考研数学强化班讲义-微积分第6讲.pdf

梦飞翔考研论坛 谭泽光 1 第 6 讲 常微分方程 第 6 讲 常微分方程 一一 考纲要求考纲要求 考试内容考试内容 1 常微分方程的基本概念 2 变量可分离的方程 零齐微分方程 一阶线性微分方程 伯努利 Bernoulli 方程 全微分方程 可用简单的变量代换求 解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 3 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微 分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶 常系数非齐次线性微分方程 欧拉 Euler 方程 数三 数三 差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶 常系数线性差分方程 4 微分方程简单应用 数三数三 微分方程 差分方程的简单应用 考试要求考试要求 1 了解微分方程及其解 阶 通解 初始条件和特解等概念 2 掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法 3 会解齐次方程 伯努利方程和全微分方程 会用简单的变量代换解 某些微分方程 4 会用降阶法解下列方程 n yf x yf x y yf y y 5 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理 6 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法 并会解某些高于二阶的 常系数齐次线性微分方程 7 会解自由项为多项式 指数函数 正弦函数 余弦函数 以及它们 的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程 8 会解欧拉方程 9 会用微分方程解决一些简单的应用问题 数三 会应用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 2 二 前言 二 前言 内容抓三基 概念明五面 做题按三步 内容抓三基 概念明五面 做题按三步 三 内容提要 三 内容提要 一个概念 三类方程 两方面的应用 一个概念 三类方程 两方面的应用 1 基本知识 常微分方程及其阶 分类 常微分方程的解 通解和特解 常微分方程的解初值问题 解的存在性和唯一性 2 一阶方程求解 0 yf x g y y yff axb x y p x y y p x yq x 分离变量型 可分离变量型方程 可化成分离变量型 齐次 一阶线性方程 非齐次 3 可降阶的高阶方程 yyfy yxfy xfy n 4 线性微分方程 1 11 1 11 0 0 nn nn nn nn x m ya x yax yax f x ya yaya P x e 5 常微分方程的应用 6 一 二阶常系数差分方程 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 3 四 典型例题 四 典型例题 1 一阶可解类型 高阶可降价类型 1 一阶可解类型 高阶可降价类型 例例1 判断下列一阶方程的类型 1 22 xy x ey y 可分离型方程 解 解 dxxedyye xy 22 2 xy eded q Cee xy 22 2 011 22 dyyxdxxy 可分离型 明显积分因子 解解 1 原式 原式 0 11 22 y dyy x dxx 0 11 2 22 2 22 y dyy x dxx 0lnln 2222 yydxxd Cyyxx 2222 lnln 解解 2 原式 原式 22 ydxxdyx ydxx y dy 22 ydxxdyx ydxx y dy x yx y 22 ln 2 xxy dxdxydyd y 22 ln 2 yxy cx 22 2 xy ycxe 3 0lnln ydxdyyxx 零齐方程 解解 零齐方程 ln y x y y x 令u x y u u uux ln 可分离型 x dx u u u du ln C x dx u u u du ln 4 5tan yxy 可分离型 一阶线性 明显积分因子 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 4 解解 1 x dxx y dy sin cos 5 Cxy sinln5ln 1 sin 5 C x y 解解 2 原式 15 tantan yy xx 公式法公式法 其通解为 1 tantan 5 tan dx dx xx yeedxC x sin5yCx 解解 3 原式sincos5cosxdyx ydxxdx sinsin5 sinxdyydxdx 22 sinsin5 sin sinsin xdyydxdx xx 5 sinsin y dd xx sin5yCx 解解 4 线性方程解的结构 5 x xy dx dy 零齐方程 一阶线性 明显积分因子 明显积分因子 2 00 xdyydxdx xdyydxxdx xx 有 有 2 1 x 2 1 y xy 1 22 1 yx 6 yx y y sin 对x是一阶线性 明显积分因子 对对x x是一阶线性 是一阶线性 yx ydy dx sin 1 sindxy dyyy sin y xc yydy y 明显积分因子 明显积分因子 0 sin 0sin 22 dy y y y ydxdyx ydyydxdyx 7 y dx dy xy 2 零齐方程 明显积分因子 零齐方程 零齐方程 xy y dx dy 2 通过变量置换 通过变量置换 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 5 uuxy x xy xu 零齐方程可化为可分离型方程 零齐方程可化为可分离型方程 2 u u uux 积分因子 积分因子 22 202ydyxdyydxy dyx ydyy dx 22 2 0 xdyy dx dy y 8 xyyyx2 零齐方程 零齐方程 x yxy y 2 可化为可分离型方程 全微分方程 可化为可分离型方程 全微分方程 xyxyxyyyx22 伯努利方程 伯努利方程 n yxqyxp dx dy 1 n 用 用 n y除以方程两端将其化为 除以方程两端将其化为 1 xqyxp dx dy y nn 1 1 1 1 xqyxp xd yd n n n 这显然是关于 这显然是关于 n y 1 的一个一阶线性方程 本题的一个一阶线性方程 本题 2 1 n 9 x yx y dx dy 1 byaxfy 型方程 通过变量置换 型方程 通过变量置换 byaxu 可化为可分离型方程 可化为可分离型方程 11dydy yxxy dxxydxxy 1 1 d xy xy dxxy 10 1 3 yx yx dx dy dycx byax fy为零齐方程 通过变量置换 为零齐方程 通过变量置换 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 6 x y u 可化为可分离型方程可化为可分离型方程 duc bua fuux ldycx kbyax fy可以通过平移变换可以通过平移变换 0 0 yyY xxX 其中 其中 00 yx是线性方程组 是线性方程组 0 0 00 00 ldycx kbyax 的解 化成 的解 化成 dYcX bYaX f dX dY 形方程 形方程 0 0 130 102 xxy xyy 1 2 1 2 dyxy dxxy 1 2 Xx dYXY YydXXY 例2 132 例2 132 已知曲线 yf x 满足 2 arcsin1 1 y yx x 且过 0 2 1 点 则该曲线方程为 解 解 一阶线性非齐次方程 arcsin1 1 y yx x 0 arcsin 1 arcsin1 1 2 x x y xx y 方法一方法一 公式法 公式法 其通解为 22 1 1arcsin1arcsin 1 arcsin dx dx xxxx yeedxC x 1 ln lnarcsin arcsinx 1 e arcsin x edxC x 1 arcsin xC x 又当 2 1 x时 0 y 所以 2 1 C 所求曲线方程为 2 1 arcsin xxy 注 一阶线性方程 dy dx p x yq x 其解为 dxexqeCexy dxxpdxxpdxxp 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 7 过 0 2 1 点 给出了定解条件 方法二 凑微分法 方法二 凑微分法 f x dx u xe dy dx p x yq x p x dxp x dx y ey p xp x dxq x e p x dxp x dx y eq x e p x dxp x dx y eq x edxc p x dxp x dxp x dx yceeq x edx 或者 00 dy p x yq x dx y xy 00 xx xx p x dxp t dt y eq x e 000 0 xxx xxx p t dtp t dtp t dt x x yceeq x edx 该题有 2 lnarcsin arcsin1 arcsin dx x xx u xeex 2 11 arcsin 1arcsin yy x xx 1 arcsinarcsin1 arcsin yxx x 1 21 2 arcsin xx yx dxdx 1 2 1 arcsin 2 x yxx 1 arcsin 2 yxx 例例 3 解方程 10 22 2 y dyyydxxdy y y x ln2 2 化成化成 yxx 的方程 的方程 yx ydy dx 2 2 一阶线性方程初值问题求解 一阶线性方程初值问题求解 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 8 解解 1 对 x 线性 y y x y y y x yx ydy dx ln2 2 2 2 222 解解 2 积分因子 dyydxyxdydyydxyxydy 32232 222 yd y x d y dyy y dxyxdy ln2 2 24 3 4 22 解解 3 变换成零齐 2 22 2 2 2 2 22yx y dx dy yx y dx ydy yx y dx dy 令 2 yu ux u dx du 解解 4 伯努利方程 10 22 2 y dyyydxxdy 2 11 2 01 yyy xx y 11 11 2 01 yy xx y 例例4 若124 yxy 求一般解 解解 byaxfy 型方程型方程令 124 yxu dx u du uu 22 42 22 2 u duu d u dxdx uuu 2ln 1duudx cxyxyx 1124ln 2124 2 高阶可降类型 2 高阶可降类型 一般情况下 处理高阶方程的思路之一是设法降低方程的阶 在这里 仅讨论二阶方程 yyxfy 1 方程不显含yy yf x 可通过 2 次积分可以得到通解 逐次积分得到 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 9 2 方程不显含y yxfy 令 yxp xpy 方程变成 pxfp 这是一阶方程 有可能求解 3 方程不显含x yyfy 令 pp y dy dx 2 2 dy dx dp dy dy dx p dp dy 代入方程得 dp pf y p dy 于是得到一个关于未知函数p和自变量y的一阶方程 例例 5 2 3 2 1yy yxfy 类型 令 类型 令 yxp xpy 方程变成 方程变成 pxfp 这是一阶方程 有可能求解 这是一阶方程 有可能求解 2 3 2 1 pp 可分离型方程 可分离型方程 解解 1 令 1 2 3 2 2 3 2 1 1cx p dp ppxpy 3 2 2 1yp xpp 1 3 2 2 1 dp xc p 1 2 1 p xc p 2 1 1 2 1 2 1 1 1 cx cx cx cx dx dy p 2 12 2 1 1 2 1 1 cxcy cx cx cy 解解 2 令 3 2 2 1 dp yp ypp dy 1 3 2 2 1 pdp yc p 1 2 1 1 yc p 1 2 2 1 2 1 1 ycdy p dx yc 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 10 2 1 22 1 1 yc xcdx yc 2 12 1cycx 例例 6 021 2 2 1 0 10 0 2 yy yyy 求 xyy 解解 1 yyfy 类型 令 类型 令 pp y dy dx 2 2 dy dx dp dy dy dx p dp dy 代入方程得 代入方程得 2 0 1 1 2 dp ypp dy p Cyp 0舍去 0 1 1 2 dp yp dy p 0 1 1 2 y p p ypC 2 1 C 1 2 xy 解解 2 2 1 0 10 0 2 yy yyy 0 1 01 0 2 y y yy 00 1 2 2 0 1 xx y y ydydx y 10 222 xyxyxy 3 高阶线性方程解的结构 3 高阶线性方程解的结构 齐次线性常微分方程 1 2 12 0 nnn n ya x ya x yax y 的所有解构成一个n维线性空间 其中任意n个线性无关的解 1 i yxin 构成该空间的一组基 一般解 1 n ii i y xcyx 非齐次线性常微分方程 1 2 12 nnn n ya x ya x yax yf x 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 11 一般解 1 n ii i y xcyxY x 其中 1 i yxin 是相应齐次方程的一组无关解 Y x是非齐次方程的一个特解 非齐次线性常微分方程两个解的差为齐次线性常微分方程的解 例 7 136 例 7 136 设 12 y y是二阶线性齐次方程 0yp x yq x y 的两个特解 21 C C为两个任意常数 则下列结论中正确的是 A 2211 yCyC 一定是微分方程的通解 B 2211 yCyC 不可能是微分方程的通解 C 2211 yCyC 是微分方程的解 D 2211 yCyC 不是微分方程的解 解 答案为 C 当 12 y y线性无关时 2211 yCyC 是微分方程的通解 当 12 y y线性相关 时 2211 yCyC 则不是微分方程的通解 故 A B 都不对 由线性齐次方程解的结构可知 C 为正确选项 例 8 137 例 8 137 设 123 y xyxy x是二阶线性非齐次微分方程 yp x yq x yf x 的三个线性无关解 21 C C是任意常数 则此微分方程的通解为 B A 32211 yyCyC B 3212211 1 yCCyCyC C 3212211 yCCyCyC D 3212211 1 yCCyCyC 解 可知 3231 xyxyxyxy 是齐次方程0 yxqyxpy的两个解 设 113223 0 k yykyy 则 1122123 0 k yk ykky 因为 321 yyy线性无关 故0 0 21 kk 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 12 即 3231 yyyy 是齐次方程的两个线性无关解 由线性非齐次微分方程解的结构可知原方程通解为 1 32122113322311 yCCyCyCyyyCyyCy 正确选项为 B 例9 例9 设函数 1 xy与 2 xy是一阶线性常微分方程 xqyxpy 的两个不同的解 则常微分方程的通解为 答案 121 yyyCy 4 高阶线性常系数方程的求解 4 高阶线性常系数方程的求解 n阶线性常系数齐次方程 阶线性常系数齐次方程 1 2 12 0 nnn n ya ya ya y 其中1aan 为实常数 或记成 0 n LD y 1 1 若 0 n LD x 有形如 x ye 的解 则 是代数方程 n L 1 11 0 nn nn aaa 之根 称为微分方程 0 n LD y 的特征方程 特征方程的根称为特征根 2 特征根与方程 0 n LD y 解的对应关系 先以二阶为例说明结果 微分方程 0 2 byyayxDL 特征方程 0 2 2 baL 1 21 是特征方程 0 2 L的不等实根 则 12 xx ee 是方程 2 0LD y 的两个无关解 2 21 是特征方程 0 2 L的重根 则 11 xx exe 是方程 2 0LD y 的两个无关解 3 i 是特征方程 0 2 L的一对共轭复根 则 cos sin xx ex ex 是方程 2 0LD y 的两个无关解 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 13 由欧拉公式由欧拉公式 cossin it etit 得 得 cossin ixx eexix 2 x LDyP x e 型方程的求解 型方程的求解 考察方程 2 LD y x ya ybyP x e 其中 P x是x的一个多项式 有一个形如 x Y xQ x e 的解 其中 Q x是x的一个多项式 如何确定 Q x的次数和系数 将 x Y xQ x e 代入方程 2 x LDyP x e 得 2 2 Qxa Q xab Q xP x 下面分三种情形讨论 1 1 当 不是特征根时 即 0 2 ba 左端是 一个次数与 Q x相同的多项式 为了使 两端多项式次数相等 可设 n Q xQ x 2 2 当 是特征根 但非重根时 即 0 2 ba 02 a 左端是 一个次数与 Q x 相同的多项式 于是为了使 两端多项式次数相等 Q x应当是 一个比 P x次数高一次的多项式 此时可以取 n Q xx Q x 3 3 当 是特征重根时 即 0 2 ba 02 a 左端是 Q x 于是为了使 两端多项式次数相等 此时可以取 2 n Q xx Q x 例 10 133 例 10 133 1 x ye 2 yx 是三阶线性常数微分方程 0yaybycy 的两个特解 则cba 的值为 解 1 1 是特征方程的根 0 32 是特征方程的重根 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 14 故特征方程为0 1 232 因此 1 0 0abc 注 1 线性常系数齐次微分方程的通解完全由其特征方程的根确 定 本题中 12 xax yeyx e 是方程的解 因此1 1 是特征根 0 2 是特征根且为重根 例 11 例 11 求方程 4 0 xx 的通解 解 特征方程为 4 10 它有四个单根1234 1 i 该方程有四个线性无关解 cos sin tt e ett 因此方程通解为 1234 cossin tt x tc ec ectct 例 12 例 12 求方程033 xxxx通解 解 特征方程 32 3310 有一个三重根 1 于是方程有三个线性无关解 2 ttt e te t e 所以通解为 22 123123 tttt x tc ec tec t ecc tc te 例 13 例 13 1 x eyy的一个特解应具有形式 ba 为常数 A bea x B bexa x C xbea x D xbexa x 解解 x eyy 11 解应具有形式 x exa 1 22 yy 解应具有形式 B 例 14 139 例 14 139 方程 cos cos2yyxx 具有的特解形式为 A cossin cos2a xxbxxx B xxdxccos 2sin2cos C cossin cos3sin3x axbxcxdx D cos cos2sin sin2axxbxx 解 答案为 C 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 15 3cos cos 2 1 2coscosxxxxyy xyycos 2 1 具有特解形如 sincos 1 xbxaxy xyy3cos 2 1 具有特解形如xdxcy3sin3cos 2 由线性非齐次微分方程解的叠加原理可知原方程具有的特解形式为 3sin3cos sincos xdxcxbxaxy 正确选项为 C 欧拉方程 欧拉方程 1 1 11 nnnn nn x ya xyax ya yf x 的方程称为 Euler 欧拉 方程 其中12a aan 为常数 对于这种方程 应当分别考虑0 x 或0 x y yCuu 2 1 222 yCyxx 由0 x时1 y 得1 C 222 yyxx xyyx 222 2242222 2 xyxyxyyx 又xyy21 0 2 12 12 2 xyxy 所求曲线方程为 12 xy 解 2 凑微分的方法 解 2 凑微分的方法 y yy x P x y x O xyy 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 19 22 0 1 xyyxy y 22 0 1 xdxydyxy dx y 22 xdxydy dx xy 22 22 2 d xy dx xy 22 dxydx 22 0 0 1 x y x xyx 22 1xyx 21 yx 注 几何 求曲线方程 通常这类方程含有定解条件 切线 法线 斜率 曲率 弧长 面积等几何量常常会出现在题中 例 20 例 20 曲线 yy x 上任意点的曲率半径等于夹在该点与横轴之间 的法线之长 若该曲线 1 向下凸 2 向上凸 求曲线的方程 解 法线之长 2 2 2 1yyyyy 列方程 1 向下凸 2 23 2 1 1 1yyy y 2 向上凸 2 23 2 1 1 1yyy y 解方程 1 向下凸 yy y1 1 2 令 yyp y dy p pdp 2 1 cypln1ln 2 1 2 dx cy dy 1 2 1 2 1 2 1ln 1ln cxcycy cxcycy 1 1 1 1 2 2 cx cx ecycy ecycy 1 1 2 1 11 cxSh c ee c y cxcx 2 2 向上凸 yy y1 1 2 曲线为 2 1 2 2 2 cycx 例 21 例 21 与曲线族Raaxy 3 正交的曲线是 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 20 解 解 曲线族Raaxy 3 满足的方程是 3 axy 2 3axy x y y 3 其正交的曲线为 y x y 3 其通解为 Cyx 22 3 例 22 143 例 22 143 求曲线 xfy 在区间 0 x上 0 x 该曲线的 弧长在数值上等于该曲线在x点处的切线斜率 且0 0 1 0 ff 解 列方程 列方程 依题意有 0 1 x yy t dt 两边对x求导 得 2 1 yy 即 2 1 0 1 0 0 yy yy 解方程 解法 1 解方程 解法 1 看成不显含y二阶可降价方程 令 p x y 方程化为 1 2 p dx dp 1 1 2 dxdp p 0 2 1lnCxpp 1 2x Cepp 由0 x时 0 p 得1 C 2 1 2222 ppeepep xxx sh 22 1 2 x ee e e p xx x x 1 ch shCxyx dx dy 又0 x时1 y 故0 1 C xych 所求曲线方程为xych 解法 2解法 2 看成不显含x的二阶可降价方程 令py 方程化为 2 1pp dx dp dydp p p 2 1 0 2 1Cyp 由1 y时0 p得0 0 C 即yp 2 1 22 1yp 1 2 yp 1 2 y dx dy 1 2 1 1 Cdxdy y 1 y 1 2 arch 1ln Cxyyy 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 21 由0 x时 1 y得0 1 C 故 ch chxxy 解法 3解法 3 化或高阶线性常系数方程 原式 2 2 1 0 1 0 0 yy yy 22 0 1 0 0 0 1 y yy y yyy 0 0 0 1 0 0 0 1 yyy yyy 123 0 1 0 0 0 1 xx yc ec ec yyy 利用初始条件得方程组 123 12 12 1 0 1 ccc cc cc 12 3 1 2 0 cc c 则所求之解为 h 2 xx ee ycx 注 1 几何 求曲线方程 通常这类方程含有定解条件 切线 法 线 斜率 曲率 弧长 面积等几何量常常会出现在题中 例 23 例 23 质量为m一辆汽车在公路上高速行驶 遇情况急刹车 此时 速度达 0 v 刹车后滑行 0 s后停下 刹车后滑行阻力f为常数 假设假设空气阻力与速度的平方成正比 比例系数为c 试求 f 解 1 列方程解 1 列方程 2 2 2 0 0 0 0 d sds mfc dtdt ssv 0 2 0 2 1 c s m cv f e 2 解方程 解 1 原式 2 解方程 解 1 原式 2 0 1 0 dvf dt cvfm vv 1 10 arctan arctan fcf vtc cfm fc cv cf 1 10 tan tan c ff v ttc cm c fc cv mf 12 ln cos c fm s ttcc cm 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 22 0 0s 21 ln cos c fm cc cm 21 ln sec c fm cc cm 1 tan c ff s ttc cm 0 0 sv 10 tan c ff cv cm 2 10 sec c fff cv ccm 1 0tan c ff s ttc cm 1 0tan c f tc m 1 sec 1 c f tc m 012 ln cos c fm ss ttcc cm 021 ln sec c fm scc cm 2 2 0 00 lnln 1 2 cvmmff sv ccccf 0 2 0 2 1 cs n cv f e 解 2 2 0 0 dv mfc v dt vv 2 0 0 dv mvfcv ds vv 2 2 0 22 0 d v cf v dsmm vv 2 22 0 cs m ff vve cc 0 0v s 00 22 2 0 1 cc ss mm f eve c 0 2 0 2 1 c s m cv f e 注意震动问题如何列方程 注意震动问题如何列方程 质量为m质点挂在一弹簧上 弹簧的弹性系数为k 质点开始平衡 不动 今向下拉使弹簧有伸长 然后突然松开让质点上 下震动 假设一 假设一 空气阻力与速度成正比 比例系数为c 试求质点位移规律 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 23 假设二 假设二 空气阻力与速度的平方成正比 比例系数为c 试求质点位 移规律 列方程 列方程 先建坐标系 向上为正 平衡点为原点 位移为 x t 假设一 假设一 2 2 0 0 0 d xdx mk xc dtdt xx 假设二 向上运动时的方程 假设二 向上运动时的方程 2 2 2 d xdx mk xc dtdt 向下运动时的方程 向下运动时的方程 2 2 2 d xdx mk xc dtdt 例 24 例 24 一容器总高为H 在高度为h处的断面面积为 hSS 在底部有一面积为 0 s的小孔 若水流出速度v是水深h的函数 ghv2 若在容器装满水后 将底部小孔打开 问多久水将流尽 解 设y轴方向为水深 列方程列方程 微元平衡分析 t到dtt 的时段内 水深水深变化dy引起的水量变化 dt时间内流出的水量 即 hy dtgydyyS 0 2 解方程解方程 这里未知函数是 tyy yS已知 dtg y dyyS 2 ty h dtgdy y yS 0 2 h y dy y yS g t 2 1 例 25 例 25 某湖泊水量为V 每年入湖含污物 A 的污水 入湖污水量 6 V 入湖不含A的水量为 6 V 流出量 3 V 己知1999年底湖中有污物 0 5m 超过国家标准 为治污从 2000 年初开始 限定入湖污水含 A 浓度不超 S Y x 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 24 过 V m0 问多少年后湖中含污物的量降至 0 m 解 m t分别表示第t年湖内污物 A 总量 ttdt 时段内 污物 A 的的增量 污物 A 的排入量 污物 A 的排出量 即 0 63 mVm V mtt VV 0 0 63 0 5 mdmVmV dtVV mm 3 0 2 t ce m m 3 0 0 2 9 2 t em m m 3ln6 0 tmm 综合题 综合题 例 26 138 例 26 138 若连续函数 xf满足 3 0 1 3 x t f xfdt 则 xf的为 A 3x Ce B 3x e C x Ce D x e 解 3 0 1 3 x t f xfdt 两边对x求导得 3 xfxf 解得 x Cexf 3 又1 0 f 故1 C 正确选项为 B 注 变上限积分 积分方程 可通过求导 得到微分方程 通常积 分方程中包含定解条件 例 27 73 例 27 73 设 0 1 Cxf 对任意的 0 x满足 3 0 1 0 2 xxxfdttfdttxfx x 且0 1 f 求 xf 解 解 令xtu 则原方程变换为 3 00 2 xxxfdttfduuf xx 两边对x求导得 2 3 2 xxf xxfxfxf 整理得一阶线性微分方程 xxf x xf3 2 求解此微分方程得 2 2 4 31 x x Cxf 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 25 由0 1 f得 4 3 C 故 4 3 4 3 2 2 x x xf 例 28 141 例 28 141 求方程 23 1 0y dxxyy dy 的通解 解 1 令 23 1 P x yy Q x yxyy 则 1 y P x Q 故方程为全微分方程 设dyyxQdxyxPdu 则 1 yfxyxyxuyyxP x u 又 23 u Q x yxyyxxyf y yy 所以 32 yyxyfx 32 yyyf Cyyyf 4 1 3 1 43 Cyyxyxyxu 43 4 1 3 1 原方程通解为 0 4 1 3 1 43 Cyyxyx 解 2 23 1 0y dxxyy dy 23 ydxxdyyy dydx 34 3 4 ydxxdyd yyx 34 3 4 0d xyyyx 例 29 例 29 已知 xf有 2 阶连续导数 且对任意的光滑有向封闭曲面 有 0 2 dydxzedxdzxyfdzdyxfe xx 1 证明对任意的x都有 x exfxfxf 2 2 当 3 1 0 0 0 ff时 求函数 xf的表达式 证明 证明 1 0 2 2 xxx ze z xfye y xfe x x exfxfxf 2 2 2 1 非齐次方程特解 x axey 求出 3 1 a 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 26 通解 xxx xeeCeCxf 3 1 2 21 0 3 1 0 0 0 21 CCff 例 30 例 30 设 x dttftxxxxf 0 sin 其中 xf连续 求 xf 解 对 x dttftxxxxf 0 sin 两边求导 得 0 cossin x fxxxxf t dt 两端再求导 cos2sin xfxxxxf 即 sin2cos 0 0 0 0 fxf xxxx ff 齐次方程0 xfxf的通解是xCxCsincos 21 非齐次方程 xxxxfxfcos2sin 的特解应具有形式 xDCxxxBAxxxysin cos 用待定系数法求出DCBA 得出其特解为 xxxxysin 4 3 cos 4 1 2 所以方程的通解为 xCxCxxxxxfysincossin 4 3 cos 4 1 21 2 由初值条件得到0 21 CC 于是xxxxxfsin 4 3 cos 4 1 2 例 31 142 例 31 142 设 xf可导且满足 2 0 x xx f xeef tdt 求 xf 解 2 0 x xx f xeef tdt 代入0 x 得1 0 f 等式两边对x求导 得 222 0 x xxxx fxeef tdte fxf xe fx 即 xf是初值问题 1 0 2 y yeyy x 的解 伯努利方程 化为 11 x e yy 其通解为 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 27 111 2 dxdx xxx ee edxCCee y 又1 0 y 故 2 3 C 2 12 31 3 22 x x xx e f x e ee 例 32 144 例 32 144 代换 x u y cos 求cos2sin3 cos x yxyxyxe 的 通解 解 令 x u y cos 即xyucos 则 sincosxyxyu cossinsincosuyxyxyxyx cos2sincos yxyxyx 故 cos2sin3 cos4 yxyxyxuu 原二阶线性变系数非齐次方程化为4 x uue 40uu 的通解为 12 cos2sin2uCxCx 设 x Uae 为4 x uue 的特解 代入方程解得 1 5 x Ue 故方程4 x uue 通解为 12 1 cos2sin2 5 x uCxCxe 原方程cos2sin3 cos x yxyxyxe 的通解为 12 11 cos2sin cos5 x yCxCxe x 例 33 145 例 33 145 设函数 xyy 在 内具有二阶导数 且 0 y yxx 是 xyy 的反函数 1 将 yxx 满足的微分方程0 sin 3 2 2 dy dx xy dy xd 变换为 满足的微分方程 2 求变换后的微分方程满足初始条件 2 3 0 0 0 yy的解 解 1 1dx dyy 2 22 1111 d xddy dydyydxyyyy 方程 2 3 2 sin 0 d xdx yx dydy 化为 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 28 33 1 sin 0 y yx yy sin yyx 2 求解初值问题 sin 3 0 0 0 2 yyx yy 0 yy的通解为 12 xx yC eC e 设cossinYaxbx 是xyysin 的特解 代入方程 得 1 sin 2 Yx 故xyysin 的通解为 sin 2 1 21 xeCeCy xx 由 2 3 0 0 0 yy 得 1 1 21 CC 所求初值问题的解为 1 sin 2 xx yeex 例例 34 设函数内具有二阶导数在 0 uf 且 22 yxfZ 满足等式0 2 2 2 2 y z x z 验证0 u uf uf 若的表达式 求函数 1 1 0 1 ufff 解解 2222 z fxyxxy x 2222 z fxyxxy y 22222 22 22222 xyxxy zx ff xxyxy ii 22 322 22 2 xy ff xy xy ii 同理由轮换对称性得到 222 3222 22 2 zyx ff xxy xy ii 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 29 代入0 2 2 2 2 y z x z 左端 得0 22 22 22 yx yxf yxf 因此得微分方程 0 u uf uf 看作高阶可降阶方程 0 1 0 1 1 f u fu u ff 令 c u du p dp u p du dp puf 则 cup lnln u c puf 2 1 1 1 lnfcf uuc 再0 0 1 2 cf得由 lnf uu 于是 看作欧拉方程 2 0 1 0 1 1 u fuuf u ff 0 u 令 f uu 特征方程 10 特征根0 0 解 12 lnf uccu 代入初始条 lnf uu 于是 看作全微分方程 0 1 0 1 1 ufuf u ff 0 u 0 1 0 1 1 uf u ff 1 0 1 0 1 1 u u uf u ff 1 1 0 f uu f lnf uu 五 2008 2009 五 2008 2009 的考题 的考题 例例 1 08 1 3 以xCxCeCy x 2sin2cos 321 321 CCC 为任意常数 为通解通解的微分方程是 D A 044 yyyy B 044 yyyy C 044 yyyy D 044 yyyy 解 解 特征方程为044 4 1 232 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 30 例例 2 08 1 9 3 12 微分方程0 yyx满足条件1 1 y 的特解是 y 解 1 解 1 分离变量求解 dydx yx dydx yx lnln c y x 由条件1 1 y得 ln1ln1 1 c c 解是 x y 1 注意 1 y x 是不对的 多解了 解 2 解 2 分离变量求解 dydx yx 11 yx dydx yx 1 lnlny x 解是 x y 1 解 3 解 3 0 1 1 xyy y 1 0 1 1 0 yy x yx 这是一阶线性齐次方程 观察出一个解 1 y x 其一般解为 c y x 由条件1 1 y得11 1 c c 解是 x y 1 解 4 解 4 0 1 1 xyy y 0 1 1 xy y 1 010 x x y xxy 解是 x y 1 解 5 解 5 0 1 1 xyy y 0 1 1 xdyydx y 0 1 1 d xy y 1 010 x x y xxy 解是 x y 1 例例 3 08 数数 2 10 0 2 xdydxexy x 的通解是 x eCxy 解 1 解 1 原方程化为 1 x dy yxe dxx 一阶线性非齐次方程 1 ln 1 dx x x uee x 1 x dy yxe dxx 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 31 x y e x x y ec x 得到 x yCxxe 解 2 解 2 原方程化为 2 0 x ydxxdyx e dx 2 22 0 x ydxxdyx e dx xx 0 x y dd e x 积分得到 Ce x y x x yCxxe 例例 4 08 2 16 16 设 xyy 由参数方程 2 0 ln 1 t xx t yu du 确定 其中 tx是初值问题 20 0 1 x dx te dt x 的解 求 2 2 dx yd 解 1 解 1 先求 xx t 由02 x te dt dx 得tdtdxex2 积分并由条件 0 t x 0 得 2 1tex 即 1ln 2 tx 2 2 再求 2 2 dx yd 2 22 2 ln 1 2 1 ln 1 2 1 dyttdt ytt t dx dt t 22 2 22 1 ln 1 ln 1 dtt d ydy dxdxdt 2 2 2 ln 1 2 2 1 ttt dt t dt t 22 1 ln 1 1tt 例例 5 08 2 19 本题满分10分 设 xf是区间 0 上具有连 续导数的单调增加函数 且1 0 f 对任意的 0 t 直线 txx 0 曲线 xfy 以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋 转一周生成一旋转体 若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2倍 求函数 xf的表达式 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 32 解 1 列方程 解 1 列方程 设 yy xf x 22 00 2 2 1 0 1 0 tt yx dxy xy xdx yy x 22 1 0 1 0 yxy xy x yy x 22 1 0 1 0 yy yy x 2 解方程 解 1 2 解方程 解 1 22 1 0 1 0 yy yy x 2 1 0 1 yy y 210 1 yx dy dx y 22 ln1 ln1yyxyyx 2 2 1 1 x x yye yye 2 xx ee yshx 解 2 解 2 22 1 0 1 0 yy yy x 22 0 1 0 0 yyy y yy 0 0 1 0 0 yy yy 12 0 1 0 0 xx yc ec e yy 12 12 1 2 xx yc ec e cc 2 xx ee y 验证解 验证解 函数 2 xx ee yshx 是在 0 上具有连续导数的 单调增加函数 而满足题设几何条件是显然的 例例 6 09 1 10 若二阶常系数线性齐次微分方程0 byyay的 通解为 21 x exCCy 则非齐次方程xbyyay 满足条件 00 20 yy的解为 答案 2 xxey x 解 解 由 21 x exccy 得二阶常系数线性齐次微分方程 0 byyay的特征值 1 21 故1 2 ba 要求解的微 分方程为xyyy 2 设特解BAxy 0 代入微分方程为xyyy 2 得出xBAxA 2 2 1 BA 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 梦飞翔考研论坛 谭泽光 33 故微分方程为的xyyy 2特解2 xy 通解为 2 21 xexccy x 代入初始条件 20 y 00 y 得1 0 21 cc 要求的解为2 xxey x 例例 7 09 2 18 本题满分