2010数学冲刺班讲义.pdf

1 考研冲刺班讲义 高等数学 考研冲刺班讲义 高等数学 1 设 2 1122 01222 xxx fxg x x 求 f g xg f x 答 11 3 0 1 0 2 x fg xx x 或 3 2x 2 2 2 21 1 1 1 20112 2 1 20 2 x x gfxx x x 2 bx x fx ae 在 连续 且lim 0 x fx 则 D A 0 0 B 0 0 C 0 0 D 0 0abababab 3 1 2 lim ln arctan 1 ln arctan 0 xx x xee 2 若 1 limsin ln 1 sin ln 1 3 x a xx 则4a 4 当0 x 时 2 cos2 x ex 是 n ax为等价无穷小 则 1 4 3 na 5 设 f x满足 0 lim1 1cos x fx x 的连续函数 且0 x 时 2 sin 0 x f t dt 是x的n阶无穷小 则 6n 6 若 2 0 lim x xt x eedtab 则0 2 ab 7 若 4 lim 72 4 0 nm x xxxbnb 则 17 5 55 nmb 8 sin sinsin n xx 求lim0 n n x 存在定理 9 若 11 1 2 2 n n xx x 求lim12 n x x 夹逼准则 10 设 1221 1 2 nnn xxxxx 求 2 3 lim2 n n x 递推式 11 f x连续 1 0 g xfxt dt 且 0 lim x fx A x 讨论 gx 的连续性 12 若 2 1 1 f xxxx 则 f x连续的整改类的个数 3 2 13 x x exf 在0 x 处是 A A 跳跃间断 B 可去间断 C 无穷间断 D 振荡间断 14 设 x f 连续 0 lim 2 0 x axf x 2 cos1 lim 0 x xf x 则 B A 0 x是 xf极大值点 B 0 x是 xf的极小值点 C 0 0 f是 xf的拐点 D 0 x不是极值点 0 0 f也不是拐点 15 f x连续 2 0 0 0 ff 求 222 12 lim x n fff nnn 答 1 16 求 21 23 lim 1 333 n x n 答 9 4 17 f x为x的n次多项式 0 3 1 1 0 xfxfxxfxf 求 f x 答 32 13 31 62 fxxxx 18 2 cos yxx 求 2006 2008 0 0 yy 答 2006 2003 2008 2005 0 200620052 0 200820072 yy 19 1 f t 阶可导 xtftf t yft 求 2 23 1 d y dxt ft 2 试将 xy微分方程 4 2 2 2 3 3 3 dx dy dx yd dx yd dx dy 变换为 yx的微分方程 答 0 xx 3 求 cos1 上 2 处的切线与法线 答 切线 1 yx法线 1 xy 20 nn 为趋于零的正数列 f x在 0 x可导 求 00 lim nn x nn f xf x 答 0 fx 21 设 f x在 1 1 上三阶可导 1 0 1 1 0 0ff f 求证 1 1 使 3f 22 fxM 且 2 1 lim1 1 x fx x 求证1a 有 0 ffaMa 23 f x在 0 1 二阶可导 0 1 0ff 且max 2 f x 求证 min 16 fx 3 24 1 f x在 1 1 有二阶连续导数 且 0 fx 求证 对 1 1 内唯一存在 1 0 x 使 0 f xfxfxx 求证 0 1 lim 2 x x 2 设 f x 在 ll 连续 0 f 存在0 0 f 求证 对lx 00 x l 必存在1 0 x 使 00 xfxxfxdttfdttf xx 求 lim 0 x x 25 1 就k的不同情况 确定方程sin 2 xxk 在 0 2 内根的个数 2 确定a的值 使 32 2xxxa 有 3 个不同的根 答 4 0 27 a 3 确定方程根的个数 106 6 xxxf的实根个数 14 4 xxxf 的实根个数 2 设 f x 有 2n 个极值点 则0 xf n 的实根个数 n 1 26 f x在 0 1 连续 0 1 可导 1 0 0 fx dx 求证 0 1 使2 0ff 27 f x在 0 1 连续 0 1 可导 1 0 0 0 0 ffx dx 求证 0 1 使 0 fx dxf 28 f x在 0 1 连续 0 1 可导 且 1 2 3 1 3 ffx dx 求证 0 1 使 0f 29 设 f x在 0 3 连续 0 3 可导 且 1 2 2 3 3 6fff 0 cos lim1 x fxx x 求证 0 3 使0 f 30 设 f x在 a b二阶可导 0 0 0 b a f af bfx dx 求证 至少 a b 使 0 f 4 31 求 2222 111 1 lim lim lim 14 nnn xxx iii ii inini n n 答 分别用定积分定义和爽逼准则求得 1 ln 2 2 及 1 2 32 2 00 1sin4 21 sin3 cos 8IxdxIxx dx 4 2 00 ln 0 ln 1tan ln 2 18 x IdxIx dx x 若 0 sin 2 x dx x 则 2 2 0 sin 2 x dx x 33 f x连续 0a b 有 0 11 22 x ab ff af bF xf t at x 求证 1 22 ab FF aF b 34 2 10 0 xx fxxg x xx 求 2 1 fg xdx 4 3 35 以下发散的是 A A 1 1 1 sin dx x B 1 12 1 dx x C 2 0 x edx D 2 2 ln dx xx 36 求 2 22 1 1 ln 1 Idx xxx 31 2ln 2 37 若 2 3 1 1 2 xx fx xx 求 3 2 1 1 fx dx fx 32 arctan2 27 38 求曲线 x yex 轴 及该曲线过原点的切线所围面积 答 2 e 39 求摆线 sin 1cos xa tt yat 一拱与x轴所围图形绕x轴 y轴及直线2ya 旋转而得的旋转 体的体积 232323 2 567 xyya VaVaVa 40 设星形线 33 cos cosxat yat 1 求它所围面积 2 0 32 0 2 3 44sin3 cos sin 8 a a Aydxatatt dt 2 求它的周长 22 22 00 443 sincot6Lxy dtatata 3 求它绕x轴旋转而成旋转体的体积 表面积 5 23723 2 00 32 26sin 1sin 105 a Vy dxatt dta 表面积 22242 22 00 12 2212sincot 5 Syxy dtatata 41 1 求由1 yx与1 xy所围图形续直线1 yx 旋转所得旋转体的体积 答 15 2 2 求曲线 ty tx 3 3 sin cos 在第一象限中与1 yx所围图形绕1 yx旋转体为表面积 答 2 10 3 42 f x可导 且 22 22 1 D fxy f txdxdy xy D 222 xyt 0 0 0 xyt 求 f t 答 2 222 t f tett 43 若 2 3 2 sin 0 d xdx yx dydy 1 将它化为关于y的方程 s i n yyx 2 若 3 0 0 0 2 y y 求 1 sin 2 xx y yeex 44 若 1 0 sinsincos lim t t fxtxxxx e fxx 且 2 lim 2 x fx 1 求 f x 答 sin x x 2 证明 f x在 0 2 上有界 45 求 欧 拉 方 程 2 1 1 l n 1 xyxyyx 的 通 解 令1l n 1 t xetx 2 1 1 1 x yDyxyD Dy 答 1212 cotsincosln 1 sin ln 1 ln 1 yctcttcxcxx 46 证明 平面曲线为圆周的充要条件是它的曲率半径为常数 即证明 222 xyaRa 6 证明证明 必要性 设平面曲线为圆周 方程为 222 0 xyaR 求导 22 11 220 xxxx xyyyyy yyyyyy 22 3 xy y 而圆周上任一点处的曲率半径为R 3 2 3 2 2 2 22 1 22 3 1 1 x yy Rxya yxy y 常数 充分性 已知平面曲线为 yf x 上每一点曲率半径为常数 曲率为常数 设为a 即 3 2 2 1 y a y 令 yp 则 3 2 2 1 dpdp yppap dydy 1 23 2 2 1 1 apa dpdyyc p p 22 1 1 22 1 1 aycycdy pdx yc ayc 22222 1221 aycxcxcyca 此方程即表示曲线为圆周 47 1 u有连续二阶编导 2 11221 2 2 uuu xxx uxxx 求 1112 uu 答 45 33 xx 2 f x y可微 4 3 fxxx 若 2 2 1 3 3 f 则 1 1 3 f C A 1 B 1 C 2 D 42 3 设 1 0 dttxytfyxzz 其中 tf在 0 1 连续 且10 10 yx 求 2 2 x z 答 2 2 2 2 yxfy x z 48 设 f x yxyx y 其中 x y 在 0 0 点连续 试讨论 f x y在 0 0 点 7 的可微性 答 0 0 0 时不可微 0 0 0 时可微 49 1 23 uxyyzzx 过 1 2 3 点沿 矢径方向 的方向导数 2 23 uxyyzzx 过点 1 2 3 沿那个方向的方向导数值最大 并求出最大值 3 函数 22 yxz 在 0 0 点是 0 A 可导 0 0 x z 存在 0 0 y z 存在 B z 在 0 0 点沿il 方向的方向导数 l z 不存在 C 可微 D 沿任一方向的方向导数存在 4 确定 使在右半平面0 x上 向量 2 24224 yxxyxxyyxA 为某二元函数 yxu的梯度 并求 yxu 答 arctan 1 2 c x y yxu 50 求过椭球面 222 222 1 xyz abc 上某点 000 xyz的切平面与三个坐标面所截四面体的体 积最小 答 000 1 333 ac xyz 51 利用条件极值方法证明 3 3 12 S xyza dsa 2222 Sxayazaa 52 交换积分次序 1 2 2 0 x x Idxfx y dy 2 1 0 cos 0 4 Idfdp 答 1 1242 012 yy yyy Idyf x y dxdyf x y dxdyf x y dx 2 1 arccos1arccos2 01 4 4 d e Idpfx ydfx yd 53 利用二重积分证明 以 22 22 xyax xyay 所围均匀薄板的形心为 44 aa 54 1 2 2 2 0 2 D IydDxyyxyy 4 2 I 8 55 1 求证 A A D fxy dxdyf tAtdt D 22 AA xy 2 求 D dyxI 1 22 其中 10 10 yxyxD 答 3 1 4 I 3 求 D dyxI 20 20 yxyxD 其中 x表示对 x 取整 答 6 2 1 3 2 3 2 2 3 I 4 求 D dyI 2 其中 D 是由 20 cos1 sin t tay ttax 同0 y所围 答 4 12 35 aI 56 2 IZ dV 2222222 2xyZRxyzRz 答 5 59 480 R 57 222 IxyzdV 2222 xaybczR 答 22235 44 0 35 abcRR 58 求 333 11 dd dd dd s yy Ixyzyfxzzfxy zzyz 其中S为 的外侧 为 22222222 1 4Zxyxyzxyz 所围 答 22 2222 4 001 1862 3 d3sin 1 52 d IxyzVdd 59 将累次积分 11 000 xxy dxdyfx y z dZ 改为先x 再z 后y的累次积分 答 原式 11111 0000 yyy yzy dydxf x y z dxdydzf x y z dx 60 求 22 4 c xdyydx I xy C是以 1 0 为圆心 1 R R 为半径的正向圆周 答 10 1 R R 61 求 22 C xy dxxy dy I xy C 由cosyx 的 AB 9 答 3 2 62 若 2 C xydydx I xy 其中 x 可导 1 1 c 是绕 0 0 一周的任意正向简单闭曲 线 求 x 及 A 答 2 2 xxA 63 求 22 4 ABC xdyydx I xy ABC是指 AB为半圆 BC直线 1 0 1 0 1 2 ABC 答 7 8 64 求证 d xxyy C D u suud u 其中n 为c的法向 65 求 2 d C Ixs C 2222 0 xyza xyz 方法一 用参数 22 22222222 31 2422 aa xyxyaxyxyxxy 令 3 cos 22 1 cos 22 a xt a xyt Zxy 222 dsxyZ dtat 原式 2 2223 0 22 cos 33 C Ix dSaatata 方法二 对称性 222223 112 2 333 Cc Ix dsxyzdSaaa 66 求 2 222 S xdydzz dxdy I xyz 222 SxyRZRZR 答 2 2 R 67 求 22 dd z S e Ixy xy 22 1 2SZxyzz 答 2 2 e 68 求2 c Iydxzdyxdz 在 C 2222 xyzR xzR C的方向由Z轴正向看去 即与x轴 正向一致 是逆时针 解一解一 用参数法 ZRx 代入 2222 xyzR 得 22 220 xRxy 10 即 22 2 224 RyR x C 为 1cos 2 sin 2 1cos 2 R xt R yt R Zt 2 0 2sin sin 1cos cos 1cos sin 22222222 RRRRRRR Itttttt dt 解二解二 用斯托克司公式 R yZ PR zx Cs pRQp pdxdyRdzdydzdxdz zxy cos cos cos S RpRp Y dS yZzxxy 2 c o sc o s 2 c o s C S Iy d xZ d yx d zd s 这里 11 cos cos0 cos 22 S是圆域 半径 2 R 故原式 22 11 22222 S R dsR 69 判别敛散性 1 2 1 1 1 1 n n 2 1 1