汤家凤2012考研数学暑期高数讲义第三讲：重点题型解答.pdf

1 重点题型讲解重点题型讲解 1 计算下列不定积分 1 dxe x 解 0 x时 x x ee 1 Cedxedxe xx x 0 x时 x x ee 2 Cedxe xx 由原函数的连续性有 2 0 1 0 limlimCeCe x X x x 即 21 11CC 令 1 CC 则可得 0 2 0 xCe xCe dxe x x x 2 2 max 1 x dx 解 1 1 1 1max 2 2 xx x xxf 当1 x时 1 3 2 3 C x dxxdxxf 当1 x时 2 1Cxdxdxxf 当1 x时 3 3 2 3 C x dxxdxxf 由连续性 xfxf xx 11 limlim 即 21 1 3 1 CC xfxf xx 11 limlim 即 32 3 1 1CC 令 2 CC 可得 2 max 1 x dx 1 3 4 3 1 1 1 3 2 3 3 3 xC x xC xC x 2 用换元积分法计算下列不定积分 1 dx xx65 1 2 解 原式 C x x Cxxdx xx 2 3 ln2ln3ln 2 1 3 1 2 2 dx xx22 1 2 解 原式 Cxxd x 1arctan1 11 1 2 3 dx xx x 65 4 2 解 原式 C x x Cxxdx xx 3 2 ln3ln2ln2 3 1 2 2 2 4 dx xx x 22 3 2 解 原式 dx x dx xx x dx xx x 11 2 22 1 22 3 222 Cxxx 1arctan 222ln 2 1 2 5 dxxx 1002 1 解 原式 Cxxdx 101 22 100 2 1 202 1 1 1 2 1 6 dx xx x 1 1 7 7 解 原式 dt tt dt tt t dx xx x dx xx xx xt 1 21 7 1 1 1 7 1 1 1 7 1 1 1 7 7 77 7 77 76 C x x C t t 7 7 2 1 ln 7 1 1 ln 7 1 7 dx x41 1 解 原式 3 用换元积分法计算下列不定积分 1 dxe xex 解 令 x et 则原式CeCedte x ett 2 dx xx 1 cos 1 2 解 令 x t 1 则原式C x Cttdt 1 sinsincos 3 3 dx x xx 2 2 1 5 1ln 解 2 2 1 1 1 ln x xx 故原式 Cxx 2 3 2 5 1ln 3 2 4 dxxxx ln1 ln 2 3 解 原式 xxxln1ln 故原式 Cxx 2 5 ln 5 2 5 dx xxxx x ln1 ln 2ln 2 解 2 lnlnln1 2 xxxx 原式dx xxxx xx ln1 ln 2 lnln 22 令xxt 2 ln1 原式 C xx xx C t t tt dt 2 2 ln1 ln ln 1 ln 1 6 dx xx x 2 ln ln1 解 2 ln1ln 1 x x x x 故原式分子分母都除以 2 x 可以得到 原式C xx x C x x dx x x x x ln ln 1 1 ln 1 ln1 2 2 4 计算下列不定积分 1 dx ex 1 1 解 令dt t t dxet x 1 2 1 2 原式 C t t dt tt dt t 1 1 ln 1 1 1 1 1 2 2 2 dx ee xx 1 1 2 解 令 x et dt t dx 1 原式 CeeCt t dt tttt dt xx arctanarctan 1 1 11 1 2222 4 5 计算下列不定积分 1 dx xx 4 1 解 原式 C x dx x dx x 2 2 arcsin 2 2 1 1 2 1 24 1 22 2 dx xx x 2 1 解 原式 dx x dx xx xx dx xx x 22 2 2 2 1 4 3 1 2 1 1 1 2 1 1 112 2 1 Cxxxxx 1 2 1 ln 2 1 1 22 3 3 xx dx 解 令 6 xt dttdx 5 6 原式 dt t ttdt t t dt tt t 1 1 16 1 11 6 6 2 3 23 5 Ctt tt 1ln 23 6 23 Cxx xx 66 3 1ln 23 6 6 计算下列不定积分 1 dx x x sin cot 解 原式C x dx x x sin 2 sin cos 2 3 2 dx xx x cossin3 2cos 解 原式 Cxdx x x 2sin6ln 2sin6 2cos2 3 xx dx 22 cos2sin 5 解 原式C x x x d dx x x 2 tan arctan 2 1 2 tan 1 2 tan 2 2 2tan sec 22 2 4 sincos 2sin 2222 badx xbxa x 解 原式 Cxaba ab dx xaba x 2222 22 2222 2 sin 1 2 sin sin 5 dx xx xx 5 sin cos cossin 解 原式 C xx dx xx xx 45 sincos4 1 sincos sincos 6 dx xtan21 1 解 dx xx x Idx xx x I sin2cos sin sin2cos cos 21 则 121 2CxII 且 221 sin2cosln2CxxII 解得原式 CxxxI sin2ln cos2 5 1 1 7 dxe x x x cos1 sin1 解 原式 xxx de xx d x edxe x x 2 tan 22 sec 2 tan 2 cos2 1 2 2 C x e x de x e x de xxxx 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 8 dx x x sin1 sin 解 令 2 tan x u du u dx 2 1 2 原式 du uu du uu u 22 2 2 1 1 1 1 2 11 4 C u u 1 2 arctan2C x x 2 tan1 2 2 tanarctan2 9 dx xxcossin1 1 解 令 2 tan x u du u d