奥数面积讲义.doc

第6講 圖形與面積一、直線圖形的面積在小學數學中我們學習了幾種簡單圖形的面積計算方法，數學競賽中的面積問題不但具有直觀性，而且變換精巧，妙趣橫生，對開發智力、發展能力非常有益。圖形的面積是圖形所占平面部分的大小的度量。它有如下兩條性質：1兩個可以完全重合的圖形的面積相等；2圖形被分成若干部分時，各部分面積之和等於圖形的面積。對圖形面積的計算，一些主要的面積公式應當熟記。如：正方形面積=邊長邊長；矩形面積=長寬；平行四邊形面積=底高；三角形面積=底高2；梯形面積=（上底+下底）高2。此外，以下事實也非常有用，它對提高解題速度非常有益。1等腰三角形底邊上的高線平分三角形面積；2三角形一邊上的中線平分這個三角形的面積；3平行四邊形的對角線平分它的面積；4等底等高的兩個三角形面積相等。解決圖形面積的主要方法有：1觀察圖形，分析圖形，找出圖形中所包含的基本圖形；2對某些圖形，在保持其面積不變的條件下改變其形狀或位置（叫做等積變形）；3作出適當的輔助線，鋪路搭橋，溝通聯繫；4把圖形進行割補（叫做割補法）。例1 你會用幾種不同的方法把一個三角形的面積平均分成4等份嗎？解：最容易想到的是將ABC的底邊4等分，如左下圖構成4個小三角形，面積都為原來的三角形面積的。另外，先將三角形ABC的面積2等分（如右上圖），即取BC的中點D，連接AD，則SABD=SADC，然後再將這兩個小三角形分別2等分，分得的4個小三角形各自的面積為原來大三角形面積的。還有許多方法，如下面的三種。請你再想出幾種不同的方法。例2 右圖中每個小方格面積都是1cm2，那麼六邊形ABCDEF的面積是多少平方釐米？分析：解決這類問題常用割補法，把圖形分成幾個簡單的容易求出面積的圖形，分別求出面積。也可以求出六邊形外空白處的面積，從總面積中減去空白處的面積，就是六邊形的面積。解法1：把六邊形分成6塊：ABC，AGF，PEF，EKD，CDH和正方形GHKP。用S表示三角形面積，如用SABC表示ABC的面積。故六邊形ABCDEF的面積等於6+2+1+4+9=說明：當某些圖形的面積不容易直接計算時，可以把這個圖形分成幾個部分，計算各部分的面積，然後相加，也就是說，可以化整為零。解法2：先求出大正方形MNRQ的面積為66=36（cm2）。說明：當某些圖形的面積不易直接計算時，可以先求出一個比它更大的圖形的面積，再減去比原圖形多的那些（個）圖形的面積，也就是說，先多算一點，再把多算的部分減去。解法3：六邊形面積等於SABC+S梯形ACDF-SDEF=62+（3+6）4-31=6+18-1=說明：“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，從不同的角度去觀察同一個圖形，會對圖形產生不同的認識。一種新的認識的產生往往會伴隨著一種新的解法。做題時多想一想，解法就會多起來，這對鍛煉我們的觀察能力與思考能力大有益處。例3 如下圖所示，BD，CF將長方形ABCD分成4塊，DEF的面積是4cm2，CED的面積是6cm2。問：四邊形ABEF的面積是多少平方釐米？解：如下圖，連結BF。則BDF與CFD面積相等，減去共同的部分DEF，可得BEF與CED面積相等，等於6cm2。四邊形ABEF的面積等於SABD-SDEF=SBDC-SDEF=SBCE+SCDE-SDEF=9+6-4=11（cm2）。問：兩塊紅色圖形的面積和與兩塊藍色圖形的面積和，哪個大？分析：只需比較ACE與BDF面積的大小。因為ACE與BDF的高相等（都是CD），所以只需比較兩個三角形的底AE與BF的大小。因為ACE與BDF高相等，所以SACESBDF。減去中間空白的小四邊形面積，推知兩塊紅色圖形的面積和大於兩塊藍色圖形的面積和。例5 在四邊形ABCD中（見左下圖），線段BC長6cm，ABC為直角，BCD為135，而且點A到邊CD的垂線段AE的長為12cm，線段ED的長為5cm，求四邊形ABCD的面積。解：延長AB，DC相交於F（見右上圖），則BCF=45，FBC=90，從而BFC=45。因為BFC=BCF，所以BF=BC=6（cm）。在RtAEF中，AFE=45，所以FAE=90-45=45，從而EF=AE=12（cm）。故S四邊形ABCD=SADF-SBCF=102-18=84（cm2）。說明：如果一個圖形的面積不易直接求出來，可根據圖形的特徵和題設條件的特點，添補適當的圖形，使它成為一個新的易求出面積的圖形，然後利用新圖形面積減去所添補圖形的面積，求出原圖形面積。這種利用“補形法”求圖形面積的問題在國內外初中、小學數學競賽中已屢見不鮮。例6 正六邊形ABCDEF的面積是6cm2，M，N，P分別是所在邊的中點（如上圖）。問：三角形MNP的面積是多少平方釐米？解法1：如左下圖，將正六邊形分成6個面積為正1cm2的正三角形，將另外三個面積為1cm2的正三角形分別拼在邊BC，DE，AF外面，得到一個大的正三角形XYZ，其面積是9cm2。這時，M，N，P分別是邊ZX，YZ，Xy的中點，推知解法2：如右上圖，將正六邊形分成6個面積為1cm2的正三角形，再取它們各邊的中點將每個正三角形分為4個面積為的小正三角形。於是正六邊形ABCDEF被分成了24個面積為的小正三角形。因為MNP由9個面積為的小正三角形所組成，所以SMNP=9=2.25（cm2）二、圓與組合圖形以上我們討論了有關直線圖形面積計算的種種方法。現在我們繼續討論涉及圓的面積計算。1圓的周長與面積計算圓的周長與面積，有的直接利用公式計算，有的需要經過觀察分析後靈活運用公式計算。主要公式有：（1）圓的周長=直徑=2半徑，即C=d=2r；（2）中心角為n的弧的長度=n（半徑）180，即1=（3）圓的面積=（半徑）2，即S=r2；（4）中心角為n的扇形面積=n（半徑）2360，即例7 右圖是三個半圓（單位：cm），其陰影部分的周長是多少？解：由圖可知，陰影部分是由三個直徑不同的半圓周所圍成，所以其周長為說明：實際上，該圖形中兩個小半圓的直徑之和等於大半圓的直徑，因而它們的周長也正好等於大半圓的半圓周。推而廣之，若n個小圓的直徑之和等於大圓的直徑，即：d1+d2+d3+dn=D，那麼這些小圓的周長之和也等於大圓的周長，即d1+d2+d3+dn=（d1+d2+d3+dn）=D。例8 某開發區的大標語牌上，要畫出如下圖所示（圖形陰影部分）的三種標點符號：句號、逗號、問號。已知大圓半徑為R，小圓半徑為r，且R=2r。若均勻用料，則哪一個標點符號的油漆用得多？哪一個標點符號的油漆用得少？分析：在均勻用料的情形下，油漆用量多少問題可轉化為陰影部分的面積大小問題。現在涉及到的基本圖形是圓，弄清陰影部分如何由大小圓分割、組合而成，是解該題的關鍵點和突破口。解：因為S句號=S大圓-S小圓=R2-r2=（2r）2-r2=3r2說明：留意我們的日常生活，不同於課本的“非常規”問題隨處可見，如何把“非常規”問題轉化為或近似地轉化為“常規”數學問題，需要細心觀察、積極思考，考察轉化的可能性和轉化的途徑。像上例那樣，認真分析圖形的特徵和課本圖形的基本關係，進一步探討能否由基本圖形分割而成、組合而成。2圓與組合圖形在日常生活中，除了經常遇到直線型（如矩形、正方形、三角形、梯形等）以及曲線型（如圓、扇形等）的面積外，還經常遇到不同形狀圖形疊加而成的組合圖形的面積問題。組合圖形的面積計算，可以根據幾何圖形的特徵，通過分割、割補、平移、翻折、對稱、旋轉等方法，化複雜為簡單，變組合圖形為基本圖形的加減組合。例9 下圖中，ABCD是邊長為a的正方形，分別以AB，BC，CD，DA為直徑畫半圓。求這四個半圓弧所圍成的陰影部分的面積。解：圖中陰影部分是由四個半圓的重疊部分構成的，這四個半圓的直徑圍成一個正方形。顯然，這四個半圓的面積之和大於正方形的面積，兩者的差就是陰影部分的面積。因此，我們就得到以下的算式：說明：此例除了用上面的解法外，還可以採用列方程解應用題的方法來解。如題圖，設x和y分別表示相應部分的面積，由圖看出 例10 如左下圖所示，平行四邊形的長邊是6cm，短邊是3cm，高是2.6cm，求圖中陰影部分的面積。分析：本題的圖形比較複雜，我們可以先計算陰影部分的一半（見右上圖）。我們的目標是把圖形分解成若干基本圖形的組合或疊合。本題中的基本圖形就是大、小兩種扇形，以及平行四邊形。仔細觀察後得出結論：右上圖中的陰影部分等於說明：求一個不規則圖形的面積，要設法找出它與規則圖形面積的關係，化不規則為規則。例11 求右圖中陰影部分的面積（單位：cm）。分析與解：本題可以採用一般方法，也就是分別計算兩塊陰影部分面積，再加起來，但不如整體考慮好。我們可以運用翻折的方法，將左上角一塊陰影部分（弓形）翻折到半圓的右上角（以下圖中虛線為折痕），把兩塊陰影部分合在一起，組成一個梯形（如右圖所示），這樣計算就很容易。本題也可看做將左上角的弓形繞圓心旋轉90，到達右上角，得到同樣的一個梯形。說明：當某些圖形的面積不易直接計算時，可以把這個圖形的各個部分適當拼接成一個易於直接計算的圖形。也就是說，可以化零為整。上述解法運用翻折（或旋轉）的方法達到了化零為整的目的。例12 已知右圖中正方形的面積是12cm2，求圖中裡外兩個圓的面積。分析：計算圓面積，要知道半徑。先考慮內圓面積。內圓的直徑與正方形的邊長相等，但正方形的邊長是未知的。根據已知正方形的面積是12cm2，可以推出內圓直徑的平方為12cm2，再求內圓面積就不難了。外圓的直徑是正方形的對角線，設外圓半徑為R，則正方形面積等於由一條對角線分成的兩個等腰直角三角形的面積之和。再由正方形面積=2RR22=2R2，2R2=12，便可求出外圓面積。解：設內圓半徑為r，由正方形面積為12cm2，正方形邊長為2r，得（2r）2=12，r2=3。內圓面積為r2=3.143=9.42（cm2）。正方形面積=2個等腰直角三角形面積=，得R2=6，外圓面積為R2=3.146=18.84（cm2）。練習61如右圖所示，正方形的面積是50cm2，三角形ABC兩條直角邊中，長邊是短邊的2.5倍，求三角形ABC的面積。2如右下圖所示，長方形ABCD中，AB=24cm，BC=36cm，E是BC的中點，F，G分別是AB，CD的4等分點，H為AD上任意一點。求陰影部分面積。3在右圖的47的方格紙板上畫有如陰影所示的“6”字，陰影邊緣是線段或圓孤。問：陰影面積占紙板面積的幾分之幾？4在右下圖中，六邊形ABCDEF的面積是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求陰影四邊形CEPQ的面積。5在右圖中，塗陰影部分的小正六角星形面積是16cm2。問：大正六角星形面積是多少平方釐米？6一個周長是56cm的大長方形，按右面圖1與圖2所示那樣，劃分為4個小長方形。在圖1中小長方形面積的比是AB=12，BC=12。而在圖2中相應的比例是AB=13，BC=13。又知，長方形D的寬減去D的寬所得到的差，與D的長減去D的長所得到的差之比為13。求大長方形的面積。7有兩張正方形紙，它們的邊長都是整釐米數，大的一張的面積比小的一張多44cm2。大、小正方形紙的邊長分別是少？8用面積為1，2，3，4的4張長方形紙片拼成如右圖所示的一個大長方形。問：圖中陰影部分面積是多少？練習6答案： 110cm2解：畫兩條輔助線如左下圖。根據條件可知，正方形面積是長方形ABCD面積的2.5倍。從而ABCD的面積是502.520（cm2）。所以ABC的面積是202=10（cm2）2324cm2。解：連結BH。BEH的面積為把BHF和DHG結合起來考慮，這兩個三角形的底BF，DG相等，且都等於長方形寬的，它們的高AH與DH之和正好是長方形的長，所以這兩個三角形的面積之和是=2436=108。圖中陰影部分的面積為 216+108=324（cm2）。 非陰影共6個， 也有6個，剛好拼成6個小正方形。因此陰影部分有28-6-3=19（個）小正方形。431。解：如右圖，將正六邊形ABCDEF等分為54個小正三角形。根據平行四邊形對角線平分平行四邊形面積，採用數小三角形的辦法來計算面積。SPEF3，SCDE9，S四邊形ABQp11。上述三塊面積之和為 3+9+11=23。因此，陰影四邊形CEPQ面積為54-23=31。548cm2。解：如下頁右上圖，陰影部分小正六角星形可分成12個與三角形OPN全等（能完全重疊在一起）的小三角形。三角形OPN的面積是。正三角形OPM面積是由3個與三角形OPN全等的三角形組成。所以，正三角形 OPM的面積等於由於大正六角星形由12個與正三角形OPM全等的三角形組成，所以大正六角星形的面積是412=48（cm2）。6160cm2。解：設大長方形的寬為xcm，則長為（28-x）cm。因為D寬=，D寬=，D長= ，D長=，所以D寬-D寬=，D長- D長=。由題設可知28-8=20，從而大長方形的面積為820=160（cm2）。712cm，10cm。解：把兩張正方形紙重疊在一起，且把右邊多出的一塊拼