高考数学二轮专题复习 空间几何体的表面积和体积提分训练 文 新人教版.doc

空间几何体的表面积和体积高考试题考点一 根据三视图求组合体的体积或表面积1.(2013年新课标全国卷,文11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()(a)16+8 (b)8+8(c)16+16 (d)8+16解析:由三视图可知该几何体为一组合体,组合体的上面部分为从同一顶点出发的三棱长分别为4、2、2的长方体,下面部分为半圆柱,其中底面半径为2 ,母线长为4,其直观图如图所示,故几何体的体积为224+224=16+8.故选a.答案:a2.(2012年广东卷,文7)某几何体的三视图如图所示,它的体积为()(a)72(b)48(c)30(d)24解析:由三视图知,该几何体是由圆锥和半球组合而成的,直观图如图所示,圆锥的底面半径为3,高为4,半球的半径为3.v=v半球+v圆锥=33+324=30.答案:c3.(2011年湖南卷,文4)如图所示,是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()(a)9+42 (b)36+18(c)+12(d)+18解析:由三视图可知,该几何体是由直径为3的球和长、宽、高分别为3、3、2的长方体组合而成,v=+332=+18.答案:d4.(2010年安徽卷,理8)一个几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为()(a)280(b)292(c)360(d)372解析:该几何体上部是长为6,宽为2、高为8的长方体,下部是长为8,宽为10,高为2的长方体.s组合体表=268+228+62+8102+822+1022-62=96+32+12+160+32+40-12=360.答案:c5.(2013年北京卷,文10)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为.解析:将三视图还原为几何体是一个底面为正方形的四棱锥,其底面边长为3,高是1,故其体积为v=91=3.答案:36.(2012年天津卷,文10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.解析:由三视图可知,该几何体为一个长方体与四棱柱的组合体,长方体的长,宽,高分别为4,3,2,四棱柱的高为4,其上、下底面为两底长分别为1,2,高为1的直角梯形,故组合体的体积v=342+(1+2)14=30(m3).答案:307.(2012年湖北卷,文15)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.解析:由三视图可知,该几何体是由两个底面直径为4,高为1的圆柱和一个底面直径为2,高为4的圆柱组合而成,v=2212+124=12.答案:12考点二 根据几何体的直观图求其表面积或体积1.(2010年北京卷,文8)如图所示,正方体abcda1b1c1d1的棱长为2,动点e,f在棱a1b1上,点q是棱cd的中点,动点p在棱ad上.若ef=1,dp=x,a1e=y(x,y大于零),则三棱锥pefq的体积()(a)与x,y都有关(b)与x,y都无关(c)与x有关,与y无关(d)与y有关,与x无关解析:三棱锥pefq的体积可以看作是以pef为底面,而pef的底ef=1,高a1p=,与x有关,三棱锥pefq的高为点q到平面pef的距离.cdef,cd平面pef.点q到平面pef的距离等于点d到平面pef的距离,与y无关,故选c.答案:c2.(2012年江苏卷,7)如图所示,在长方体abcda1b1c1d1中,ab=ad=3 cm,aa1=2 cm,则四棱锥abb1d1d的体积为cm3.解析:连接ac交bd于o,在长方体abcda1b1c1d1中,ab=ad=3 cm,四边形abcd是正方形,acbd,且bd=3.又bb1底面abcd,acbb1,又dbbb1=b,ac平面bb1d1d,即ao的长是点a到平面bb1d1d的距离, =32=6,ao=, =6=6(cm3).边答案:63.(2013年湖北卷,文16)我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是寸.(注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸)解析:圆台的下底面半径为6寸,上底面半径为14寸,高为18寸,雨水线恰为中位线,故雨水线截面的半径是10寸,降水量为 =3(寸).答案:34.(2013年江苏卷,8)如图,在三棱柱a1b1c1abc中,d,e,f分别是ab,ac,aa1的中点.设三棱锥fade的体积为v1,三棱柱a1b1c1abc的体积为v2,则v1v2=.解析: = = =.答案:1245.(2012年山东卷,文13)如图所示,正方体abcda1b1c1d1的棱长为1,e为线段b1c上的一点,则三棱锥aded1的体积为.解析: =111=.答案:6.(2013年重庆卷,文19)如图,四棱锥pabcd中,pa底面abcd,pa=2,bc=cd=2, acb=acd=.(1)求证:bd平面pac;(2)若侧棱pc上的点f满足pf=7fc,求三棱锥pbdf的体积.(1)证明:因为bc=cd,所以bcd为等腰三角形,又acb=acd,故bdac.因为pa底面abcd,所以pabd.从而bd与平面pac内两条相交直线pa,ac都垂直,所以bd平面pac.(2)解:三棱锥pbcd的底面bcd的面积sbcd=bccdsinbcd=22sin =.由pa底面abcd,得=sbcdpa=2=2.由pf=7fc,得三棱锥fbcd的高为pa,故=sbcdpa=2=,所以=-=2-=.7.(2013年新课标全国卷,文19)如图,三棱柱abca1b1c1中,ca=cb,ab=aa1,baa1=60.(1)证明:aba1c;(2)若ab=cb=2,a1c=,求三棱柱abca1b1c1的体积.(1)证明:取ab的中点o,连接oc,oa1,a1b.因为ca=cb,所以ocab.由于ab=aa1,baa1=60,故aa1b为等边三角形,所以oa1ab.因为ocoa1=o,所以ab平面oa1c.又a1c平面oa1c,故aba1c.(2)解:由题设知abc与aa1b都是边长为2的等边三角形,所以oc=oa1=.又a1c=,则a1c2=oc2+o,故oa1oc.因为ocab=o,所以oa1平面abc,oa1为三棱柱abca1b1c1的高.又abc的面积sabc=,故三棱柱abca1b1c1的体积v=sabcoa1=3.8.(2013年新课标全国卷,文18)如图所示,直三棱柱abca1b1c1中,d,e分别是ab,bb1的中点.(1)证明:bc1平面a1cd;(2)设aa1=ac=cb=2,ab=2,求三棱锥ca1de的体积.(1)证明:连接ac1交a1c于点f,则f为ac1中点.又d是ab中点,连接df,则bc1df.因为df平面a1cd,bc1平面a1cd,所以bc1平面a1cd.(2)解:因为abca1b1c1是直三棱柱,所以aa1cd.由已知ac=cb,d为ab的中点,所以cdab.又aa1ab=a,于是cd平面abb1a1.由aa1=ac=cb=2,ab=2得acb=90,cd=,a1d=,de=,a1e=3,故a1d2+de2=a1e2,即dea1d.所以=1. 考点三 球的表面积和体积1.(2012年新课标全国卷,文8)平面截球o的球面所得圆的半径为1,球心o到平面的距离为,则此球的体积为()(a) (b)4(c)4(d)6解析:设截面圆的圆心为o,m为截面圆上任一点,则oo=,om=1,om=,即球的半径为,v=()3=4.答案:b2.(2013年新课标全国卷,文15)已知h是球o的直径ab上一点,ahhb=12,ab平面,h为垂足,截球o所得截面的面积为,则球o的表面积为.解析:如图,设截面小圆的半径为r,球的半径为r,因为ahhb=12,所以oh=r.由勾股定理,有r2=r2+oh2,又由题意得r2=,则r=1,故r2=1+,即r2=.由球的表面积公式,得s=4r2=.答案:3.(2013年新课标全国卷,文15)已知正四棱锥oabcd的体积为,底面边长为,则以o为球心,oa为半径的球的表面积为.解析:正四棱锥oabcd中,顶点o在底面的射影为底面中心e,则()2oe=,所以oe=,故球半径oa=,从而球的表面积为24.答案:244.(2009年大纲全国卷,文15)已知oa为球o的半径,过oa的中点m且垂直于oa的平面截球面得到圆m.若圆m的面积为3,则球o的表面积等于.解析:圆m的面积为3,圆m的半径r=.设球的半径为r,则r2=r2+3,r2=3,r2=4.s球=4r2=16.答案:16考点四 球的内接几何体的表面积与体积1.(2011年辽宁卷,文10)已知球的直径sc=4,a,b是该球球面上的两点,ab=2,asc=bsc=45,则棱锥sabc的体积为()(a)(b)(c)(d)解析:如图所示,由题意知,在棱锥sabc中,sac,sbc都是等腰直角三角形,其中ab=2,sc=4,sa=ac=sb=bc=2.取sc的中点d,易证sc垂直于面abd,因此棱锥sabc的体积为两个棱锥sabd和cabd的体积和,所以棱锥sabc的体积v=scsadb=4=.答案:c2.(2013年天津卷,文10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为,则正方体的棱长为.解析:由对称性知正方体对角线即其外接球直径,设球半径为r,正方体棱长为a,则r3=,r=,则=3,得a=.答案:3.(2011年四川卷,文15)如图所示,半径为4的球o中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是.解析:法一设球的半径与圆柱的高所成的角为,则圆柱底面半径为4sin ,高为8cos ,s圆柱侧=24sin 8cos =32sin 2.当sin 2=1时,s圆柱侧最大为32.此时s球表-s圆柱侧=442-32=32.法二设圆柱底面半径为r,则其高为2,s圆柱侧=2r2=44=2r2（“=”）.又r=4,s圆柱侧最大为32.此时s球表-s圆柱侧=442-32=32.答案:32模拟试题 考点一 根据组合体的三视图求其表面积或体积1.(2013山东淄博一模)一个直棱柱被一个平面截去一部分后,所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()(a)9 (b)10(c)11(d)解析:由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,其中ab=bc=2,aa1=3,三棱锥a1ad1e为截掉部分.=213=1,v剩余部分=223-1=11.答案:c2.(2013青岛质检)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是2的圆,这个几何体的体积是()(a)(b)8(c)(d)32解析:由三视图可知,该几何体是球去掉四分之一后剩余的部分,v=23=8.答案:b3.(2012吉林一模)如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积是.解析:该几何体是一个长方体挖去一半球而得,直观图如图所示,(半)球的半径为1,长方体的长、宽、高分别为2、2、1,该几何体的表面积为s=16+412-12=16+.答案:16+考点二 几何体的体积1.(2013安徽黄山三校联考)如图(1)所示,abc是等腰直角三角形,ac=bc=4,e、f分别为ac、ab的中点,将aef沿ef折起,使a在平面bcef上的射影o恰为ec的中点,得到图(2).(1)求证:efac;(2)求三棱锥fabc的体积.(1)证明:在abc中,ef是等腰直角abc的中位线,efac,在四棱锥abcef中,efae,efec,又ecae=e,ef平面aec,又ac平面aec,efac.(2)解:在直角梯形bcef中,ec=2,bc=4,sfbc=bcec=4,ao平面bcef,aoec,又o为ec的中点,aec为正三角形,边长为2,ao=,=sfbcao=4=.2.(2013福建厦门高三上质检)如图所示,矩形abcd中,ab=a,ad=b,过点d作deac于e,交直线ab于f.现将acd沿对角线ac折起到pac的位置,使二面角pacb的大小为60.过p作phef于h.(1)求证:ph平面abc;(2)若a+b=2,求四面体pabc体积的最大值.(1)证明:dfac,折起后acpe,acef,ac平面pef,又ph平面pef,acph,又phef,efac=e,ph平面abc.(2)解:peac,efac,pef就是二面角pacb的平面角,pef=60,rtphe中,ph=pe,折起前,rtadc中,de=,sabc=ab,折起后,pe=de,ph=pe=,=phsabc=ab=,a+b=2,a0,b0,=,当且仅当a=b=1时,两个等号同时成立,因此()max=.考点三 球的表面积和体积的求法1.(2013山东临沂高三上期末)四棱锥pabcd的三视图如图所示,四棱锥pabcd的五个顶点都在一个球面上,e、f分别是棱ab、cd的中点,直线ef被球面所截得的线段长为2,则该球表面积为()(a)12(b)24(c)36(d)48解析:由三视图可知,四棱锥的直观图如图所示,补成长方体后可知其外接球的球心是pc的中点,由题意可知正方形abcd的外接圆的直径ac=2.即a=2,a=2.pa=2,pc=2,s球=4r2=4()2=12.答案:a2.(2013山东潍坊一模)已知一个圆柱内接于球o中,其底面直径和母线都是2,则球o的体积是.解析:设球的半径为r,则2r=2,r=,v=r3=.答案:考点四 球的内接几何体的表面积和体积求法1.(2012石家庄二模)已知正三棱柱内接于一个半径为2的球,则正三棱柱的侧面积取得最大值时,其底面边长为()(a)(b)(c)(d)2解析:设正三棱柱底面边长为a,高为h,如图所示.设o为外接球的球心,半径为r,在rtoao2中,oa=r,ao2=a=a,oo2=h,由oa2=+,得r2=+,4=+2=,ah4.当且仅当=,即h=时等号成立,此时正三棱柱侧面积最大,且其最大值为3ah=34=12,此时有4=+,即a=.答案:a2.(2012长春二模)如图所示,正方体abcda1b1c1d1的棱长为6,则以正方体abcda1b1c1d1的中心为顶点,以平面ab1d1截正方体外接球,所得的圆为底面的圆锥的全面积为.解析:设o为正方体外接球的球心,则o也是正方体的中心,正三角形ab1d1的边长为6,其外接圆的半径为6=2.又球的半径是正方体对角线长的一半,即圆锥的母线长为3,因此圆锥底面面积为s1=(2)2=24,圆锥的侧面积为s2=23=18.s圆锥表=s1+s2=18+24=(18+24).答案:(18+24)综合检测1.(2013山东潍坊高三上期末)一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是()(a)12(b)24(c)32(d)48解析:由几何体的三视图可知,其直观图如图所示,将其补成一个正方体可发现该四棱锥外接球球心为sb的中点,球半径r=sb=2,s球=4(2)2=48.答案:d2.(2012潍坊模拟)已知矩形abcd的面积为8,当矩形abcd周长最小时,沿对角线ac把acd折起