等离子体物理讲义08_温等离子体波.pdf

1 等离子体物理学讲义 Lecture Notes on Introduction on Plasma Physics No 8 马 石 庄 2012 03 19 北京 2 第 8 讲 碰撞温等离子体波 第 8 讲 碰撞温等离子体波 教学目的 教学目的 系统地介绍磁流体 Alfv n 波理论 考察带电粒子的热运 动是等离子体动力学的重要影响 导出在等离子体湍流研究中基础意 义的 Haseawa Mima 方程 展示碰撞的作用不但引起耗散 也能导 致漂移波不稳定 主要内容 主要内容 1 磁流体 Alfv n 波 4 2 1 有耗损声波 4 2 2 理想 MHD 波 7 2 3 MHD 波的衰减 11 2 双流体等离子体波 13 2 1 静电波 14 2 2 低频平行电场 19 2 3 双流体Alfv n 波 23 3 漂移波不稳定性 26 3 1Haseawa Mima 方程 27 3 2 有碰撞漂移波 31 3 3 不稳定性 34 习题 8 37 附录 A Alfv n 波的发现 40 附录 B 中国地球空间探测双星计划 41 3 为简单起见 假定等离子体由离子和电子两种粒子组成 采用双 流体模型 在绝热条件下 得到封闭的方程组基本方程组为带电粒子 的运动方程和连续性方程 0 d d 当流体处于等温过程时 当流体处于绝热过程时 其中 电荷和电流密度为 既然等离子体物理关注的是准中性大量带电粒子的集体行为 粒 子的随机运动体现在等离子体热力学性质 在冷等离子体中 粒子的 随机热运动速度远小于波速 回旋半径 对磁化等离子体来说 远小 于波长 cold plasma 充分显示了磁场对带电粒子整体行为的影响 展现出丰富的波动现象 当带电粒子之间碰撞足够强烈 带电粒子的 回旋运动尺度很小时 可以用磁流体力学模型研究等离子体的集体行 为 毫无疑义 这些条件总是近似地被满足 不但对等离子体的整体 行为的描述存在缺陷 而且本身也留下不能解释的难题 在适当地考 4 虑碰撞的温等离子体框架内 探讨冷等离子波和 MHD 波的中存在的 问题 也作为热等离子体主题的准备 1 磁流体 Alfv n 波 1 磁流体 Alfv n 波 在所有的几何位形中 均匀无限大理想磁流体的平衡是零维的 可以预期这种位形是稳定的 因为不存在电流驱动的不稳定性 这种 位形中的磁流体中可以存在三种不同种类的波动 剪切 Alfv n 波 压缩 Alfv n 波 快声波 和磁声波 慢声波 2 1 有耗损声波 2 1 有耗损声波 对于普通粘滞可压缩流体 描述这些波的流体 Navier Stokes 方程写为 连续性方程 0 状态方程 对具有均匀 和 值的稳态平衡点线性化 0 有 连续性方程 5 0 采用平面波 以exp i 变化 则 i i i i 0 取 const 0 理想流体的小位移 则力算子 代入力方程 两端点乘 得到 0 若有非平凡解 则须 这就是中性气体中声波速度 的表达式 声波是由于空气分子间的碰 撞而从一层传播到下一层的压力波 当 0时 把 代入线性化运动方程 i i 两边点乘 得到 6 i 0 得到色散关系 i 0 对于无穷空间中的平面波而言 依据色散关系 0 究 竟是时间上衰减还是空间上耗损 取决于对波数 和频率的 设定 无法区分 这种混淆在实际问题中是具体化的 当空间是有限时 显 然观察到的是时间上的衰减 如图所示 对于脉冲扰动 空间和时间 都是有限的 而言 可以区别 a 运流不稳定和 b 绝对不稳定两种系 统1 设波矢 是纯实数 则 i 得到 0 2 0 1 T J M Boyd J J Sanderson The Physics of Plasmas Cambridge 2003 7 得到衰减率为 2 真实的振荡频率有所减小 1 4 因此 非理想的粘滞效应引起声波的衰减 2 2 理想 MHD 波 2 2 理想 MHD 波 理想磁流体中的小位移 满足力方程 其中力算子为 1 且有 对于空间无限均质流体 使得 i i 取 和 0 从而方程 det 0的解 A 其中出现两个特征速度 8 绝热声速 A Alfv n 波速 整理展开 A A A A 方程中出现三个独立的矢量 小位移 传播方向 和磁场方向 波 的性质取决于这三者之间的相对指向 为确定起见 选取坐标系 有 cos 得到分量式 A 00 0 A 0 0 这个3 3的齐次线性代数方程组 其特征方程是关于 的三次方程 存在三种可能的波动 需要加以分析 1 剪切剪切 波 波 由于 分量式与其他分量式解耦 直接得 一个得到 A A cos 对应于一支稳定的波动 特征频率与 无关 即使 特征函 数有 0 0 扰动磁场只有 分量 i 其 它物理量 0 如图 剪切 Alfv n 波是非压缩波 既 不引起密度涨落 也不产生压强变化 由于扰动磁场和位移均垂直于背景磁场和波矢 这是纯横波 9 物理上说 这种扰动只引起磁力线弯曲 描述了等离子体的垂向动能 与磁力线弯曲磁能之间的基本振荡 从稳定性观点 剪切 Alfv n 波 是最重要的 MHD 波 因为通常有限电流和几何效应驱动的不稳定性 正是这种波动 磁力线弯曲的剪切 Alfv n 波 2 压缩 Alv n 波压缩 Alv n 波 其余两个特征矢量具有 0 0 0 耦合的 分量和 分量的特征方程为 A 0 有根 1 2 A 1 1 式中 4 A A 注意到 10 A 2 考虑强磁场 1的情形 1 以此为小参数展开 则在最低阶 对应于正号 的根 A 为压缩 Alfv n 波的特征频率 在小 极限下 A 1 运动主要是垂直于磁场的 且由于 有 1 项对应于色散关系中的 A 项 即磁力线弯曲效应 项对应于色 散关系中的 A 项 相应于图中磁压缩效应 在核聚变中 几何效 应要求 因此压缩 Alfv n 波中磁压缩效应比磁力线弯曲效应 强 磁场压缩且在 1时的压缩 Alfv n 波 3 磁声波磁声波 在强磁场极限下 对应于负号 的根为 11 这是磁声波的特征频率 在小 极限下特征函数的位移分量满足 A 1 基本上平行磁场传播 在 1时的磁声波 等离子体压强的压缩作用 考虑 情形 计算得知 1 1 运动受磁声波引起的扰动压强支配 如图所示 磁声波是磁流体动能 与热能之间的一种振荡 较难激发 其物理机制依赖于平行方向上的 等离子体动力学 磁流体模型无法严谨处理此类物理问题 2 3 MHD 波的衰减 2 3 MHD 波的衰减 当磁流体非理想 表现为流体粘滞 和导电率 有限 对具有均匀 和磁场 的稳态平衡 0 线性化动力学方程为 12 0 1 0 0 对于平面波扰动 线性化运动方程 1 i 1 i 代入消去 1 i 1 i 1 i A A 0 其中定义背景磁场变量 A 具有 Alfv n 波速量纲 引入分解 1 与前面结果作为对照 若设频率 是纯实数 则波矢 i 则通过色散关系 0 可以得知 波在传播方向上衰减 在沿磁场传播 的 Alfv n 波情形 A 1 i 1 i 1 i 13 对于小耗损 A 1 i 1 i A 其中已经用 A替换了 进一步简化为 A i 2 A 类似地 对于沿磁场传播 的声波 1 i 有 i 2 对于穿越磁场传播 的磁声波 1 i A 1 i 1 i 对于小耗损 A 1 i 1 有 A i A 1 A 这些结果表明 MHD 波沿着传播方向发生衰减 2 双流体等离子体波 2 双流体等离子体波 MHD 磁声波的平行行为是存在疑问的 因为在 MHD 模型中 总 14 有平行扰动电场 0 在双流体模型中 任何平行加速度都需要平 行电场 双流体 与双流体 是解耦的 导致双流体 模既是压缩 的又没有相伴的平行运动 2 1 静电波 2 1 静电波 无磁化绝热等离子体的双流体模型 状态方程 const 满足动量方程 d d 和连续性方程 0 电场 满足 Poisson 方程 1 对 于 平 衡 态 0 0 const const 有小扰动 将动力学方程线性化 其中扰动电场 15 对扰动动量方程两边求散度 再考虑扰动连续性方程 0 合并得到 将状线性化态方程 代入后 得到关于扰动数密度 和扰动电位势 的关系 设扰动量的时间空间变化是简谐的 则 对 解出 T 其中引入热速度 16 T Poisson 方程给出 和 的另一个关系 1 合并 得到 T 引入等离子体振荡频率 得到 O 1 17 1 T 0 以按电极化率表示 1 0 第 种带电粒子的电极化系数为 T 称为 随相速度变化如下图所示 存在两种极限情形 当 T 时 绝热近似 由于 2 对于平面波而言 1 因此有 T 1 T 1 T 1 T 当 T 1时 等温近似 电极化系数极限为 T 1 由前所述 等温曲线和绝热曲线的行为很不相同 当 T 时 两 条曲线并不能合在一起 说明在等温和绝热极限下 流体描述是适用 的 但在 附近 需要使用 Vlasov 理论描写 由于离 子 电子质量比 1 其热运动速度相差两个数量级 不但如 此离子和电子的温度也会有很大的不同 因此相速度与热速度之间可 18 以存在三种不同的情形 当 T T 时 电子和离子都是绝热的 色散关系为 1 1 T 1 T 0 由于 1 离子的贡献可以忽略不计 1 1 T 0 最低阶近似 将其代入上式 得到高频无磁化等离子体静电 波 1 T Bohm Gross 色散关系 压强的存在使得静电振荡变成可传播的 Langmuir 波 1928 或 Bohm Goss 波 1949 当 T T 时 电子和离子都是等温的 色散关系为 1 1 1 0 等离子体达到稳态极限 刚好是 Debye 屏蔽 可以解释离子不能提供 对电子的 Debye 屏蔽 因为如果试验粒子选择为电子 其速度为电子 热速度 从离子的角度看来 快速运动的电子以相速度 飞过 以致于 离子不能足够快反应而产生必要的屏蔽效应 当 T T 时 电子是等温行为而离子是绝热行为 色 散关系为 19 1 1 1 3 T 0 引入离子声速 有 1 1 T 既然 T 则可近似用 0代入 进一步有 1 此即离子声波色散关系 在 1条件下 最低阶近似为 高阶修正为 1 T 为保证自洽 必须要求 如若不然 离子声波将有 T 这会违背 T 假定 条件 即是 因此离子 声波只能在电子比离子热的多的情况下传播 2 2 低频平行电场 2 2 低频平行电场 MHD 模型忽略了平行电子动力学 使得剪切模色散关系 A 与 无关 有人解释剪切模局部在同一条磁力线上而允许 这些迷惑在双流体模型中加以澄清 在稳态近似下 Faraday 定律和 Ampere 定律决定着Alfv n 波动 20 力学性质 平衡态磁场的 存在 设定直角坐标系 线性化后 如果在独立地确定电流 与电场 的依赖关系 则就可以自洽 地求解电场 与磁场 因 的确定方式不同 动理学的 双流 体的还是 MHD 的 对Alfv n 波动力学性质的认识程度不同 在理想 MHD 中 关系 由 Ohm 定律 0 和流体力学方程给出 显然 电场 0 换言之电场的平行分 量 0 与此同时 0 因此平行电流 不是由平行电场建 立的 而是 后验 地由关系 d 引出 在准中性 前提下 基于线性化双流体运动方程 其中各向异性压强张量的散度为 00 0 0 00 双流体方程在垂直磁场方向上基本与 MHD 方程相似 在平行磁场方 21 向上则不然 由于准中性假设 双流体理论给出的垂直电流与 MHD 理论给出的基本相同 都由离子极化漂移和抗磁漂移构成 在 假定下 容易由上述线性化方程得到 由于 是时间变化的 在O 阶上的修正要包含极化漂移 d d d d 虽然d d 和d d 项相对于 和 项要小O 倍 在 考虑离子速度和电子速度可以忽略不计 但是在计算垂向电流 时须慎重行事 上式求和时 电子和离子的 漂移项相互抵消 与电场有关的极化漂移项变为重要的 由于质量 出现在分母上 离子极化漂移远比电子极化漂移重要 d d 1 A d d 其中 是等离子体的动能 惯性 与热能 压缩 之间的基本振荡 其物理 本质依赖于等离子体在平行方向上的动力学行为 设 22 考虑形如 exp i i 简谐扰动 由 Faraday 定律 i 和 Ampere 定律 分别得到垂直分量式 i i i 和平行分量 i 将J 的表示代入 Ampere 定律垂直分量式 整理得到 i i A 再由 Faraday 定律垂直分量式 两端作 运算 i i 联立解出 i A A i A A i A i A A 再把平行分量重新表示为 i 23 后代回 注意到矢量微分恒等式 0 有 0 0 得到 A A 和 i A 下面的事情就是把 与 与 如何联系起来的动力学问题 同时注意到 1 1 i 2 3 双流体2 3 双流体 波 波 在双流体模型中 剪切模的确依赖于 当 变大时成为显著 的 双流体剪切模依赖于平行相速度 A 与电子热运动速度 T 和离子热运动速度 T 之间的关系 i A T T ii T A T iii T T A 磁比压 决定那种情形与给定的等离子体是重要的 动力学方程平行分量为 T 1 24 其中 绝热过程 取 3 等 温过程 取 1 先考虑剪切模 0 从而 0 连续性方程 0 与动力学方程合并 T 与电子等离子体波和离子声波动力学类似 只是没有采用 静电假 设 对于考虑形如 exp i i 简谐扰动 得到 i T 对成分求和 得到平行电流 i T 这整数 MHD 忽略的平行电流 代入电动力学结果 得到 A A T 0 再做替换 i 对质子和电子组成的双流体得到 A 1 T 1 T 0 既然Alfv n波主要关心 A 需要考虑三种不同的情形 i 当 A T T 时 则 25 A 1 惯性 Alfv n 波 ii 当 T A T 时 A 1 T 1 0 得到 A 1 T A 运动 Alfv n 波 定义虚离子 Larmor 半径 1 A 1 因为是用电子温度计算的 A 1 运动 Alfv n 波 iii 当 T T A时 A 1 其中虚离子 Larmor 半径重新定义为 1 D 1 D 1 再考虑压缩模 0但 0 既然 0 0 不存在 平行运动 线性化连续性方程 0 代入电动力学关于 1 26 的结果 得到 0 关于时间积分 得到比例关系 假设这中垂向压缩过程是绝热的 进一步有 建立了 与 关系 代入电动力学结果 A A 0 其中 再作替换 i 就得到色散方程 A A 1 0 即 A 其中 3 漂移波不稳定性 3 漂移波不稳定性 只有书本里的等离子体是均匀无限的 真实的等离子体一定是 有限和有压力梯度的 由于压强梯度的概念对于单个粒子是无意义的 27 先从双流体的角度 考察压强梯度的效应 然而 有压强梯度的磁化 等离子体对于称为 漂移波 的一类静电模是不稳定的 漂移波存在 于 MHD 相同的频率范围但并不在 MHD 模型中出现 因为 MHD 模型 没有考虑足够的电子和离子的动力学差异 3 1Haseawa Mima 方程 3 1Haseawa Mima 方程 如图 在强轴向磁场中的角向对称圆柱等离子体中 粒子流在轴 向是自由的 垂直方向约束在 Larmor 回转轨道上 径向压强梯度保 证静力平衡 0 1 可解出角向抗磁漂移速度 1 对应的抗磁漂移电流 1 1 28 就是与 MHD 平衡对应的角向电流 其中 换 言之 电子和离子的抗磁漂移运动提供了磁力 以平衡 MHD 压强梯 度力 在等离子体圆柱边缘建立局部直角坐标系 设等离子体密度呈 指数分布 exp 其中 称为密度梯度标尺 考虑甚低频静电波 exp i i i 在离子声波频段 离子是绝热的 电子是等温的 平行相速度满足 T T 平行和垂向波长都远大于电子的 Debye 长度 等离子体可视为准中性 的 由于 设 是小扰动 电子运动方程的平行分量为 0 1 29 导致 Boltzmann 电子密度分布 exp 线性化 Boltzmann 电子密度分布 由于 T 可以近似地把离子视为冷的 离子动力学特征是在 离子方程中压强 0 在磁场方向是静止不动的 动力学 支配方程为 d d 和 0 进一步 将动力学方程按 d d 展开 得到 1 d d 其中 d d 1 设 1 d d 1 都是同阶小量 因此 1 1 30 考虑 代入离子连续性方程 1 0 运用准中性假设 得到 1 0 其中具有电子热速度的离子的回旋半径 T 化简 0 无量纲化 得到 0 引入 Poisson 括号 31 可以记为 0 著名的 Haseawa Mima 方程 说明漂移波及其非线性相互作用是非 均匀磁化等离子体中最重要的过程 3 2 有碰撞漂移波 有碰撞漂移波 在上述模型中 对方程线性化 最低阶垂直离子运动就是 漂移 i 恰好在密度梯度方向 由于对流与平衡密度梯度相互作用 漂移导致 离子密度扰动 这可以从线性化离子连续性方程中显示 0 注意到 0 得到 尽管电子和离子的动力学行为完全不同 准中性意味着电子密度扰动 与离子密度扰动必然大致相等 即有色散关系 32 其中 是电子的抗磁漂移速度 这里的色散关系没有提供波模稳定 性的信息 无碰撞漂移波的相速度 就是电子的抗磁漂移速度 借此可以方便地定义 漂移频率 shift frequency 现在考察碰撞在稳定性中的作用 电子运动方程为 d d 1 假定碰撞频率比电子回转频率低 由于 电 子运动方程左端的电子惯性项可以忽略不计 平行分量为 0 其中已忽略了离子的平行运动 仍假设小扰动是简谐的 线性化运动 方程 则给出电子的平行速度为 i 由于 电子运动方程的垂直分量为 0 1 因此电子通量 1 33 利用恒等式 0和 0 得到垂直电子 通量的散度为 电子连续性方程为 0 代入并线性化 得到 d d 0 将 和 代入 i i 0 电子密度扰动 i 1 i 1 其中 的含义是电子扩散平行波长距离的时间 下面计算离子密度扰动 d d 既然离子比电子质量大得多 惯性项必须保留 离子相对于电子是冷 的 惯性项比碰撞项大许多 运动方程的平行分量线性化后得到 34 运动方程的垂直分量线性化 d d 解出 d d 与电子运动方程相比 离子运动保留了与质量成正比的极化漂移 垂直离子通量 d d 的散度为 d d 代入离子连续性方程并线性化 对离子密度解出 3 3 不稳定性 3 3 不稳定性 等离子体准中性 归一化的离子密度扰动与电子密度扰动必然相 等 得到 i 1 i 1 35 为简单 不妨取 这对氢等离子体总是对的 假设碰撞频率 足够小 1 且 将分母函数按 展开 则可以得到碰撞漂移波色散关 系 1 i 0 漂移波总是与离子声波相伴随 色散关系的实部 1 0 在 0极限下 变成无平衡压强梯度放入离子声波 有两个根 4 2 当 小的时 如果 0 两个特征频率为 和 如果 0 两个特征频率为 和 换言之 与离 子声波相比 漂移波是可以分辨的扰动模 其平行相速度远大于离子 声波 既然漂移波在 极限下发生 现在考察从碰撞漂移波色散关系出发 考察漂移波的不稳定性 仍假定 色散关系中不含离子声模 令色散关系的实部为零 得到频率的实部 1 表明碰撞漂移波的实际频率比 小 只要 不大于 1 就与 同 36 数量级 假设 1 意味着 1 表明对于给定的几何因子 而言 足够小 频率的虚部 就是扰动的增长率 Im Re 1 0 说明碰撞漂移波总是不稳定的 碰撞作用是失稳的原因 当 1 时 漂移波最不稳定 与 成正 对于实际圆柱位形 等离子体 密度在轴心是均匀的 密度梯度在边缘处出现 因此漂移 波在等离子体柱边缘的增长率最大 驱动漂移波的自由能是压力梯度 趋于将压力梯度展平而耗尽其 能量 这称为漂移波抽运 drift wave pump 这种作用可以考虑漂 移波引起的 方向粒子通量时间平均 Re Re 1 2 Re 作出估计 漂移在最低阶为 i 所以 d d 1 2 Re i 1 i 1 i 1 2 Re i 1 2 37 其中扩散系数 1 2 与 类似的正比关系 在实际的圆柱等离子体中 1 的漂移波最不稳定的性质 用 替换 可以显示的更清晰 其中 是圆柱坐标系中角向波数 角向 周期性迫使 为整数 如果 为小整数 漂移波趋于相干的 如果 为大整数 许多角向波长与圆柱周长相符合 此时 周期性只 是一个弱约束 波变成湍动的 大 对应于小 也就是磁场是强的 因此 强磁场等离子体中发生湍动的短垂直波长漂移波 弱磁场等离 子体中发生有相干的长垂直波长漂移波 习题 8 习题 8 1 计算磁层中的 Alfv n 波速 10 T 10 m 1 67 10 kg 2 假定设计一个实验 在圆柱形等离子体柱中产生 Alfv n 扭 摆波 驻波在中间平面达到最大振幅 在边缘为波节 为满足条件 取 0 1 a 如果能产生 10 m 1T的氢等离子体 等离子体 柱必须有多长 b 如果试图用 0 3T的 Q 装置完成这个实验 在装置中带 单个电荷的铯离子具有原子量 133 和密度 10 m 等离子体柱 38 应该有多长 3 对 Alfv n 波 证明每立方米时间平均的离子动能密度等于磁 波能量密度 2 4 在环形等离子体约束 Tokamark 装置中 由沿 方向所加电场 来驱动完全电离等离子体中的电流 在 500eV伏和截面积为 75 10 m 的等离子体中要得到驱动总电流200kA需要加上多少 V m的电场 5 考虑轴对称圆柱等离子体 中 如果忽略 相当于忽略离心力 稳态双流体体方程能写成 如下形式 0 0 其中 是电阻率 a 从 分量方程 证明 b 从 分量方程 证明 c 求出 的表达式 证明它与 无关 6 从单流体动量方程和 Ohm 定律 及 Maxwell 方程组 推导 Alfven 波的色散关系 从而计算它的电阻 阻尼 在推导中 作线性化并忽略重力 位移电流和压力梯度力 39 a 证明 i b 当 是实数 是小量时 求出Im 的表达式 40 附录 A Alfv n 波的发现 附录 A Alfv n 波的发现 H O G Alfv n 1908 1995 因在磁流体动力 学方面的研究发现 及 其在等离子体物理中 卓有成效的应用 与 Louis E F Neel 分享 1970 年度诺贝尔物理 学奖 1942 年 Alfven 在太阳黑子研究中发 现了太阳中电离气体 的 磁 流 体 波 称 为 Alfv n 波 41 附录 B 中国地球空间探测双星计划 附录 B 中国地球空间探测双星计划 1997 年 空间物理学家刘振兴院士 濮祖荫教授等人于提出 双 星计划 2001 年 7 月 中国航天局与欧洲空