2012-2013学年上海市十二校高三（上）12月联考数学试卷（理科）.doc

2012-2013学年上海市十二校高三（上）12月联考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1（4分）（2012黄浦区二模）函数f（x）=的定义域为（，+）考点：对数函数的定义专题：计算题分析：根据对数函数的性质可知对数函数的真数大于0，建立不等关系，解之即可求出所求解答：解：2x+10x即函数f（x）=的定义域为（，+）故答案为：（，+）点评：本题主要考查了对数函数的定义域，掌握对数函数的性质是关键，属于基础题2（4分）已知角的终边过点P（3，4），则sin+cos的值为考点：任意角的三角函数的定义专题：计算题；三角函数的求值分析：利用任意角的三角函数的定义，可求得sin，cos，从而可得sin+cos的值解答：解：的终边过点P（3，4），cos=，sin=，sin+cos=+（）=故答案为：点评：本题考查任意角的三角函数的定义，根据的终边过点P（3，4），求得sin，cos是关键，属于基础题3（4分）（2010徐汇区二模）设集合，则AB=x|1x2考点：并集及其运算分析：集合B为简单的二次不等式的解集，解出后，利用数轴与A求并集即可解答：解：B=x|x21=x|1x1，AB=x|1x2，故答案为：x|1x2点评：本题考查集合的基本运算，属基本题，注意等号4（4分）（2012黄浦区二模）若x，则方程2sinx+1=0的解x=考点：三角函数的化简求值专题：计算题；三角函数的求值分析：根据2sinx+1=0，得sinx=结合sin=和诱导公式sin（+）=sin，可得x的值解答：解：2sinx+1=0，sinx=x，x=+=故答案为：点评：本题给出角的范围和角的正弦值，求角的大小，着重考查了诱导公式和特殊角的三角函数值等知识，属于基础题5（4分）已知函数f（x）=ax2+（b3）x+3，x2a3，4a是偶函数，则a+b=2考点：二次函数的性质专题：函数的性质及应用分析：偶函数定义域关于原点对称，且f（x）=f（x），由此即可求出a，b解答：解：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以2a3+4a=0，解得a=1由f（x）为偶函数，得f（x）=f（x），即ax2（b3）x+3=ax2+（b3）x+3，2（b3）x=0，所以b=3所以a+b=31=2故答案为：2点评：偶函数的定义域关于原点对称，f（x）=f（x）恒成立，对于函数的奇偶性问题，往往从定义上考虑6（4分）已知幂函数y=f（x）存在反函数，若其反函数的图象经过点（，9），则的值是2考点：反函数专题：函数的性质及应用分析：设幂函数y=f（x）=x，由题意可得原函数f（x）的图象经过点（9，），求出的值，可得函数解析式，从而求得 的值解答：解：设幂函数y=f（x）=x，由题意可得原函数f（x）的图象经过点（9，），故有 9=，=，即 f（x）=，=2，故答案为 2点评：本题主要考查函数与反函数的图象间的关系，用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题7（4分）若等差数列an满足an+1+an=4n3（nN*）则a1的值为考点：等差数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：根据an+1+an=4n3写出a2+a1，a3+a2的值，两式作差可求出公差，从而可求出首项解答：解：an+1+an=4n3a2+a1=43=1，a3+a2=423=5两式相减得a3a1=51=4数列an是等差数列2d=4即d=2则a2+a1=2a1+d=1=2a1+2即a1=故答案为：点评：本题主要考查了等差数列的通项，以及数列首项等概念，同时考查了运算求解的能力，属于基础题8（4分）（2006天津）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=20吨考点：函数模型的选择与应用专题：应用题；压轴题分析：先设此公司每次都购买x吨，利用函数思想列出一年的总运费与总存储费用之和，再结合基本不等式得到一个不等关系即可求得相应的x值解答：解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，=160，当且仅当即x=20吨时，等号成立即每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小故答案为：20点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数模型的选择与应用、函数最值的应用等基础知识，考查应用数学的能力属于基础题9（4分）函数（x0，）的值域是考点：两角和与差的正弦函数专题：三角函数的图像与性质分析：利用两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式为2sin（x），再根据 x0，可得 x，由此求得函数f（x）的值域解答：解：函数=2（sinxcosx）=2sin（x）又x0，x，sin（x），1，2sin（x），即函数f（x）的值域为 ，故答案为 点评：本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题10（4分）（2009浦东新区一模）已知数列an是等比数列，其前n项和为Sn，若S2=12，S3=a16，则=16考点：等比数列的前n项和；极限及其运算专题：计算题分析：设出数列的公比为q，利用S2=12，S3=a16，求出a1，q，然后求出Sn，即可求出的值解答：解：设数列的公比为q，其前n项和为Sn，若S2=12，S3=a16，所以a1+a2=12，a1+a2+a3=a16，解得a1=8，q=；Sn=；所以=16故答案为16点评：本题考查数列的前n项和的求法，数列极限的应用，考查计算能力，转化思想的应用，注意数列极限存在的含义11（4分）若存在实数x1，2满足2x2ax+20，则实数a的取值范围是（，5）考点：特称命题专题：不等式的解法及应用分析：构造函数f（x）=2x2ax+2，若存在实数x1，2满足2x2ax+20，则f（1）0，或f（2）0，进而可得实数a的取值范围解答：解：令f（x）=2x2ax+2若存在实数x1，2满足2x2ax+20，则f（1）0，或f（2）0即4a0，或102a0，即a4，或a5故a5即实数a的取值范围是（，5）故答案为：（，5）点评：本题考查的知识点是特称命题，其中构造函数，将存在性问题（特称命题），转化为不等式问题是解答的关键12（4分）在平面直角坐标系xOy中，函数f（x）=k（x1）（k1）的图象与x轴交于点A，它的反函数y=f1（x）的图象与y轴交于点B，并且这两个函数的图象交于点P若四边形OAPB的面积是3，则k=考点：反函数专题：综合题分析：取y=0，求出直线y=k（x1）与x轴的交点，根据互为反函数图象之间的关系求得B点的坐标，设出P点的坐标，由四边形OAPB的面积等于3求出P点的坐标，代入直线y=k（x1）后可求得k的值解答：解：如图，因为函数f（x）=k（x1）（k1）的图象与x轴交于点A，取y=0，得k（x1）=0，所以x=1，则A（1，0），又因为互为反函数的两函数的图象关于直线y=x对称，所以B（0，1），设P（x0，y0），因为四边形OAPB的面积是3，所以，所以y0=3，又直线f（x）=k（x1）的斜率k1，所以直线f（x）=k（x1）与直线y=x的交点在第一象限，所以y0=3，则P（3，3），把P（3，3）代入y=k（x1）得：故答案为点评：本题考查了反函数，考查了互为反函数图象之间的关系，考查了数形结合的解题思想，解答此题的关键是明确互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，此题为中低档题13（4分）（2011浦东新区三模）已知数列an是以3为公差的等差数列，Sn是其前n项和，若S10是数列Sn中的唯一最小项，则数列an的首项a1的取值范围是（30，27）考点：等差数列的性质专题：计算题分析：先根据其为等差数列得到其前n项和的表达式，再结合开口向上的二次函数离对称轴越近函数值越小得到关于首项a1的不等式，解不等式即可求出首项a1的取值范围解答：解：因为数列an是以3为公差的等差数列；所以：=n=+（）对称轴n=若S10是数列Sn中的唯一最小项，9n10，即30a127故答案为：（30，27）点评：本题主要考查等差数列的基本性质以及二次函数的性质应用，是对基础知识的综合考查，考查计算能力以及分析能力14（4分）（2012松江区三模）对于定义域和值域均为0，1的函数f（x），定义f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x），fn（x）=f（fn1（x），n=1，2，3，满足fn（x）=x的点x0，1称为f的n阶周期点设则f的n阶周期点的个数是2n考点：函数的周期性专题：计算题；压轴题分析：本题考查的知识点是归纳推理，方法是根据已知条件和递推关系，先求出f的1阶周期点的个数，2阶周期点的个数，然后总结归纳其中的规律，f的n阶周期点的个数解答：解：当x0，时，f1（x）=2x=x，解得x=0当x（，1时，f1（x）=22x=x，解得x=f的1阶周期点的个数是2当x0，时，f1（x）=2x，f2（x）=4x=x解得x=0当x（，时，f1（x）=2x，f2（x）=24x=x解得x=当x（，时，f1（x）=22x，f2（x）=2+4x=x解得x=当x（，1时，f1（x）=22x，f2（x）=44x=x解得x=f的2阶周期点的个数是22依此类推f的n阶周期点的个数是2n故答案为：2n点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属于中档题二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15（5分）（2012上海二模）“x3”是“|x3|0”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：应用题分析：当x3时，|x3|0一定成立；当|x3|0时，x3，从而可作出判断解答：解：当x3时，|x3|0一定成立当|x3|0时，x3x3是|x3|0充分不必要条件故选A点评：本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于基础试题16（5分）函数的图象如图所示，则y的表达式为（）ABCD考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式专题：计算题；压轴题分析：由=可求得，再由+=+2k，|，可求得，而A易知，从而可得答案解答：解：由图可知，A=2，又=，T=，=2；2+=2k+，=+2k，kZ，又|，y的表达式为y=2sin（2x）故选D点评：本题考查由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，确定是难点，属于中档题17（5分）若，则该数列的前2012项的乘积a1a2a3a2011a2012=（）A3B6C2D1考点：数列的概念及简单表示法专题：综合题；等差数列与等比数列分析：先由递推关系式，分析得到an是以4为周期的一个周期数列，即可求得结论解答：解：由递推关系式，得an+2=，则an+4=anan是以4为周期的一个周期数列由计算，得a1=2，a2=3，a3=，a4=，a5=2，a1a2a3a4=1，a1a2a2010a2011a2012=1故选D点评：本题考查数列递推式，考查学生分析解决问题的恩了，确定an是以4为周期的一个周期数列是关键18（5分）（2009海淀区一模）对于数列an，若存在常数M，使得对任意nN*，an与an+1中至少有一个不小于M，则记作anM，那么下列命题正确的是（）A若anM，则数列an各项均大于或等于MB若anM，bnM，则an+bn2MC若anM，则an2M2D若anM，则2an+12M+1考点：数列的应用专题：计算题分析：anM这个定义的含义是数列an中各项的最小值是M，由此知A不正确；若anM，bnM，则an+bn的最小值不一定是2M，若anM，则an2的最小值不一定是m2，若anM，则2an+1的最小值是2M+1，故只有2an+12M+1正确解答：解：A中，由anM的定义知若anM，则数列an各项中至少有一个不小于M，故A不正确；B中，若anM，bnM，则an+bn的最小值不一定是2M，故an+bn2M不正确；C中，若anM，则an2的最小值不一定是m2，故an2M2不正确；D中，若anM，则2an+1的最小值是2M+1，故2an+12M+1正确故选D点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要真正理解定义anM三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19（12分）已知，且，AB=R，（1）求A；（2）实数a+b的值考点：子集与交集、并集运算的转换专题：计算题分析：（1）由分式不等式的解法，解0可得其解集，即可得集合A；（2）根据题意，由（1）的结论，分析可得集合B，进而可得方程x2+ax+b=0的解，又由方程的根与系数的关系，可得a、b的值，将其相加即可得答案解答：解：（1）根据题意，0（2x1）（x+2）0，解可得x2或x，则A=（，2）（，+）；（2）由（1）可得又由，AB=R，必有B=x|2x3，即方程x2+ax+b=0的解是x1=2，x2=3于是a=（x1+x2）=1，b=x1x2=6，a+b=7点评：本题考查集合的交集、并集的应用，（2）的关键是根据A、B的交集与并集，求出集合B20（14分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（1）求tanC的值； （2）若ABC最长的边为1，求b考点：正弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正切函数专题：计算题分析：（1）由，得B为锐角，且，得到 ， 故tanC=tan（A+B），利用两角和的正切公式，求出tanC的值（2）由（1）知C为钝角，C是最大角，最大边为c=1，C=135，由正弦定理 求得 b的值解答：解：（1）cosB=0，B锐角，且sinB=，tanB=，tanC=tan（A+B）=tan（A+B）=1（2）由（1）知C为钝角，C是最大角，最大边为c=1，tanC=1，C=135，sinC=，由正弦定理：得b=点评：本题考查正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，求出tanC=1，是解题的关键21（14分）若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”（1）请分别判断f（x）=x+4，g（x）=x2+4x+2在x（1，2）是否是“弱增函数”，并简要说明理由（2）若函数（、b是常数）在（0，1上是“弱增函数”，请求出及正数b应满足的条件考点：函数单调性的判断与证明专题：新定义；函数的性质及应用分析：（1）依据“弱增函数”的定义逐个判断即可；（2）由于h（x）在（0，1上是“弱增函数”，所以h（x）在（0，1上单调递增，在（0，1上单调递减，由此可求出及正数b满足的条件解答：解：（1）由于f（x）=x+4在（1，2）上是增函数，且F（x）=在（1，2）上是减函数，所以f（x）=x+4在（1，2）上是“弱增函数”；g（x）=x2+4x+2在（1，2）上是增函数，但+在（1，2）上不单调，所以g（x）=x2+4x+2在（1，2）上不是“弱增函数”（2）因为（、b是常数）在（0，1上是“弱增函数”所以在（0，1上是增函数，且F（x）=在（0，1上是减函数，由在（0，1上是增函数，得h（x）0即2x+（sin）0在（0，1上恒成立，所以，得sin，解得2k+，2k+，kZ由F（x）=在（0，1上是减函数，得F（x）0在（0，1上恒成立，即10，bx2在（0，1上恒成立，所以b1综上所述，b1且时，h（x）在（0，1上是“弱增函数”点评：本题以新定义的形式考查函数的单调性，考查运用所学知识分析解决新问题的能力22（16分）已知（aR）的图象关于坐标原点对称（1）求a的值，并求出函数F（x）=f（x）+2x1的零点；（2）若函数在0，1内存在零点，求实数b的取值范围（3）设，若不等式f1（x）g（x）在上恒成立，求满足条件的最小整数k的值考点：函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质；反函数专题：函数的性质及应用分析：（1）根据函数的图象关于原点对称，可得f（x）是定义在R的奇函数，图象必过原点，即f（0）=0，求出a的值，求出函数F（x）的解析式，解指数方程求求出函数的零点；（2）函数在0，1内存在零点，方程（2x）2+2x+11b=0在0，1内有解，分析函数b=（2x）2+2x+11在0，1内的单调性，及端点的函数值符号，进而根据零点存在定理得到结论（3）由不等式f1（x）g（x）在上恒成立，利用基本不等式可求出满足条件的k的范围，进而求出最小整数k的值解答：解：（1）由题意知f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0得a=1F（x）=+=由（2x