高考数学一轮必备 2.6《幂函数与二次函数》考情分析学案(1).doc

2.6幂函数与二次函数考情分析1求二次函数的解析式2求二次函数的值域与最值3利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题基础知识1幂函数的定义一般地，形如yx(r)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，为常数2幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数yx，yx2，yx3，yx，yx1的图象分别如右图3幂函数的性质yxyx2yx3yxyx1定义域rrr0，)x|xr且x0值域r0，)r0，)y|yr且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，)时，增x(，0时，减增增x(0，)时，减x(，0)时，减定点(0,0)，(1,1)(1,1)4.二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象定义域(，)(，)值域单调性在x上单调递增在x上单调递增在x上单调递减在x上单调递减奇偶性当b0时为偶函数，b0时为非奇非偶函数顶点对称性图象关于直线x成轴对称图形5.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0) (2)顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)(3)两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)注意事项 1.函数yx，yx2，yx3，yx，yx1可做为研究和学习幂函数图象和性质的代表2.函数yf(x)对称轴的判断方法(1)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(x1)f(x2)，那么函数yf(x)的图象关于x对称(2)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(ax)f(ax)成立的充要条件是函数yf(x)的图象关于直线xa对称(a为常数)典型例题题型一二次函数的图象【例1】设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()解析若a0，则bc0，根据选项c、d，c0，此时只有b0，二次函数的对称轴方程x0，选项d有可能；若a0，根据选项a，c0，此时只能b0，二次函数的对称轴方程x0，与选项a不符合；根据选项b，c0，此时只能b0，此时二次函数的对称轴方程x0，与选项b不符合综合知只能是选项d.答案d【变式1】 已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f(x)的图象的大致形状是()解析由函数f(x)的图象知：当x(，1时，f(x)为减函数，f(x)0；当x1，)时，f(x)为增函数，f(x)0.结合选项知选c.答案c题型二二次函数的性质【例2】函数f(x)x22x2在闭区间t，t1(tr)上的最小值记为g(t)(1)试写出g(t)的函数表达式；(2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值解(1)f(x)(x1)21.当t11，即t0时，g(t)t21.当t1t1，即0t1时，g(t)f(1)1当t1时，g(t)f(t)(t1)21综上可知g(t)(2)g(t)的图象如图所示，可知g(t)在(，0上递减，在1，)上递增，因此g(t)在0,1上取到最小值1.【变式2】 已知函数f(x)x22ax2，x5,5(1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数解(1)当a1时，f(x)x22x2(x1)21，x5,5，x1时，f(x)取得最小值1；x5时，f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)(xa)22a2的图象的对称轴为直线xa，yf(x)在区间5,5上是单调函数，a5或a5，故a的取值范围是a5或a5.题型三幂函数的图象和性质【例3】已知幂函数f(x)xm22m3(mn*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，求满足(a1)(32a)的a的取值范围解函数在(0，)上递减，m22m30，解得1m3.mn*，m1,2.又函数的图象关于y轴对称，m22m3是偶数，而222233为奇数，122134为偶数，m1.而f(x)x在(，0)，(0，)上均为减函数，(a1)(32a)等价于a132a0或0a132a或a1032a.解得a1或a.故a的取值范围为.合函数的图象求出参数a的取值范围【变式3】 幂函数yxa，当a取不同的正数时，在区间0,1上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)设点a(1,0)，b(0,1)，连接ab，线段ab恰好被其中的两个幂函数yx，yx的图象三等分，即有|bm|mn|na|.那么，()a1 b2 c3 d无法确定解析法一由条件得m，n，由一般性，可得，即log，log.所以loglog1.法二由解法一，得，则a，即1.答案a重难点突破【例1】 (2013济南模拟)已知f(x)4x24ax4aa2在区间0,1内有最大值5，求a的值及函数表达式f(x) 解答示范 f(x)424a，抛物线顶点坐标为.(1分)当1，即a2时，f(x)取最大值4a2.令4a25，得a21，a12(舍去)；(4分)当01，即0a2时，x时，f(x)取最大值为4a.令4a5，得a(0,2)；(7分)当0，即a0时，f(x)在0,1内递减，x0时，f(x)取最大值为4aa2，令4aa25，得a24a50，解得a5或a1，其中5(，0(10分)综上所述，a或a5时，f(x)在0,1内有最大值5.f(x)4x25x或f(x)4x220x5.(12分)巩固提高1设f(x)是定义在r上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)()a3 b1 c1 d3解析f(x)为奇函数，f(1)f(1)3.答案a2.(改编)如图中曲线是幂函数yxn在第一象限的图象已知n取2，四个值，则相应于曲线c1，c2，c3，c4的n值依次为()a2，2 b2，2c，2,2， d2，2，答案b3设函数f(x)若f()4，则实数等于()a4或2 b4或2c2或4 d2或2解析由或得4或2，故选b.答案b4已知函数f(x)x22x2的定义域和值域均为1，b，则b等于()a3 b2或3 c2 d1或2解析函数f(x)x22x2在1，b上递增，由已知条件即