考研数学 线性代数讲义第2章矩阵代数.pdf

2008 春季班 线性代数 第二章 矩阵代数 2 1 第 2 章 矩阵代数 第 2 章 矩阵代数 2 1 矩阵的概念 2 1 矩阵的概念 由由mn个数排成行列的数表 个数排成行列的数表 mn mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 称为矩阵 记作称为矩阵 记作A 其中称作矩阵 其中称作矩阵 ij aA的第的第i行第行第j 列的元素 列的元素 两个矩阵如果大小一样 就说他们是同型的 两个矩阵如果大小一样 就说他们是同型的 两个同型的矩阵 如果对应的元素也都一样 就 说这两个矩阵相等 两个同型的矩阵 如果对应的元素也都一样 就 说这两个矩阵相等 若 即 若 即1 mA是是n 1的 的 n aaaA 21 称为行矩阵或行向量 若 即 称为行矩阵或行向量 若 即1 nA是的 是的 1 m m a a a A 2 1 称为列矩阵或 列向量 若 称为列矩阵或 列向量 若1 nm 这是一个 这是一个11 的矩阵 只 有一个元素 就看成是一个数 按数的规律进行运算 的矩阵 只 有一个元素 就看成是一个数 按数的规律进行运算 2008 春季班 线性代数 第二章 矩阵代数 2 2 2 2 矩阵的运算 2 2 矩阵的运算 两个同型的矩阵可以做加法 它们的和是和它们 同型的矩阵 相加的规则是矩阵中对应的元素相 加 即 两个同型的矩阵可以做加法 它们的和是和它们 同型的矩阵 相加的规则是矩阵中对应的元素相 加 即 设 设 nm ij aA nm ij bB 则 则 nm ijij baBA 矩阵加法的运算性质 矩阵加法的运算性质 交换律 交换律ABBA 结合律 结合律CBACBA 有零矩阵 对任意矩阵 有零矩阵 对任意矩阵A 有 有 AAA 00 任意矩阵 任意矩阵A 都有负矩阵 都有负矩阵A 使得 使得 0 AA 其中其中 ij aA 设 设k是一个数 是一个数 nm ij aA 则数 则数k和矩阵和矩阵A 的数乘为 的数乘为 nm ij kakA 设 设lk 是两个常数 是两个常数 BA 是同型矩阵 则 是同型矩阵 则 AA 1 00 A 2008 春季班 线性代数 第二章 矩阵代数 2 3 AkllAk kBkABAk lAkAAlk 设设 lm ij aA nl ij bB 则 则 nm ij cAB 其中 其中 ljiljijiij bababac 2211 矩阵乘法有性质 矩阵乘法有性质 结合律 结合律 CABBCA 分配律 分配律 BCACCBA CBCABAC k是常数 则 是常数 则 kBABkAABk 设设BA 是是n阶方阵 则阶方阵 则BAAB 设矩阵 设矩阵A是是n阶方阵 阶方阵 A可以自乘 可以自乘 k个个A相乘相乘 k A叫叫A的的k次幂 次幂 矩阵的幂有性质 矩阵的幂有性质 lklk AAA kl l k AA 2008 春季班 线性代数 第二章 矩阵代数 2 4 设 设A是是n阶方阵 阶方阵 01 1 1 axaxaxaxf n n n n 是一个一元是一个一元n次多项式 次多项式 用用A代多项式中的 得到矩阵多项式 代多项式中的 得到矩阵多项式 x IaAaAaAaAf n n n n01 1 1 矩阵多项式还是一个阶方阵 矩阵多项式还是一个阶方阵 n 设设 nm ij aA 则 则 mnnn m m aaa aaa aaa 21 22212 12111 称为矩阵称为矩阵A的转置矩阵 记作的转置矩阵 记作 T A 转置有性质 转置有性质 AA TT TTT BABA TT kAkA TTT ABAB 2008 春季班 线性代数 第二章 矩阵代数 2 5 例 1 设例 1 设 T1 0 1 T A 是 正整数 求 是 正整数 求 n n AaE 例 命题 例 命题 0 2 A 则 则0 A 是否正确 若正确 证明之 若不正确 举例说明 是否正确 若正确 证明之 若不正确 举例说明 A是二阶矩阵 求满足是二阶矩阵 求满足0 2 A的所有矩阵 的所有矩阵 证明 证明0 2 A 且 且AAT 则 则0 A 例 3 设例 3 设 101 020 101 A 而是整数 求 而是整数 求2 n 1 2 nn AA 例 4 设例 4 设 110 011 001 A 求 求 n A 例5 设例5 设 T4 3 2 1 T 4 1 3 1 2 1 1 T A 则 则 n A 2008 春季班 线性代数 第二章 矩阵代数 2 6 例 6 设例 6 设 332313 322212 312111 bababa bababa bababa A 求 求 n A 2 3 逆矩阵 2 3 逆矩阵 设 设A是是n阶方阵 如果存在阶方阵阶方阵 如果存在阶方阵nB 使得 使得 EBAAB 成立 则称成立 则称A为可逆矩阵 为可逆矩阵 B是是A的逆矩阵 的逆矩阵 矩阵可逆的充分必要条件是矩阵的行列式不等 于 矩阵可逆的充分必要条件是矩阵的行列式不等 于 设 设A是是n阶方阵 若阶方阵 若0 A 则 则 1 1 A A A 其中 其中 T ij AA 是是A的伴随矩阵 的伴随矩阵 设设 dc ba A 若 若0 bcad 则 则 ac bd bcad A 1 1 用矩阵的初等行变换 适合任何具体的数字矩阵 用矩阵的初等行变换 适合任何具体的数字矩阵 1 AIIA 2008 春季班 线性代数 第二章 矩阵代数 2 7 利用分块矩阵的逆矩阵公式 利用分块矩阵的逆矩阵公式 1 1 1 0 0 0 0 B A B A 及 及 0 0 0 0 1 1 1 A B B A 逆矩阵有性质 逆矩阵有性质 AA 1 1 1 1 1 A k kA 其中常数 其中常数0 k 其中 其中 11 1 ABABBA 都是可逆矩 阵 都是可逆矩 阵 T T AA 1 1 例 设矩阵例 设矩阵A满足满足04 2 EAA 求 求 1 EA 例 设例 设CBA 是阶方阵 满足是阶方阵 满足nEABC 求 求 1 1 AC 2008 春季班 线性代数 第二章 矩阵代数 2 8 例 设例 设 113 34 221 tA B为 阶非零矩 阵 且 为 阶非零矩 阵 且0 AB 求 求t 例 1 例 1 0011 0021 1200 2500 A 求 求 1 A 例1 已知例1 已知BABA 都可逆 证明都可逆 证明 11 BA 可逆 并求可逆 并求 1 11 BA 例 1 已知矩阵例 1 已知矩阵 120 0 3 1 2 001 A 1 EAEAB 求矩阵 求矩阵 1 BE 例 1 设矩阵例 1 设矩阵 1000 2100 3210 2321 B 2008 春季班 线性代数 第二章 矩阵代数 2 9 1000 2100 0210 1021 C 且 且 11 2 CABCE T 求矩阵 求矩阵A 矩阵可逆的等价命题 矩阵可逆的等价命题 n阶矩阵阶矩阵A可逆 可逆 A的行列式的值不为 的行列式的值不为 A满秩 满秩 A的列向量组线性无关 的列向量组线性无关 以以A为系数矩阵的齐次线性方程组为系数矩阵的齐次线性方程组0 Ax只 有零解 只 有零解 A可分解为一系列初等矩阵的乘积 可分解为一系列初等矩阵的乘积 对任意维向量对任意维向量b 方程组 方程组nbAx 必有惟一解 必有惟一解 A没有零特征值 没有零特征值 例 1 设例 1 设A是阶方阵 且是阶方阵 且n 0 A 若 若 T AA 证明 证明A可逆 可逆 例 1 设例 1 设A是实矩阵 是实矩阵 0 AEAAT 证明 证明 EA 不可逆 不可逆 2008 春季班 线性代数 第二章 矩阵代数 2 10 2 4 矩阵方程 2 4 矩阵方程 含有未知矩阵的等式 如 含有未知矩阵的等式 如BAX 就是矩阵 方 程 矩 阵 方 程 的 最 基 本 形 式 是 就是矩阵 方 程 矩 阵 方 程 的 最 基 本 形 式 是BAX 和和 BXA 其中 其中X是未知矩阵 是未知矩阵 设 设A是是n阶方阵 阶方阵 B是是mn 矩阵 若矩阵 若A可逆 则矩阵方程 可逆 则矩阵方程BAX 有解 其解为 有解 其解为 BAX 1 设 设A是是n阶方阵 阶方阵 B是是nm 矩阵 若矩阵 若A可逆 则矩阵方程 可逆 则矩阵方程BXA 有解 其解为 有解 其解为 1 BAX 例 1 设例 1 设 101 020 101 A 满足 满足 XAEAX 2 求 求X 例 设例 设 200 011 001 A 100 020 001 B 且 且BAAX 求 求 100 X 2008 春季班 线性代数 第二章 矩阵代数 2 11 2 5 分块矩阵 2 5 分块矩阵 在矩阵 在矩阵A中 用一些横线和纵线将中 用一些横线和纵线将A分成若干小 矩阵 这些小矩阵称为矩阵 分成若干小 矩阵 这些小矩阵称为矩阵A的子块 以子块为元素 的矩阵就叫分块矩阵 例如 的子块 以子块为元素 的矩阵就叫分块矩阵 例如 4321 3100 2010 1001 A 令令 T 321 则 则 4 T E A 是分块矩 阵 对矩阵进行分块是为了简化计算 我们特别关注 的是将矩阵按列分块 是分块矩 阵 对矩阵进行分块是为了简化计算 我们特别关注 的是将矩阵按列分块 n A 21 其中 其中 i 是列向量 是列向量 按行分块 按行分块 m A 2 1 其中其中 i 是行向量 以及准对角矩阵 是行向量 以及准对角矩阵 2008 春季班 线性代数 第二章 矩阵代数 2 12 s A A A A 2 1 其中其中 i A是方阵 是方阵 设 设 s A A A A 2 1 s B B B B 2 1 其中的子块都是方 其中的子块都是方 阵 并且假设以下涉及的运算都可行 关于准对角矩 阵的运算有以下一些重要结论 阵 并且假设以下涉及的运算都可行 关于准对角矩 阵的运算有以下一些重要结论 BA ss BA BA BA 22 11 2008 春季班 线性代数 第二章 矩阵代数 2 13 kA s kA kA kA 2 1 AB ssB A BA BA 22 11 k A k s k k A A A 2 1 1 A 1 1 2 1 1 s A A A A s AAA 21 2008 春季班 线性代数 第二章 矩阵代数 2 14 21s ArArArAr 例 18 设例 18 设A为阶可逆矩阵 为阶可逆矩阵 n 为维列向量 为维列向量 b为 常数 分块矩阵 为 常数 分块矩阵 n AA E P T 0 b A Q T 计算并化简 计算并化简PQ 证 明 矩 阵 证 明 矩 阵Q可 逆 的 充 分