5t 8 4t cm 而bq 8 4t cm pd bq 又pd bq 四边形pdqb是平行四边形 点m是pq和bd的中点 过点m作ef ac交bc ba于e f两点 则 1 即e为bc的中点 同理 f为ba的中点 pq的中点m在 abc的中位线ef上 1 2015四川绵阳 12 3分 如图 d是等边 abc边ab上的一点 且ad db 1 2 现将 abc折叠 使点c与d重合 折痕为ef 点e f分别在ac和bc上 则ce cf a b c d 考点二相似图形的判定 答案b设等边 abc的边长为3 则ad 1 bd 2 由折叠的性质可知 c edf 60 eda fdb 120 在 aed中 a 60 aed ade 120 aed bdf 又 a b aed bdf 又 ce de cf df 可得2ce 3cf ce cf cf 3ce ce cf 2ce 3cf cf 3ce 故选b 2 2014贵州贵阳 7 3分 如图 在方格纸中 abc和 epd的顶点均在格点上 要使 abc epd 则点p所在的格点为 a p1b p2c p3d p4 答案c设方格纸中各小正方形的边长为1 由题图可知 e a 90 要使 abc epd 则 2 所以ep 2ab 6 点p所在的格点为p3 故选c 评析本题考查相似三角形的判定 设计巧妙 属容易题 3 2015山东临沂 18 3分 如图 在 abc中 bd ce分别是边ac ab上的中线 bd与ce相交于点o 则 答案2 解析连接de bd ce是ac ab边上的中线 de为 abc的中位线 de bc de bc obc ode 2 2014北京 10 4分 在某一时刻 测得一根高为1 8m的竹竿的影长为3m 同时测得一根旗杆的影长为25m 那么这根旗杆的高度为m 考点三相似图形的应用 答案15 解析设旗杆的高度为xm 则 解得x 15 即旗杆的高度为15m 1 2015甘肃兰州 5 4分 如图 线段cd两个端点的坐标分别为c 1 2 d 2 0 以原点为位似中心 将线段cd放大得到线段ab 若点b的坐标为 5 0 则点a的坐标为 a 2 5 b 2 5 5 c 3 5 d 3 6 c组教师专用题组 考点一相似的有关概念及性质 答案b设点a的坐标为 x y 由位似图形的性质知 得x 2 5 y 5 则点a的坐标为 2 5 5 故选b 2 2014湖北武汉 6 3分 如图 线段ab两个端点的坐标分别为a 6 6 b 8 2 以原点o为位似中心 在第一象限内将线段ab缩小为原来的后得到线段cd 则端点c的坐标为 a 3 3 b 4 3 c 3 1 d 4 1 答案a 线段ab两个端点的坐标分别为a 6 6 b 8 2 以原点o为位似中心 在第一象限内将线段ab缩小为原来的后得到线段cd 端点c的坐标为 3 3 故选a 评析本题主要考查位似图形的性质 属容易题 3 2014辽宁沈阳 8 3分 如图 在 abc中 点d在边ab上 bd 2ad de bc交ac于点e 若线段de 5 则线段bc的长为 a 7 5b 10c 15d 20 答案c由题意可得 ade abc 相似比为 所以bc 3de 15 故选c 评析本题考查相似三角形的判定与性质 属容易题 4 2015辽宁沈阳 14 4分 如图 abc与 def位似 位似中心为点o 且 abc的面积等于 def面积的 则ab de 答案2 3 解析 abc与 def位似 abc def s abc s def 舍负 即ab de 2 3 5 2015天津 16 3分 如图 在 abc中 de bc 分别交ab ac于点d e 若ad 3 db 2 bc 6 则de的长为 答案 解析 de bc de 评析本题考查平行线分线段成比例定理 由de bc可得 从而可计算出de的长 1 2014河北 13 3分 在研究相似问题时 甲 乙同学的观点如下 对于两人的观点 下列说法正确的是 a 两人都对b 两人都不对c 甲对 乙不对d 甲不对 乙对 考点二相似图形的判定 答案a由题意知新三角形与原三角形的对应角相等 所以两个三角形相似 甲的观点正确 新矩形与原矩形的对应角相等 但对应边的比并不相等 所以新矩形与原矩形不相似 乙的观点也正确 故选a 2 2016陕西 17 5分 如图 已知 abc bac 90 请用尺规过点a作一条直线 使其将 abc分成两个相似的三角形 保留作图痕迹 不写作法 解析如图 直线ad即为所作 5分 1 2015江苏连云港 25 10分 如图 在 abc中 abc 90 bc 3 d为ac延长线上一点 ac 3cd 过点d作dh ab 交bc的延长线于点h 1 求bd cos hbd的值 2 若 cbd a 求ab的长 考点三相似图形的应用 解析 1 dh ab bhd abc 90 又 acb dch abc dhc ac 3cd bc 3 ch 1 bh bc ch 4 在rt bhd中 cos hbd bdcos hbd bh 4 4分 2 解法一 a cbd abc bhd abc bhd 6分 abc dhc ab 3dh dh 2 ab 6 10分 解法二 cbd a bdc adb cdb bda bd2 cd ad bd2 cd 4cd 4cd2 bd 2cd 6分 cdb bda ab 6 10分 2 2015江苏南京 20 8分 如图 abc中 cd是边ab上的高 且 1 求证 acd cbd 2 求 acb的大小 解析 1 证明 cd是边ab上的高 adc cdb 90 又 acd cbd 4分 2 acd cbd a bcd 在 acd中 adc 90 a acd 90 bcd acd 90 即 acb 90 8分 2016杭州滨江二模 8 有两个相似三角形 它们的周长分别是36和12 周长较大的三角形的最大边长为15 周长较小的三角形的最小边长为3 则周长较大的三角形的面积是 a 52b 54c 56d 58 考点一相似的有关概念及性质 三年模拟 a组2016 2018年模拟 基础题组 答案b 两相似三角形的周长分别是36和12 相似比为3 1 周长较大的三角形的最大边长为15 周长较小的三角形的最小边长为3 周长较大的三角形的最小边长为9 周长较小的三角形的最大边长为5 周长较大的三角形的第三条边长为12 92 122 152 两个三角形均为直角三角形 周长较大的三角形的面积 9 12 54 故选b 1 2016宁波北仑一模 16 在 abc中 d e分别在边ab ac上 ab 8cm ac 6cm ad 3cm 要使 ade与 abc相似 则线段ae的长为cm 考点二相似图形的判定 答案4或 解析分两种情况讨论 当 ade abc时 如图 有 ab 8cm ac 6cm ad 3cm ae cm 当 ade acb时 如图 有 ab 8cm ac 6cm ad 3cm ae 4cm 综上 ae 4cm或cm 2 2018杭州名校二模 19 如图 在 abc中 ad是 bac的平分线 点e在边ac上 且ad2 ae ab 连接de 1 求证 abd ade 2 若cd 3 ce 求ac的长 解析 1 证明 ad平分 bac bad cad 又 ad2 ae ab abd ade 2 abd ade adb aed edc 180 adb ade 180 aed ade dac 且 c c ced cda cd2 ec ca ac 4 1 2018滨江二模 10 如图 abc dbe 延长ad交ce于点p 若 deb 45 ac 2 de be 1 5 则tan dpc a b 2c d 考点三相似图形的应用 答案b abc dbe acb deb 45 又 ac 2 de be 1 5 bc 3 过点a作ah bc于点h ach 45 ah ch ac sin ach 2 2 bh bc ch 3 2 1 abc dbe abc dbe abd cbe abd cbe bad bce 又 aob cop dpc abc tan dpc tan abc 2 故选b 方法与策略1 要想到把 dpc放在直角三角形中解决 所以构造直角三角形并将 dpc转化到rt abh中 2 由已知的相似推导出另一对三角形相似 从而把所求的角转化到已知的直角三角形中 问题就解决了 2 2018丽水二模 如图 已知锐角 abc ad ce分别是bc ab边上的高 1 求证 abd cbe 2 若 abc和 bde的面积分别是20和5 de 2 求点b到直线ac的距离 解析 1 证明 ad bc于点d ce ab于点e ceb adb 90 b b abd cbe 2 由 1 知 abd cbe b b bed bca abc和 bde的面积分别为20和5 de 2 ac 4 点b到直线ac的距离为 5 1 2017杭州西湖一模 8 如图 bd是 abc的角平分线 点e f分别在bc ab上 且de ab def a ef与bd交于点m 以下结论 bde是等腰三角形 四边形afed是菱形 be af 若af bf 3 4 则 dem的面积 bad的面积 9 49 其中正确的是 a b c d b组2016 2018年模拟 提升题组 时间 55分钟分值 80分 一 选择题 每小题3分 共12分 答案b de ab bd平分 abc abd bde dbe bde是等腰三角形 正确 四边形afed是平行四边形 不一定是菱形 错误 be ed af 正确 abd edm 正确 故选b 2 2017温州七校联考 9 如图 abc中 d e两点分别在bc ad上 且ad平分 bac 若 abe c ad ed 3 1 则 bde与 adc的面积比为 a 16 45b 2 9c 1 9d 1 3 答案b ad ed 3 1 ae ad 2 3 abe c bae cad abe acd s abe s acd 4 9 s acd s abe ae ed 2 1 s abe s bed 2 1 s abe 2s bed s acd s abe s bed s bde与s adc的比为2 9 3 2016宁波慈溪一模 9 如图 在 abc中 de bc 且 则s四边形dbce s abc a 1 4b 1 9c 3 4d 8 9 答案d d e分别是 abc的ab ac边上的点 de bc ade abc ae ec 1 2 ae ac 1 3 s ade s abc 1 9 故选d 4 2016杭州萧山一模 1 下列判断不正确的是 a 所有等腰直角三角形都相似b 所有直角三角形都相似c 所有正六边形都相似d 所有等边三角形都相似 答案b两个直角三角形的锐角不一定对应相等 所以两个直角三角形不一定相似 故选项b不正确 故选b 5 2018舟山二模 8分 如图 在 abc中 ab ac 点d e f分别在边ab bc ac上 def b 1 求证 bde cef 2 若点e是bc的中点 ef 6 求cf 二 解答题 共68分 解析 1 证明 ab ac b c bde 180 b deb cef 180 def deb def b bde cef bde cef 2 bde cef 点e是bc的中点 be ce def b c def ecf ef 6 cf 4 6 2018奉化一模 8 如图 在 abc中 点d为bc上一点 ab ad bd 过点d作de ab交ac于点f 且 cae 60 连接ae交bc于点g 1 求证 aed cad 2 若ab 2 求de cd的值 解析 1 证明 ab ad bd abd是等边三角形 bad abd adb 60 adc bad abd 120 de ab fdc abc gde 60 bae aed bad cae 60 bae bad ead eaf ead daf ade adb bde 60 60 120 adc 又 daf aed aed cad 2 由 1 得 aed cad 则 即ad2 ed cd ab ad 2 de cd ab2 2 2 12 7 2018金华二模 如图 在rt abc中 bac 90 d e两点分别在bc ad上 ad平分 bac abe c 1 求证 abe acd 2 若点e是ad的中点 bc 5 求 bde的面积 解析 1 证明 ad平分 bac bae dac abe c abe acd 2 由 1 得 abe acd 即ac 2ab bac 90 ab ac 2 abc中 设bc边上的高为h 则ab ac bc h 解得h 2 点e是ad的中点 在 bde中 bd边上的高为h 1 如图 过点d作df ac于点f 设af x bac 90 ad平分 bac dac 45 df af x cf 2 x 易得df ab 即 解得x bd bc s bde bd h 1 8 2017杭州上城一模 23 从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交 顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形 如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形 另一个与原三角形相似 我们就把这条线段叫做这个三角形的优美线 1 在 abc中 ad为角平分线 b 50 c 30 求证 ad为 abc的优美线 2 在 abc中 b 46 ad是 abc的优美线 且 abd是以ab为腰的等腰三角形 求 bac的度数 3 在 abc中 ab 4 ac 2 ad是 abc的优美线 且 abd是等腰三角形 求优美线ad的长 解析 1 证明 如图 b 50 c 30 bac 180 b c 100 ad平分 bac bad dac 50 b bad 50 db da abd是等腰三角形 c c dac b 50 cad cba 线段ad是 abc的优美线 2 由题意知 cad cba 且等腰 abd中 ab ad或ab bd 若ab ad 则 b adb cad 则ac bc 不符合题意 ab bd 又 b 46 bad bda 67 cad b 46 bac 67 46 113 3 由题意知 cad cba 当ad bd时 cad cba 设bd ad x cd y 解得x y ad 当ab bd 4时 设ad x cd y 由 可得 解得y 2 2 x 4 4 ad 4 4 当ab ad时 显然不可能 综上所述 ad 或4 4 9 2017杭州拱墅二模 22 如图 g h分别为 abcd的边ab ad的延长线