线性代数讲义(二版)0-1章.doc

线性代数 第章 概述第 0 章 概述(一) 数学与其它领域的关系l 数学与生活l 数学与科研l 数学与工程l 数学与社会(二) 数学的分类l 数学分析：初等数学高等数学实变函数l 代数：初等代数高等代数（线性代数）抽象代数（近世代数）l 几何：初等几何l 离散数学l 数值分析l 组合数学l (三) 代数学的研究对象l 初等代数l 高等代数（线性代数）l 抽象代数（近世代数）(四) 线性代数的应用l 基础学科：数学、物理l 工业：钢铁、化工、机械l 信息：通信、电子、计算机、密码学l 经济：l 社会科学：(五) 课程内容序号内 容详 细 内 容备注1行列式定义、性质、计算、应用（解方程组）第2章2线性（代数）方程组定义、求解（消元法）、有解的判断第3章解的结构第4章3矩阵概念、秩第1章运算、逆矩阵、分块、特殊矩阵第1章特征值与特征向量、相似矩阵、标准形第5章4向量空间向量、相关性、秩、向量空间、欧氏空间第4章5二次型表示方式、标准形、正定二次型第6章6MATLAB语言，应用第8章7线性空间线性空间概念、性质、基、维数、坐标、子空间第7章8线性变换概念、表示方式、特征值、特征向量第7章(六) 与其它课程的联系与分工l 是“离散数学”、“数值分析”、“信号与系统”等专业课的基础。(七) 教材与参考资料教材：参考：(八) 要求l 学习方法：不同课程的方法有异l 纪律：85/86线性代数 第一章 矩阵第 1 章 矩阵（一） 问题l 自然科学中的问题可用矩阵描述；l 用矩阵表示的问题可直接用矩阵求解。（二） 内容l 内容：矩阵及矩阵的运算；l 逆矩阵；l 矩阵分块法。（三） 基本要求l 理解矩阵概念，了解单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵的性质；l 熟练掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律；l 理解逆矩阵的概念，熟练掌握逆矩阵存在的条件与矩阵求逆的方法；l 会分块矩阵及其运算。l 熟练掌握矩阵的初等变换。l 了解初等矩阵的概念及初等矩阵与初等变换的关系。l 熟练掌握用矩阵的初等行变换化矩阵为行最简形。（四） 重点和难点l 重点：矩阵与矩阵的乘法、逆矩阵存在的条件及其求法；，用矩阵的初等行变换化矩阵为行最简形求解方程组的方法l 难点：逆矩阵的求法。1.1 矩阵的概念1. 1. 1 矩阵的概念(一) 实例【例1.1.1】三个人A、B、C，三项工作、，第i人从事第j项工作，产生价值A251522B312019C352417或描述三人从事各项工作所产生的价值，也揭示了价值随个人变化的情况【例1.1.2】线性方程组，未知数的系数按原顺序构成矩形表格（3行4列）未知数系数和常数项也可构成一个矩形表格（3行5列）该表格决定着给定的方程组是否有解、有多少解、解是什么【例3】通信网络联系信息：1点与有通信联系；0无通信联系 其它应用：学生成绩登记表、产量统计表等.【例】（补）平面上的点可表为行向量或列向量。(二) 定义【定义1】由mn个数排成一个m行n列的矩形数表，称为mn矩阵或m行n列矩阵，简称矩阵。横排称为矩阵的行，纵排称为矩阵的列。称为矩阵的第i行第j列元（或元素），或(i, j)元。记为A, B, 等（或，或A或）。矩阵的行、列矩阵的元（或称元素）(三) 特殊矩阵实矩阵元素都为实数的矩阵。复矩阵元素都为复数的矩阵。零矩阵元素全为零的矩阵，记为或0。列矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵（或列向量）。行矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵（或行向量）。也记作A。向量的其它表示：向量可用小写字母a，b，表示（用粗体）。一阶矩阵即mn1，记为（a）或a，后边一阶矩阵和一个数不加区别。(四) 其它概念方阵当行数等于列数（mn）时，称为n阶矩阵或n阶方阵。对角线设A为方阵，则从左上角到右下角的对角线称为A的主对角线；从右上角到左下角的对角线称为A的次对角线（或副对角线）。主对角线元主对角线相应的元素称为主对角线元。1. 1. 2 几种特殊矩阵(一) 三角矩阵上三角矩阵和下三角矩阵：称主对角线以下的元素全为零的方阵为上三角矩阵，主对角线以上的元素全为零的方阵为下三角矩阵。二者统称三角矩阵。(二) 对角矩阵主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵，记为或。对角矩阵中未写出的元素表示零元素。对角阵也可表示为或。(三) 单位矩阵单位阵：主对角线上全为1的n阶对角矩阵称为n阶单位阵，记作、或E、I。(四) 矩阵的关系同型矩阵：指行数与列数分别相等的两个矩阵。矩阵的相等：设矩阵A与B同型且对应元素相等，则称A与B相等，记作AB。即AB，i1, 2, , m；j1 ,2, , n说明：矩阵相等的要素：二者同型；对应元素相等。(五) 线性变换实际问题要求将一些变量用另外一些变量线性表示，如 （1.1）称此关系式为从变量到变量的线性变换。式（1.1）的系数按其原来的相对位置确定一个矩阵，称为线性变换的系数矩阵。线性变换与矩阵之间存在着一一对应的关系。可用矩阵研究线性变换，也可以用线性变换研究矩阵。1.2 矩阵的运算1. 2. 1 矩阵的加法与数乘(一) 运算【定义1.2】两个同型矩阵与的和记作AB，定义为【定义1.3】数k与矩阵的乘积，简称数乘，记作kA或Ak，定义为矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算。线性运算的优先级：先数乘，后加减，矩阵的负矩阵记作A，定义为矩阵与的减法记为AB，定义为ABA(B)即AB(二) 运算定律矩阵的线性运算满足下列运算规律：（1） 交换律：ABBA（2） 结合律：(AB)CA(BC)（3） A0A（4） A(A)0（5） 1AA（6）（7） 分配律：（8） 分配律：(三) 例【例1】设矩阵，求2A3B。（解）2A3B231. 2. 2 矩阵的乘法(一) 背景矩阵乘法是出于研究线性方程组和线性变换的乘法的需要建立起来的。设有两个线性变换：从到的变换 （1.2）和从到的变换 （1.3）欲求由到的线性变换，将式（1.3）代入式（1.2），得 （1.4）称为线性变换（1.2）与（1.3）的乘积。(二) 线性变换的矩阵表示将线性变换（1.2）、（1.3）和（1.4）右端系数分别用矩阵表示A，B，C由此得A、B 、C的元素之间的关系：，即C的第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和。(三) 矩阵乘法定义【定义3】设矩阵是一个矩阵，是一个矩阵，定义A与B的乘积是一个矩阵，记为CAB。其中 说明：（1） 由定义知，两个矩阵之积也是一个矩阵，其行数等于左边矩阵之行数，列数等于右边矩阵之列数。（2） 乘积的第i行第j列处元素等于乘积中左（边）矩阵第i行元素与右（边）矩阵第j列对应元素乘积之和。（3） 两个矩阵可以相乘的必要条件是左矩阵的列数等于右矩阵的行数。优先级：先数乘或乘，后加减。(四) 例【例2】求矩阵A与B的乘积AB。（解）判断可乘性：A的行数等于B的列数，可以相乘。其乘积为32矩阵。由定义AB【例3】已知矩阵A与B，求AB与BA。（解）由定义ABBA【例4】设矩阵A与B，求AB与BA。（解）由定义AB()BA【例】（补）求矩阵A与B的乘积AB。（解）判断可乘性：A的行数等于B的列数，可以相乘。其乘积为22矩阵。由定义AB【例】（补）求上例中矩阵A与B的乘积BA。（解）判断可乘性：B的行数等于A的列数，可以相乘。其乘积为33矩阵。由定义AB注意：（1） 矩阵乘法一般不满足交换律。即在一般情况下，ABBA。原因：AB有意义，BA未必有意义（如例2）；AB与BA都有意义，但二者的行列数未必相同（如例4）；二者的行列数相同，但未必有ABBA（如例3）。例如，矩阵乘法有意义，没有意义。（2） 两个非零矩阵之积可能是零矩阵（如例3）。即在一般情况下，由AB0不能得到A0或B0的结论。（3） 当A0时，由ABAC不能推出BC。例如若ABBA，则称A、B可交换。阶单位阵E与任何n阶矩阵乘法可交换。【例】（补）求与矩阵A可交换的矩阵。（解）设与A可交换的矩阵为X，计算AXXA由AX XA知，由此得方程组 即 解之得 ，其中、为任意常数即所求矩阵为 乘法运算规律：（1） 结合律： (AB)CA(BC)（2） 分配律：A(BC)ABAC，(BC)ABACA（3） (AB)(A)BA(B)，其中为常数（4）（证）分配律：设，则由定义故A(BC)ABAC。(五) 线性方程组的矩阵表示线性方程组 （*）的矩阵表示方式为AxB （*）其中注意：式（*）与（*）表示的内容或含义相同，但严格讲二者的形式和表面意义并不相同。因为（*）式表示的是两个相等的矩阵：【例】线性方程组可表为矩阵形式AxB其中A，x，B1. 2. 3 方阵的幂与多项式(一) 方阵的幂定义：A为n阶方阵，k为正整数，A的k次幂定义为 约定：E运算规律：（1）（2）（3）若矩阵A与B可交换，则有；一般情形下，【例5】。（解） 所以(二) 方阵的多项式为x的m次多项式，称为n阶方阵A的m次多项式，记为f(A)。【例6】。（解）0说明：（1） 同一矩阵A的两个多项式f(A)与g(A)的乘法是可交换的。（2） 矩阵A的任意两个多项式可以像x的多项式一样相乘。（3） 方阵A的多项式f(A)也可像x的多项式f(x)一样分解因式。【例】f(x) x2，g(x)x3。则f(A) g(A)(A2E)(A3E)A6E【例】设f(A)E，则f(A)可分解为f(A)(AE)(AE)(三) 矩阵的多项式展开若ABBA，则可按二项式展开，即特别 1. 2. 4 矩阵的转置(一) 定义【定义4】把矩阵A的行换成同序数的列得到的矩阵，叫做A的转置矩阵，记作或。即若则 。优先级：转置幂乘法和数乘加减(二) 运算规律. 推广：（1） （2）（证）（4）：设A，B，ABC，D， 。则(的第i行)*(的第j列)(B的第i列)*(A的第j行)即D，亦即。(三) 对称矩阵【定义1.6】如果n阶方阵A满足，则称A为对称矩阵。如果n阶方阵A满足，称A为反对称矩阵（或反称矩阵）。条件：矩阵A为对称矩阵A为反称，当ij时0。例A是3阶对称矩阵。B是3阶反对称矩阵。(四) 性质（1） 反对称矩阵的对角线元素为0.（2） 若A、B为n阶对称方阵，则AB也对称；若A、B可交换，则AB也对称（3） 设A为方阵，则A、A和A对称，A反对称。（4） 任何方阵都可表为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。例如A。(五) 举例【例7】设A、B均为n阶对称矩阵，证明AB为对称矩阵的充要条件是ABBA。（证）必要性：已知A，B。若AB，则有ABBA充分性：若AB BA，则 BAAB AB为对称矩阵1. 2. 5 共轭矩阵当为复矩阵时，用表示的共轭复数，记，称为A的共轭矩阵。共轭复矩阵的运算规律（设A，B为复矩阵，为复数，且运算都是可行的）:1.3 可逆矩阵问题：求解方程组AXB，能否象求解单个方程axb那样x（其中，）(一) 定义【定义1.7】对于阶方阵A，若存在n阶方阵B，使得ABBAE则称A为可逆矩阵或A是可逆的，称B为A的逆矩阵。说明：（1） 逆矩阵是唯一的。证：设B、C同为逆矩阵，则ABBAE，ACCAE BEB(CA)BC(AB)CEC（2） 矩阵A的逆矩阵记为。（3） 矩阵A可逆的必要条件是A为方阵。（4） 单位阵E是可逆的，且有E。（直接验证）【例1】证明：二阶矩阵不可逆。（证）设X为任意二阶矩阵AXE故A不可逆。【定理1.1】若adbc0，则矩阵可逆，且。（证）直接验证【例2】求三阶对角阵的逆。（解）设的逆为，则由E得即解得1，1/2，1/3， 0。求逆矩阵的方法一利用定义和方程组。推广：当0时，对角阵可逆，且其逆为。(二) 可逆矩阵的性质设矩阵A可逆，则有（1）也可逆，且A（2）kA也可逆，且（k0为常数）（3）也可逆，且（4）A、B可逆，则AB也可逆，且。（推广形式：）（证）（1）由AE和的唯一性即知。（2）因为(kA)()(k)(A)1EE。（3）由转置矩阵的性质（）知E（4）AEAE 规定：，（其中A可逆）。其中称为负整数次幂。【例3】设方阵A满足5A4E0。证明A、A3E均可逆，并求它们的逆。（解）因A(A5E)4E，即 AE。故由推论知A可逆且。其次，由5A4E0可得0即 A(A3E)2(A3E)2E(A3E)(A2E)2E(A3E)E知A3E可逆且【例4】设A与B都是可逆矩阵，且AB是可逆矩阵，证明：（1）可逆，并求其逆；（2）ABBA。（证）（1）(B)(A) ( B A) (AB) 因、(AB)、都可逆，故可逆。且BA（2）类似（1）（转换A与B的位置） AB AB再由逆的唯一性知 ABBA1.4 分块矩阵(一) 矩阵分块（1） 用横线和纵线将矩阵分块，小块叫作矩阵的子块（子矩阵）。（2） 运算中可将每个子块看作元素处理。（3） 以子块为元素的形式上的矩阵，称为分块矩阵。（4） 分块的意义：适当分块，可简化运算，且使得矩阵结构简洁清晰，意义更加明确。例 分为4块。记，则A由4个小矩阵组成并称其为A的22分块矩阵。(二) 特殊分块（1）将mn矩阵视作一个块，则A是一个11的分块矩阵。（2）按行分块：将矩阵A按行进行分块，可分成 A。其中（i1, 2, ,m）.（3）按列分块(三) 分块对角矩阵设A为n阶方阵，若A的分块矩阵中，主对角线以外均为零子块，且主对角线上的子块都是方阵，即则A称为分块对角矩阵（准对角矩阵）。分块对角矩阵记为diag(四) 分块矩阵的运算加法分块矩阵的运算与普通矩阵的运算相似。设A、B为mn矩阵，用相同方法把A与B分块为其中每个与是同型子矩阵，则(五) 分块矩阵的运算数量乘法设，则。其中，为任意常数。(六) 分块矩阵的运算转置设A，则规律：分块矩阵和子块都转置。例 A，则(七) 分块矩阵的运算乘法设A为ml矩阵，B为ln矩阵，使A的列的分法与B的行的分法一致。即A，B，为阶子矩阵。与普通矩阵乘法在形式上是相同的。【例1】设矩阵利用分块矩阵计算AB。（解）将矩阵A、B分别适当分块，AB则 此时，只需计算 得 (八) 分块矩阵的运算分块对角矩阵的乘法与乘方设有两个同型且分块方法相同的准对角矩阵则 ，此时，A可逆子块可逆（i1, 2, , r），且【例2】求矩阵的逆矩阵。（解）将A分成33矩阵A其中，则故注意：矩阵分块时：（1） 分法合理，使分块运算有意义。（2） 根据矩阵元素分布的结构特点和实际要求全面考虑。（3） 特殊分块，CAB，矩阵表示B，C则 ABACAB可表为即 说明矩阵AB的第j列是矩阵A与矩阵B的第j列的乘积。若将A、C按行分块为A，C。则CAB可表为CABB说明矩阵AB的第i行是矩阵A的第i行与矩阵B的乘积。【例3】，计算和。（解）【例4】证明：设A为mn矩阵，则对任意n维向量x，Ax0的充要条件是A0。（证）证必要性：将单位阵分块（），由x的任意性知A0，即1.5 矩阵的初等变换1. 5. 1 高斯消元法一般线性方程组的形式 （1.5）未知量（或未知数）（方程组的）系数常数项当常数项全为零时称为齐次线性（代数）方程组，否则，称为非齐次线性（代数）方程组。说明：（1） 齐次线性方程组总是有解。（2） 齐次线性方程组的特殊解0，称为零解。（3） 若齐次方程的一组解不全为零，则称其为非零解。方程组的矩阵表示：Axb矩阵A称为方程组（1.5）的系数矩阵；称矩阵(A, b)为方程组的增广矩阵，记为。解满足方程组的一组数，由组成的列向量称为方程组的解向量。有解（或相容）方程组有解无解（或矛盾）方程组无解解集合（解集）解的全体通解能表示解集合中任一元的表达式同解（或等价）方程组两个方程组的解集合相同(一) 消元法求解解方程组的方法一高斯消元法的思想：通过消元变形把方程组化为容易求解的同解方程组。【例1】解线性方程组（消元过程）： （1.6）（解）（消元过程）交换前两个方程的位置得 （1.7）分别将第一个方程的2、3倍加到第二、第三个方程上 （1.8）将第二个方程的2倍加到第三个方程上 （1.9）（回代过程）：由第三个方程得，带入第二个方程得，带入第一个方程得。阶梯形方程组：方程组自上而下未知量个数依次减少成为阶梯形状。(二) （方程组的）初等变换消元过程的本质是对方程组施行了三种变换：（1） 交换两个方程的顺序；（2） 用一个非零数乘某个方程；（3） 把一个方程的k倍加到另一个方程上。称为线性方程组的初等变换。说明：初等变换的性质：（1） 初等变换是可逆的。（2） 经过初等变换后的方程组与原方程组同解。（3） 对方程组的初等变换可以针对其增广矩阵进行，从而使得变换的描述变得简单。例如：方程组变换对应矩阵变换方程组变换对应矩阵变换1. 5. 2 （矩阵的）初等变换(一) 矩阵的初等变换【定义1.8】矩阵的初等行变换是指：（1） 互换矩阵的第i行与第j行的位置，记为；（2） 用一个非零常数乘以矩阵的第i行，记为；（3） 把矩阵第j行元素的k倍加到第i行对应的元素上，记为【定义1.8】矩阵的初等列变换是指：（1） 互换矩阵的第i列与第j列的位置，记为；（2） 用一个非零常数乘以矩阵的第i列，记为；（3） 把矩阵第j列元素的k倍加到第i列对应的元素上，记为矩阵的初等变换：矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换。(二) 矩阵的等价【定义1.9】若矩阵A经一系列初等行变换化为B，则称A与B行等价，记为。若A经一系列初等列变换化为B，则称A与B列等价，记为。若矩阵A经过一系列初等变换化为矩阵B，则称A与B等价（或相抵），记为AB。等价矩阵的性质：（1） 反身性：A与自身等价；（2） 对称性：若A与B等价，则B与A等价；（3） 传递性：若A与B等价， B与C等价，则A与C等价。意义：化简方程组相当于对其增广矩阵做初等行变换；可用矩阵变换描述方程组的化简并解方程组。(三) 用矩阵变换解方程组对方程组的初等行变换，相当于对其增广矩阵施行相应的初等变换，故化简方程组相当于用初等变换化简其增广矩阵。【例】对例1的方程组，有对应方程组【定义1.10】满足下面两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵（简称阶梯形）：（1） 若有零行，则零行位于非零行的下方；（2） 每个首非零元前面零的个数逐行增加。行最简形矩阵（最简形）：每行首非零元为1，且首非零元所在列的其它元都为零的行阶梯形矩阵。例如，三者都为行阶梯形矩阵，第三个为行最简形矩阵。【定理1.2】任何矩阵都可经初等行变换化为行阶梯形矩阵及或行最简形矩阵。（证）做行变换，i2, 3, , m可得AB【推论】矩阵经过初等变换后所得行最简形是唯一的。【例2】用初等行变换将矩阵化为阶梯形和最简形。（解）ABC再做列变换得【例】求矩阵的阶梯形和最简形。（解）由于为11矩阵，故其梯矩阵为，而其最简形则为【定理1.3】对任何mn矩阵A，总可经有限次初等变换化为如下形式：N称为矩阵A的等价标准形（由m、n、r完全确定）。（证）（略）1.6 初等矩阵内容：（1）初等变换与矩阵乘法的关系； （2）用初等矩阵求逆矩阵的方法。(一) 初等矩阵【定义1.11】对单位矩阵E施行一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵。（1）行交换（2）数乘（3）行加初等矩阵E(i,j)、E(i(k)、E(i,j(k)也可由单位阵经列变换得到。即【定义1.11】初等矩阵也包括列变换的结果。(二) 初等矩阵与矩阵乘法的关系例如：设A则 (三) 结论【定理1.4】矩阵A的行变换的结果等于左乘初等矩阵，矩阵A的列变换的结果等于右乘初等矩阵。【定理】初等矩阵均可逆，其逆也为初等矩阵。且有【定理1.5】对任何mn矩阵A，必存在行最简形矩阵U和若干个m阶初等矩阵，使得AU【定理1.6】对任何mn矩阵A，必存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得PAQN其中N，r随A而定，且0rminm, n。(四) 矩阵可逆与等价的条件【定理1.7】n阶方阵A可逆的充要条件是A可表成一些初等矩阵的乘积。（证）必要性：存在初等矩阵和使得AN但因A可逆，故NE，即而诸和显然是可逆的。充分性：若A，因可逆矩阵的乘积仍可逆，故A可逆。【推论】mn阶矩阵A与B等价存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q，使得PAQB。(五) 求逆矩阵的方法二初等变换法设。则由AE知()AE， 含义：前者表示A经初等变换可化为E，后者表示E经过这些初等变换可化为。即（AE）（E）亦即 （AE）（E）则 （AE）（E）意义：对矩阵（AE）施以初等行变换，当A变为E时，E就化为。【例1】设矩阵A，求。（解）（AE） (六) 矩阵方程利用逆矩阵求解的方法可推广到一般的矩阵方程AXB， XAB， AXBC当A为m阶可逆矩阵，B为n阶可逆矩阵，C为mn阶矩阵时，则上述矩阵方程有解，其唯一解分别为（注意：此时X为mn矩阵）方法：即 （AB）（EB）或右乘 即 【例2】求矩阵X，使AXB。其中，（解）若A可逆， （AB） 【例】（习题）解矩阵方程 X。（解）计算 XC 【例】（补）设A、B满足AB2BA，且，求B。（解）由条件AB2BA得(A2E)BA （*）计算 那么，解矩阵方程（*）得BA【例】（补）解方程组 X。（解）所有，方程组无解。1.7 应用举例1. 7. 1 应用一：信息加密问题(一) 信息安全问题信息的编码：字符数字直接发送编码的风险：易被破译破译方法之一：利用语言的固有特征字符出现频率不同（如SEND MONEY）。措施：信息加密，增加非法用户破译的难度(二) 加密算法思路准备：构造k阶加密矩阵A（可逆，且A和其逆的元素全为整数）及其逆矩阵。消息分组并编码：k个字符一组并编码（M）加密过程：A（i1, 2, , t）解密过程：（i1, 2, , t）解码：得原文(三) 例选A，则消息M“SEND MONEY”分组编码M“SEN；DMO；NEY”19,5,14；4,13,15；14,5,25，加密：A，A，A密文编码为：C81,62,38,77,73,32,93,79,44解密：要解密出，则解码：“DMO”(四) 明、密文的矩阵表示明文B“SEND MONEY”“SEN；DMO；NEY”加密：CAB81,62,38,77,73,32,93,79,44解密：MBM(五) 构造密钥矩阵1. 7. 2 应用二：人口流动问题农村人口300万，城市100万每年20%的农村人口移向城市，城市10%移向农村。设总人口不变，迁移规律不变，预测人口状况。（解）设n年后农村人口为万，城市人口为万，则，300，100矩阵表示 A迭代得 例如 ，1. 7. 3 应用三：图的邻接矩阵(一) 图及其作用图：由一些点构成的集合以及连接其中某些点的线（称为边）的集合所构成的图形。作用：描述事物之间的关系。(二) 图的矩阵表示设图G的全体点的集合为，全体边的集合为。点与有边相连，则称其相邻。若二者相邻，用1表示；否则用0表示