同济大学的高等数学讲义 (8).pdf

第二单元第二单元 洛必达法则与泰勒公式洛必达法则与泰勒公式 一 本单元的内容要点一 本单元的内容要点 1 用洛必达法则求与型的极限 用洛必达法则求与型的极限 0 0 2 泰勒中值定理泰勒中值定理 3 泰勒公式与麦克劳林公式 拉格朗日型余项及佩亚诺泰勒公式与麦克劳林公式 拉格朗日型余项及佩亚诺 型余项型余项 二 本单元的教学要求二 本单元的教学要求 1 会用洛必达法则求未定式极限 其中会用洛必达法则求未定式极限 其中 对 对0 型未定式 可通过变换化为型或型 型未定式 可通过变换化为型或型 0 0 对 对00 1 等幂指型未定式 可取对数化为或 型 等幂指型未定式 可取对数化为 或 型 0 0 2 理解泰勒中值定理 并会用泰勒定理证明一些相关的理解泰勒中值定理 并会用泰勒定理证明一些相关的 命题 命题 三 本单元教学的重点与难点三 本单元教学的重点与难点 1 用洛必达法则式求型 与型未定式极限 是求极限 的一种特殊方法 并非一般方法 用洛必达法则式求型 与型未定式极限 是求极限 的一种特殊方法 并非一般方法 尤其注意 只有满 足条件 尤其注意 只有满 足条件 存在或为 存在或为 这时称有 确定意义 这时称有 确定意义 用洛必达法则求得的极限才是正确的 用洛必达法则求得的极限才是正确的 0 0 lim xa fx Fx lim xa fx Fx 2 要正确理解 洛必达法则的条件是未定式存在极限的 充分而非必要条件 换言之 当不存在或也 不为 时 仍然可能是确定的 要正确理解 洛必达法则的条件是未定式存在极限的 充分而非必要条件 换言之 当不存在或也 不为 时 仍然可能是确定的 lim xa fx Fx lim xa f x F x 3 应注意 洛必达法则不是求型与型未定式的唯 一方法 应注意 洛必达法则不是求型与型未定式的唯 一方法 读者在计算时应该结合等价无穷小的替换 带有 佩亚诺余项余项的泰勒公式等方法 以使计算简便 准 确 读者在计算时应该结合等价无穷小的替换 带有 佩亚诺余项余项的泰勒公式等方法 以使计算简便 准 确 0 0 4 要懂得泰勒中值定理是罗尔中值定理与拉格朗日中值 定理的进一步的推广 即拉格朗日中值定理是泰勒中值 定理当 要懂得泰勒中值定理是罗尔中值定理与拉格朗日中值 定理的进一步的推广 即拉格朗日中值定理是泰勒中值 定理当n n 0时的特例 并懂得函数在一点 0时的特例 并懂得函数在一点x0的泰勒多项 式是该函数在 的泰勒多项 式是该函数在x0附近的近似表达式 比起函数的一次近 似 高阶泰勒多项式有更好的近似精度 附近的近似表达式 比起函数的一次近 似 高阶泰勒多项式有更好的近似精度 5 要学生记住以下初等函数的带有佩亚诺型余项的麦克要学生记住以下初等函数的带有佩亚诺型余项的麦克 劳林公式 劳林公式 2 11 1 2 xnn exxxo x n 1 352121 11 1 sin 3 5 21 m mm xxxxxo x m 2422 11 1 cos1 2 4 2 m mm xxxxo x m 1 23 11 1 ln 1 23 n nn xxxxxo x n 2 1 1 1 1 1 2 n n n xxxx n o x 2 1 1 1 nn xxxo x x 特别特别 本单元课时数 本单元课时数 4课时 课时 洛必达法则洛必达法则 如果当如果当x a 或或x 时 函数时 函数 f x 与与F x 都趋于零或 都趋于无穷大 那么极限可能存在 也可能不 存在 通常称这种类型的极限为未定式 为了叙述方便 习惯上用记号或来表示这两种类型的未定式 在 本节中 我们将利用柯西中值定理得出求这些类型极限 的一种简便而重要的方法 并着重讨论 都趋于零或 都趋于无穷大 那么极限可能存在 也可能不 存在 通常称这种类型的极限为未定式 为了叙述方便 习惯上用记号或来表示这两种类型的未定式 在 本节中 我们将利用柯西中值定理得出求这些类型极限 的一种简便而重要的方法 并着重讨论x a 时的未定式 的情形 时的未定式 的情形 lim xa x f x F x 0 0 0 0 定理定理1 设设 f x F x 在点在点a的某去心领域内可导 并且满足条件 的某去心领域内可导 并且满足条件 0F x lim lim 0 xaxa f xF x 极限或为 极限或为 lim xa fx F x 那么那么 极限存在 并且极限存在 并且 limlim xaxa f xfx F xF x lim xa f x F x 证因极限存在与否与函数在该点的函数值无关 故可证因极限存在与否与函数在该点的函数值无关 故可 设设f a F a 0 则由条件知 则由条件知f x F x 在区间在区间 a x x a 满足柯西中值定理的条件 即有满足柯西中值定理的条件 即有 f xf xf af F xF xF aF 在在x与与a之间之间 令令x a 则 则 a 又因极限存在 即得 又因极限存在 即得 lim xa fx F x limlim xaxa f xfx F xF x gg 例例1 求 求 3 32 1 32 lim 1 x xx xxx 解当解当x 1时 分子和分母的极限均为零 故由洛必达时 分子和分母的极限均为零 故由洛必达 法则 得法则 得 32 322 111 323363 limlimlim 1321622 xxx xxxx xxxxxx 注在用洛必达法则求极限的过程中 可能要多次使用 洛必达法则 才能最终求出极限 注在用洛必达法则求极限的过程中 可能要多次使用 洛必达法则 才能最终求出极限 例例2 求 求 0 2 lim sin xx x eex xx 解解 000 0 22 limlimlim sin1cossin lim2 cos xxxxxx xxx xx x eexeeee xxxx ee x 注我们指出 如果把极限过程换成注我们指出 如果把极限过程换成x a 或或x a 或或 x 或 或x 或 或x 只要是型的 并且 极限存在 只要是型的 并且 极限存在 或为无穷大或为无穷大 则仍然有 则仍然有 lim f x F x 0 0 lim fx F x limlim f xfx F xF x 这里不再一一证明 这里不再一一证明 11 arctanarctan 1 lim 11 1 x xx xx 例例3 求求 解解 22 22 2 2 2 2 11 11 arctanarctan 1 11 1 limlim 1111 1 1 11 1 lim2 1 xx x x x xx xxx x xx xx 定理定理2设设 f x F x 在点在点a的某去心领域内可导 并且满足条件 的某去心领域内可导 并且满足条件 0F x lim lim xaxa f xF x 极限或为 极限或为 lim xa fx F x 那么那么 极限存在 并且极限存在 并且 limlim xaxa f xfx F xF x lim xa f x F x 注此定理的证明比较繁琐 所以略去证明 同样要说注此定理的证明比较繁琐 所以略去证明 同样要说 明的是定理中的可以换成 明的是定理中的可以换成 a 或 或x a 或 或x 或 或 x 或 或x 只要把条件作相应的修改 定理 只要把条件作相应的修改 定理2仍然仍然 成立 成立 例例4 求极限求极限 ln lim 0 n x x n x 解解 ln1 limlim0 nn xx x xnx 例例5 求极限求极限 lim N 0 n x x x n e 解解 2 1 2 1 limlimlim lim0 n nn xxx xxx nx x n nxxnx eee n e 注以上两个例虽然简单 但要务必熟记 例 注以上两个例虽然简单 但要务必熟记 例6 求极限求极限 10 ln tan 2 lim ln 1 x x x 解解 2 1 01 01 0 1 sec 22 lntantan 1 22 limlimlim 1 ln 1 sin 1 xxx x xx x xx x 1 0 lim1 cos x x 除了上面两种基本类型的未定式外 还有其他几种形除了上面两种基本类型的未定式外 还有其他几种形 式的未定式 它们是 式的未定式 它们是 0 00 1 0 对 对 于这几种未定型 常用的方法是通过适当的变换 将其于这几种未定型 常用的方法是通过适当的变换 将其 转换成上面两种基本类型 转换成上面两种基本类型 例例7 求求 0 limln 0 n x xxn 解解 1 1 000 0 ln limlnlimlim 1 lim0 n nn xxx n x xx xx xnx x n 例例8 求极限求极限 0 11 lim ln 1 x xx 解此类型为 型 解此类型为 型 00 2 00 0 11ln 1 limlim ln 1ln 1 1 1 ln 1 1 limlim 2 1 lim 2 1 2 xx xx x xx xxxx xx x xx x xx 对对00 1 0未定式 则可通过取对数的方式 转未定式 则可通过取对数的方式 转 化为化为0 型未定式 再化为或型未定式 即若极限 型未定式 再化为或型未定式 即若极限 0 0 lim g x x f x 形式为 作变换 即形式为 作变换 即 g x yf x 原极限转变为 原极限转变为 ln ln yg xf x limlnlim ln xx yg xf x 例例9 求极限求极限 1 lim x x x 解此极限为 解此极限为 0型 令 型 令 1 1 lnln x yxyx x 11 lim lnlimlnlim0 xxx yx xx 1 0 lim1 x x xe 例例10 求极限求极限 1 2 1 1 lim 2 x x xx 解令解令 1 22 1 1 lnln 212 x xxxx yy x 2 2 11 1123 limlnlnlim 122 xx xxx y xxx 1 32 1 2 1 lim 2 x x xx e 最后我们指出两点最后我们指出两点 第一 洛必达法则是求未定式的第一 洛必达法则是求未定式的 值的一种有效方法值的一种有效方法 但是最好能与其他求极限的方法结但是最好能与其他求极限的方法结 合使用 比如利用重要极限和等价无穷小的替代等方合使用 比如利用重要极限和等价无穷小的替代等方 法 这样可以使运算简捷 法 这样可以使运算简捷 例例11 求极限求极限 2 0 sin lim sin x xx xx 解此题也可直接使用洛必达法则 但分母的求导过于 复杂 故可考虑等价无穷小代换 注意到当 解此题也可直接使用洛必达法则 但分母的求导过于 复杂 故可考虑等价无穷小代换 注意到当x 0时 时 Sinx x 因此因此 232 000 0 sinsin1cos limlimlim sin3 1 lim 66 xxx x xxxxx xxxx x x 第二 定理第二 定理1或或2的条件仅是其结论的充分条件 当分子 分母的导数之商的极限不存在也不是 时 的 极限仍可能存在 的条件仅是其结论的充分条件 当分子 分母的导数之商的极限不存在也不是 时 的 极限仍可能存在 fx Fx f x F x 例例12 验证极限存在 但不能用洛必达法 则求之 验证极限存在 但不能用洛必达法 则求之 sin lim x xx x 解因故但原式上下求导解因故但原式上下求导 sin lim0 x x x sin lim1 x xx x cos lim 1 x x 之后为 之后为 此式的极限不存在 故原题不能用 洛必达法则求出 此式的极限不存在 故原题不能用 洛必达法则求出 泰勒公式泰勒公式 不论是进行近似计算还是理论分析 人们总希望用一不论是进行近似计算还是理论分析 人们总希望用一 些简单的函数来近似表示比较复杂的函数 多项式是比些简单的函数来近似表示比较复杂的函数 多项式是比 较简单的一种函数 它只包含加 乘两种运算 最适于较简单的一种函数 它只包含加 乘两种运算 最适于 计算机计算 因此 常用多项式来近似表达函数 计算机计算 因此 常用多项式来近似表达函数 我们已经知道当 并且我们已经知道当 并且 Dx 很小时 有如下 的近似等式 很小时 有如下 的近似等式 0 0f x 0 ydyfxx 000 f xf xfxxx 或或 上式就是用一次多项式来 近似表达一个函数 上式就是用一次多项式来 近似表达一个函数f x 显然 在 显然 在x x0处 这个一次多项 式满足 处 这个一次多项 式满足P1 x0 f x0 以及 但是 这种近似 表达式存在不足之处 以及 但是 这种近似 表达式存在不足之处 首先是精确度不高 它所产生的 误差仅是关于 首先是精确度不高 它所产生的 误差仅是关于 x x0 的高阶无穷小 其次是用它来作近似 计算时 不能具体估计出误差的大小 的高阶无穷小 其次是用它来作近似 计算时 不能具体估计出误差的大小 因此 我们设想 用高次多项式来近似表达函数 同时设法给出误差公式 于是提出如下的问题 因此 我们设想 用高次多项式来近似表达函数 同时设法给出误差公式 于是提出如下的问题 1000 P xf xfxxx 100 P xfx 设函数在含设函数在含x0的开区间内具有直到的开区间内具有直到 n 1 阶的导数 试阶的导数 试 找出一个关于找出一个关于 x x0 的的n次多项式次多项式 2 010200 n nn P xaa xxa xxa xx 用它来近似表达用它来近似表达f x 要求它与 要求它与f x 之差是比之差是比 x x0 n高 阶的无穷小 并且给出误差的具体表达式 高 阶的无穷小 并且给出误差的具体表达式 n f xP x 为了使求得的近似多项式与为了使求得的近似多项式与f x 在数值与性质方面吻在数值与性质方面吻 合得更好 我们进一步要求合得更好 我们进一步要求Pn x 在在x0处满足处满足 00 0 1 kk n Pxfxkn 按此要求 可以很容易地求得按此要求 可以很容易地求得 1 式中多项式的各个系式中多项式的各个系 数为数为 0010200 11 2 n n af xaf xafxafx n 于是于是 2 00000 00 1 2 1 n n n P xf xf xxxfxxx fxxx n 2 式称为式称为f x 在在x0处关于处关于 x x0 的的n阶泰勒多项式阶泰勒多项式 定理定理1 泰勒中值定理泰勒中值定理 如果函数如果函数f x 在含在含x0的某个开区 间内 的某个开区 间内 a b 具有直到具有直到 n 1 阶导数 即 那 么对于 阶导数 即 那 么对于x a b 有 有 1 n fDa b 2 00000 00 1 2 1 nn n f xf xfxxxfxxx fxxxRx n 1 1 0 1 n n n f Rxxx n 其中其中 而而 是介于是介于x与与x0之间的某一个值 之间的某一个值 公式 称为公式 称为f x 在在x0处关于处关于 x x0 的的n阶泰勒公式 公 式右端的最后一项 阶泰勒公式 公 式右端的最后一项 1 1 0 1 n n n f Rxxx n 称为拉格朗日型余项 称为拉格朗日型余项 当当n 0时 泰勒公式就是拉格朗日中值公式 时 泰勒公式就是拉格朗日中值公式 00 f xf xfxx 在在x与与x0之间之间 所以 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广 所以 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广 由定理可知 用泰勒多项式由定理可知 用泰勒多项式Pn x 近似表达函数近似表达函数f x 时时 其误差为其误差为 Rn x 如果对于某个固定的如果对于某个固定的n 当 当x a b 时 时 f n 1 x M 那么有估计式 那么有估计式 1 11 00 1 1 n nn n fM R xxxxx nn 在公式在公式 2 中取中取x 0的特殊情况在应用中尤为重要 此 时 在 的特殊情况在应用中尤为重要 此 时 在0与与x之间 因此可记 之间 因此可记 x 从而使泰勒公式变成 较简单的形式 称为麦克劳林公式 从而使泰勒公式变成 较简单的形式 称为麦克劳林公式 2 1 1 0 0 0 2 0 01 nn nn f f xffxx ffx xx nn 与泰勒多项式相应 上式右端的多项式称为的与泰勒多项式相应 上式右端的多项式称为的n阶麦阶麦 克劳林多项式克劳林多项式 此时的误差估计式此时的误差估计式 5 相应变成 相应变成 1 1 n n M Rxx n 例例13 求出函数的求出函数的n阶麦克劳林公式 阶麦克劳林公式 x f xe 解因解因 nx f xfxfxfxe 0 0 0 0 1 n ffff 故相应的故相应的n阶麦克劳林展开式为阶麦克劳林展开式为 21 11 1 01 2 1 x xnn e exxxx nn 由这个公式可知 对给定的由这个公式可知 对给定的x R 如果用它的阶麦克 如果用它的阶麦克 劳林多项式近似表达为劳林多项式近似表达为 2 11 1 2 xn exxx n 注意到 相应的误差为注意到 相应的误差为 11 01 1 1 xx nn n ee R xxx nn 若取若取x 1 则可得 则可得e的近似值为的近似值为 11 11 2 e n 其误差为其误差为 3 1 1 n e R nn 当当n 10时 可算出 其误差不超过时 可算出 其误差不超过10 62 718282e 例例14 求出函数的求出函数的n阶麦克劳林公式 阶麦克劳林公式 sinf xx 解因解因 sin 0 1 2 2 n n fxxn 0 2 0 0 1 2 21 1 n m nm fm nm 代入公式 得代入公式 得 1 3521 2 11 1 sin 3 5 21 m m m xxxxxRx m 其中其中 21 2 sin 21 2 01 21 m m xm Rxx m 由此 由此 sinx的的n阶阶 n 2m 麦克劳林多项式为麦克劳林多项式为 1 3521 11 1 sin 3 5 21 m m xxxxx m 相应的误差为相应的误差为 21 21 2 sin 21 2 21 21 m m m xm x Rxx mm 正弦函数正弦函数sinx及其近似多项式及其近似多项式Pn x n 1 2 19 通过计 通过计 算机作出的图象都画在下图中 可以看到算机作出的图象都画在下图中 可以看到sinx及其近似多及其近似多 项式项式Pn x 的图形随着的图形随着n的增大而变得贴近起来 也就是说的增大而变得贴近起来 也就是说 误差误差Rn x 随着随着n的增大而变小 特别当的增大而变小 特别当x偏离原点较远时偏离原点较远时 选取阶数较高的麦克劳林多项式选取阶数较高的麦克劳林多项式Pn x 来近似表达时 其来近似表达时 其 精度就较高 精度就较高 xPn 2 1 nsin19 xP x n Rx n P x n sin x 类似地 可以得到类似地 可以得到 242 21 11 1 cos1 2 4 2 m m m xxxxRx m 其中其中 22 21 cos 1 01 22 m m xm Rxx m 1 23 11 1 ln 1 23 n n n xxxxxR x n 其中 其中 22 21 cos 1 01 22 m m xm Rxx m 2 1 1 1 1 1 2 n n n xxxxR x n 其中 其中 11 1 1 1 01 1 nn n nn R xxx n 上面讨论的是带有拉格朗日型余项的泰勒展开式 其上面讨论的是带有拉格朗日型余项的泰勒展开式 其 优点之一是在近似计算中可以用它来作误差估计 然而优点之一是在近似计算中可以用它来作误差估计 然而 Rn x 的另一种表达式 在处理极限时会带来很大方便 的另一种表达式 在处理极限时会带来很大方便 当当x x0时 泰勒公式中的余项时 泰勒公式中的余项Rn x 是比是比 x x0 n高阶的高阶的 无穷小 即无穷小 即 n n Rxoxx 表达式 称为佩亚诺型余项 表达式 称为佩亚诺型余项 定理定理2 如果函数如果函数 f x 在含有在含有x0的开区间的开区间 a b 内直到有内直到有n 阶的导数 且阶的导数 且 f x 在在 a b 内连续 则内连续 则 f x 在在 a b 内有内有 n阶带有佩亚诺余项的泰勒公式阶带有佩亚诺余项的泰勒公式 2 00000 000 1 2 1 nnn f xf xfxxxfxxx fxxxoxx n 下面是常见的基本初等函数的带有佩亚诺型余项的麦下面是常见的基本初等函数的带有佩亚诺型余项的麦 克劳林公式 克劳林公式 2 11 1 2 xnn exxxo x n 1 352121 11 1 sin 3 5 21 m mm xxxxxo x m 2422 11 1 cos1 2 4 2 m mm xxxxo x m 1 23 11 1 ln 1 23 n nn xxxxxo x n 2 1 1 1 1 1 2 nn n xxxxo x n 例例15 求极限求极限 3 0 sincos lim sin x xxx x 解将分子中的解将分子中的sinx与与cosx分别用三阶的带有佩亚诺型 余项的麦克劳林公式表示 分别用三阶的带有佩亚诺型 余项的麦克劳林公式表示 33 1 sin 3 xxxo x