高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3 函数的最大（小）值与导数课件2 新人教A版选修11.ppt

3 3 3函数的最大 小 值与导数 函数的极值与导数之间的关系 f x 0 f x 0 f x 0 极大值 f x 0 f x 0 极小值 f x 0 求可导函数f x 的极值的步骤 1 确定函数的定义区间 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 用函数的导数为0的点 顺次将函数的定义区间分成若干小开区间 并列成表格 检查f x 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果左右不改变符号 那么f x 在这个根处无极值 强调 要想知道x0是极大值点还是极小值点就必须判断f x0 0左右侧导数的符号 导数的极值常与函数的单调性 导数联合考查 是高考的常考内容 常常三者结合与含参数的讨论等知识点相联系 综合考查 解决时可以以大化小分步解决 严格遵循解决极值问题和单调性的解题步骤 遇到该讨论时要进行合理 恰当地讨论 这种综合题在解决时要弄清思路 分步进行 切忌主次不分 讨论混乱 96 你理解了吗 有极值无最值 97 98 98 福建卷 已知函数f x ax3 6ax2 b 问是否存在实数a b 使f x 在 1 2 上取得最大值3 最小值 29 若存在 求出a b的值 若不存在 请说明理由 分析 函数最值的逆向问题 通常是已知函数的最值求函数关系式中字母的值的问题 解决时应利用函数的极值与最值相比较 综合运用求极值 最值的方法确定系数的方程 组 解之即可 解 显然a 0 f x 3ax2 12ax 3ax x 4 令f x 0 解得x1 0 x2 4 舍去 1 当a 0时 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以当x 0时 f x 取得最大值 所以f 0 b 3 又f 2 16a 3 f 1 7a 3 f 1 f 2 所以当x 2时 f x 取得最小值 即 16a 3 29 a 2 2 当a 0时 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以当x 0时 f x 取得最小值 所以b 29 又f 2 16a 29 f 1 7a 29 f 2 f 1 所以当x 2时 f x 取得最大值 即 16a 29 3 a 2 综上所述a 2 b 3或a 2 b 29 点拨 本题运用了求极值 最值的方法 采用了待定系数法确定a b的值 体现了方程的思想和分类讨论的思想 解析 本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用 体现了分类讨论的数学思想 要使之恒成立 只要在上求f x 最小值即可 对于 总有 成立 则 思考讨论 当 时 所以 不符合题意 舍去 当 时 即 单调递减 舍去 当 时 1 当 时 在 和 上单调递增 在 上单调递减 所以 时 在 上单调递减 不符合题意 舍去 2 当 综上可知 a 4 解 i 当x t时 f x 取最小值f t t3 t 1 即h t t3 t 1 ii 令g t h t 2t m t3 3t 1 m 由 3t2 3 0得t 1 t 1 不合题意 舍去 当t变化时 g t 的变化情况如下表 g t 在 0 2 内有最大值g 1 1 mh t 1 再见 小结 片7 9题型 方法 应用题 本小题满分14分 已知函数 1 讨论关于 2 设 求证 提高作业 略